Grandezas Vetoriais e Vetores no Plano

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06/11/2017 Grandezas Vetoriais e Vetores no Plano
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Módulo II - Capítulo IV 
 Aprendendo
 
Grandezas Vetoriais e Vetores no Plano
Algumas grandezas físicas, tais como temperatura, distância, altura, área e volume podem ser representadas
por um único número que mede a sua intensidade ou tamanho. Estas grandezas são ditas grandezas escalares
ou simplesmente escalares. Outras grandezas tais como força, velocidade e aceleração só podem ser descritas
se conhecermos tanto a sua intensidade, como sua direção e sentido. Numa regata, por exemplo, os iatistas
usam somente a força do vento para impulsionar seus barcos. Se a força do vento fosse constante e soprasse
em uma única direção as coisas seriam muito fáceis, mas os iatistas velejam num percurso pré-determinado
de forma a enfrentar ventos em todas as direções e com várias intensidades. Veja abaixo o exemplo de um
percurso de regata olímpica.
É preciso dirigir o barco, manobrando as velas, para velejar
na direção determinada no percurso. A posição das velas
influencia não só a direção seguida pelo barco mas, também,
a velocidade desenvolvida.
Grandezas que dependem de intensidade, direção e sentido, tal como a força do vento e a velocidade do
barco, são ditas vetoriais e representadas, como nas figuras anteriores, por segmentos de reta orientados.
Na figura ao lado, representamos o
segmento orientado de reta PQ , com
ponto inicial em P e ponto final em Q. O
símbolo || PQ || é usado para representar
o comprimento, intensidade, módulo ou
magnitude deste segmento. A direção é
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dada pelo ângulo que o segmento de
reta faz com a horizontal. A seta indica
o sentido de percurso. Dessa maneira,
ficam determinados os pontos inicial e
final do segmento.
Dois segmentos orientados de reta que têm a mesma direção, sentido e comprimento são ditos equivalentes.
Na figura, os segmentos RS e OP são equivalentes.
Para comprovar esta afirmação, podemos usar
a fórmula de distância entre dois pontos para
calcular os comprimentos estes dois
segmentos e comprovar que eles têm o
mesmo módulo. De fato,
|| RS || =
 =
= 5 e
 
|| OP || = = 5
Além disso, a declividade da reta que passa
pelos pontos (-4,2) e (-1,6) é e é igual a
declividade da reta que passa pelos pontos
(0,0) e (3,4) e, portanto, as retas suportes dos
segmentos são paralelas, o que confirma que
estes segmentos têm a mesma direção.
No desenho da regata, mostrado acima, qualquer destes dois segmentos orientados poderia ser usado para
representar o mesmo vento, isto é, a mesma grandeza vetorial. Por este motivo, dizemos que se P e Q são
dois pontos quaisquer no plano coordenado, então o conjunto de todos os segmentos orientados de reta
equivalentes a PQ define a mesma classe de vetores que é determinada, de modo único por PQ . Dizemos,
então que o segmento orientado PQ, é um representante desta única classe de vetores, denotada por = PQ.
Em particular, existe um único segmento de reta orientado cujo ponto inicial é a origem do sistema de
coordenadas. Dizemos que este é o representante do vetor na posição canônica e, a menos de afirmação
explícita em contrário, é este representante da classe de vetores definida por PQ , que usaremos neste texto,
daqui em diante.
Esta convenção nos permite fazer uma
conexão entre uma classe de vetores e
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os pontos do plano. Se o vetor está
representado na sua posição canônica
(com extremidade inicial na origem do
sistema de coordenadas considerado) e
tem extremidade final no ponto de
coordenadas ( a , b ), então o vetor 
pode ser representado pelo par ordenado
< a , b >. Os números a e b são
chamados as componentes do vetor.
Dessa maneira, existe uma
correspondência biunívoca entre os
vetores < a , b > e os pontos ( a , b ) do
plano. Por exemplo, o vetor < 2, 3> tem
extremidade inicial em (0,0) e
extremidade final em (2,3). A
representação do vetor < 2, 3> com
ponto incial em (2, -1) tem seu ponto
final em (4, 2), como mostra a figura ao
lado.
Agora é com você!
Clique aqui para explorar estas idéias.
 
De um modo geral, as componentes < > do vetor , representado pelo segmento de reta orientado
com extremidade inicial P( ) e extremidade final Q( ) são dadas por
< > = < >
O comprimento de é dado por
|| || = 
Dois vetores < a , b > e < c , d > são iguais se e somente se a = c e b = d . O comprimento, intensidade ou
magnitude deste vetor é dada por e sua direção é definida pelo ângulo que a reta que passa pela
origem e pelo ponto ( a , b ) faz com a direção positiva do eixo x .
O vetor < 0,0 >, chamado vetor zero ou vetor nulo e representado por O, tem comprimento zero e não tem
direção. Qualquer ponto pode ser usado como uma representação deste vetor.
Exemplo:
Ache as componentes, comprimento e direção do vetor = PQ, onde P(-3,4) e Q(-5,2).
Solução:
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As componentes do vetor são dadas
por = < -5 -(-3), 2-4> = < -2,-2 > e,
consequentemente, seu comprimento é ||
 || = .
Este vetor aponta para baixo e para
esquerda e está sobre a reta que passa
por (0,0) e tem declividade dada por
 = 1. Esta reta é a
bissetriz do primeiro e terceiro
quadrantes. Este fato permite concluir
que o vetor faz um ângulo de 225
graus com a direção positiva do eixo x,
conforme mostra a figura.
Agora é com você!
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Como vimos, um vetor com duas
componentes está associado a um ponto
do plano. As componentes de um vetor
 = < > são as coordenadas do
ponto x = e y = . Este vetor
tem extremidade inicial em (0,0) e
extremidade final no ponto (x, y). Da
mesma maneira, podemos associar
vetores aos pontos do espaço
tridimensional. Assim, o vetor de
componentes <1,2,2 > tem sua
extremidade inicial na origem de um
sistema de coordenadas tridimensional,
isto é, no ponto (0,0,0) e, extremidade
final no ponto (1,2,2). Veja a figura.
Neste caso, dados dois pontos A( ) e B( ) no espaço, as componentes do vetor AB
definido por estes pontos, são dadas por < > e seu comprimento pela fórmula ||
AB || = .