Teoria dos Conjuntos em Matemática

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 2: Teoria dos Conjuntos 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Teoria dos Conjuntos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Operações com Conjuntos 
 
• Interseção de conjuntos (  ): 
A  B = elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. 
 
Notação: A  B (lê-se "A intersecção B"). 
Simbolicamente: A  B = {x | x ∊ A e x ∊ B} 
 
Propriedades : 
 
1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, 
A  B será o conjunto B. 
 B  A = A  B = B, ∀ A, ∀ B. 
2. Comutativa: A  B = B  A, ∀ A, ∀ B. 
3. Associativa: (A  B)  C = A  (B  C), ∀ A, ∀ B, ∀ C. 
http://cadernodigital102.blogspot.com/2011/02/resumo-do-dia.html 
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Teoria dos Conjuntos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
União de conjuntos (U): união ou reunião 
 
A U B = ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. 
 
Notação: A U B (lê-se "A união B"). 
 
Simbolicamente: A U B = {x | x ∊ A ou x ∊ B} 
 
Exemplos: Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7,4} então A U B = {1,2,3,4,5,6,7} 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B={2,3,4,5,6} então A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B 
Ref: shutterstock 
http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=200 
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Teoria dos Conjuntos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Propriedades da união de conjuntos. 
 
1. Se B é subconjunto de um conjunto A, a união A U B será o 
conjunto A, isto é, B  A então (A U B) = A, ∀A, ∀ B. 
 
2. Comutativa: A U B = B U A, ∀A, ∀ B. 
 
3. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C). 
 
Ref: shutterstock 
B 
A 
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Teoria dos Conjuntos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Principio da Inclusão – Exclusão 
 
 Problemas de Combinatória 
 N(AUB) = N(A) + N(B) - N(A  B) 
 
Notação: n( ) é o número de elementos do conjunto dado. 
 
Para três conjuntos: 
N(AUBUC) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A  B)- N(A  C)- N(B  C) - N(A  B  C) 
 
 
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Teoria dos Conjuntos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
 
Exemplo: Um entrevistador de opinião pública entrevista 35 
pessoas que optam pelo produto A, produto B ou ambos e 
conclui que 14 entrevistados escolheram o produto A e 26 o 
produto B. Quantos entrevistados escolheram ambos? 
 
N(AUB) = N(A) + N(B) - N(A  B) 
 35 = 14 + 26 - N(A  B ) 
N(A  B) = - 35 +14 +26 = 5 
 
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http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=200 
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Teoria dos Conjuntos 
Diferença de conjuntos (-): 
 
A – B = elementos de A que não pertencem a B. 
 
Notação: A - B (lê-se "A menos B"). 
 
Simbolicamente: A - B = {x | x ∊ A e x  B} 
 
Exemplos: Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {4,5,6,7}, 
então A - B = {1,2,3} e B - A = {5,6,7} 
 
Exemplos. Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, 
então A - B = { } = Ø 
http://www.blogviche.com.br/2006/11/04/conjuntos-operacoes-parte-ii 
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http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=200 
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Teoria dos Conjuntos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Complementar de um conjunto (C) : Se A e B são conjuntos, tais 
que A  B : B - A é chamada complementar de A em B. 
Notação: CB 
A (lê-se "complementar de A em B"). 
 
Simbolicamente: CB 
A = B - A = {x | x ∊ B e x  A}, onde A  B 
 
Exemplo. Sejam os conjuntos A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9}, 
então Como A  B, então não existe CB 
A. 
 
Exemplo. Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, então 
Existe CB A , pois A  B. Portanto, CB 
A = {2, 4, 6}. 
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Teoria dos Conjuntos – Conjuntos Numéricos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
• Conjunto dos Números Naturais: 
 
 N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} 
 N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}. 
 
• Conjunto dos Números Inteiros: 
 Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} 
 Z- = {..., - 5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 Z*+ = {1, 2,3, 4, 5, 6, 7, ...} = N 
 Z* - = {... - 4, -3, -2, -1} 
 
Z 
N 
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Teoria dos Conjuntos – Conjuntos Numéricos 
Conjunto dos Números Racionais (Q): 
• Expressos na forma de fração. 
• Números decimais finitos. 
 Exemplo: 125,8342 
• Dízimas periódicas (números decimais infinitos periódicos). 
 Exemplo: 14,050505… 
 
 Conjunto dos Números Irracionais (I): 
• Números decimais infinitos não periódicos. 
Exemplos: 
(a) Número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro): 3,14159265 ... 
(b) Todas as raízes não exatas. Exemplo: = 1,4142135 … 
 
Q 
Z N 
Q I 
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Teoria dos Conjuntos – Conjuntos Numéricos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Conjunto dos Números Reais (R): 
 
• União do conjunto dos racionais com os irracionais. 
Q I 
http://www.estudokids.com.br/conjuntos-numericos-naturais-
reais-inteiros-racionais-e-irracionais/ 
Intervalo fechado [a,b] 
Intervalo aberto: ]a,b[ 
Intervalo fechado à esquerda [a,b[ 
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Teoria dos Conjuntos – Intervalos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Intervalos numéricos 
 
Representação do conjunto dos números reais. 
Intervalo fechado à direita ]a,b] 
Semirreta esquerda, fechada, de 
origem b 
],b] 
Semirreta esquerda, aberta, de 
origem b 
] ,b[ 
Semirreta direita, fechada, de 
origem a 
[a, [ 
Semirreta direita, aberta, de 
origem a 
]a, [ 
 
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Teoria dos Conjuntos – Intervalos 
Intervalos numéricos 
 
Representação do conjunto dos números reais. 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Valor Absoluto de um número 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Valor absoluto de um número e Propriedades 
 
Valor absoluto = módulo 
 
Notação: |x|. 
Exemplo: |-2|=2. 
Exemplo: |x|= - x, se x < 0 e |x| = x, se x > 0. 
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Valor Absoluto de um número 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Propriedades: 
 
1 - | a |= |-a| para todo número real. 
 
Exemplo: | 2 |= |-2| = 2 
 
2- |a 2|= |a| 2= a2 para todo número real. 
Exemplo: |3 2|= |3| 2= 32 = 9 
 
3- 
 
Exemplo:: 
 
4 - | a . b |= | a |.| b | para todo a e b números reais. 
Exemplo: Seja a = 3 e b = 5 então |3 . 5|= |15|= 15 e |3|.|5|= 3 . 5 = 15 
 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Valor Absoluto de um número 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Propriedades: 
 
5- | a + b | = | a |+ | b | para todo a e b números reais. 
 
Exemplo: Seja a = 6 e b = 5 então |6 + 5|= |11|= 11 e |6|+|5|= 6 + 5 = 11, portanto |6+ 5|=|6|+|5|. 
Exemplo: Seja a = -5 e b =1 então |-5 + 1|= |-4|= 4 e |-5|+|1|= 5 + 1 = 6, portanto |-5+ 1|<|-5|+|1|. 
 
6- | | a | - | b | | = | a |- | b | para todo a e b números reais. 
 
Exemplo: Seja a = 4 e b = 1 então ||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3 e |4 - 1|= |3|= 3, portanto ||4|-|1||=|4 - 1|. 
Exemplo: Seja a = -1 e b =9 então ||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8 e |-1 - 9|= |-10|= 10, portanto ||-1|-|9||<|-1 - 9|. 
 
7- | a - b | = | b - a | 
 
Exemplo: Seja a = 6 e b = 5 então |6 + 5|= |11|= 11 e |5 + 6|= |11|= 11. 
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Exercícios Propostos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
1) Teoria de Conjuntos: 
 
a) Seja A = {2, 3, 5} e B = {4, 6} encontre A U B. 
 
b) Seja A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} determine A - B. 
 
2) Conjuntos numéricos 
Considere a seguinte equações : 0,3x = 0,1 
Analisando a solução da equação, verifique a veracidade da afirmativa 0,3x = 0,1 
(a) A solução é número irracional. 
(b) As soluções é números não reais. 
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ExercíciosPropostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
1) Teoria de Conjuntos: 
 
a) Seja A = {2, 3, 5} e B = {4, 6} encontre A U B. 
Solução: A U B = {2, 3, 4, 5,6} 
 
b) Seja A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} determine A - B. 
Solução: A - B = { } = Ø 
 
2) Conjuntos numéricos 
Considere a seguinte equações : 0,3x = 0,1 
Analisando a solução da equação, verifique a veracidade da afirmativa 0,3x = 0,1 
(a) A solução é número irracional. 
Solução: (F). Pela equação x = 0,1/0,3 = 1/3. Logo racional. 
b) As soluções é números não reais. 
Solução: (F). Pela justificativa (a), I é racional, logo real. 
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Exercícios Propostos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
3. Módulo – Utilizando a definição de módulo determine os valores das expressões 
a) |6| + 1 
b) |-5|+9 
c) |-10|-1 
d) |-6|-|-2| 
e) |0,2 – 0,9| 
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Exercícios Propostos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3. Módulo – Utilizando a definição de módulo determine os valores das expressões 
a) |6| + 1 = 6 + 1 = 7 
b) |-5|+9 = 5 + 9 = 14 
c) |-10|-1 = 10-1 = 9 
d) |-6|-|-2| 6 – 2 = 4 
e) |0,2 – 0,9| = |-0,7| = 0,7 
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Exercícios Propostos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
4. Dados os subconjuntos de R: A = { x ∊R/ -2 = x < 3} , B = {x ∊R/ 1 = x < 4 } e C = {x∊R/ x < 0}. 
Determine: 
a) A U B 
b) A  B 
c) (A B)C 
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Exercícios Propostos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
4. Dados os subconjuntos de R: A = { x ∊R/ -2 = x < 3} , B = {x ∊R/ 1 = x < 4 } e C = {x∊R/ x < 0}. 
Determine: 
a) A U B = [-2,4[ 
b) A  B = [1,3[ 
c) (A B)C =  
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Exercícios Propostos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
5. Escrever as expressões equivalentes sem o módulo 
 
a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer. 
|x - 6|, com x > 6 
c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3 
 
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Exercícios Propostos 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos 
 
5. Escrever as expressões equivalentes sem o módulo 
 
a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer. 
 
b) |x - 6|, com x > 6 
 
Solução: Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva. 
Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6. 
 
c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3 
Solução: Como x > 3, as duas expressões são positivas. Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x -3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4. 
 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Indicação de Leitura 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Indicação de Leitura Específica 
 
• Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. 
• Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos 
disponíveis. 
 
Recomendação de leitura no material didático: 
MINELLI, Juliano. Matemática Discreta. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2015, p. 11-19. 
 
Sugestão de material: 
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E1tica
.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf 
 
Sugestão de leitura: Conjuntos 
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.html 
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm 
 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Indicação de Leitura 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos 
Indicação de Leitura Específica 
 
Sugestão de leitura que podem complementar seu conhecimento: Frações e Decimais 
 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacao-para-numerosfracionarios.htm 
 
Sugestão de leitura: Conjuntos Numéricos 
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx 
 
Sugestão de vídeos: Khan Academy 
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-prealg/v/number-sets-1 
 
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-prealg/v/number-sets-2 
 
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-prealg/v/number-sets-3 
 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Unidade 2 - Contagem 
 
2.1. Princípio da Casas de Pombo. 
2.2. Princípio da Multiplicação. 
2.3. Princípio da Adição.