Contagem: Arranjos, Permutação e Combinação

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 5: Contagem 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Arranjos, Permutação e Combinação 
AULA 5: Contagem 
Arranjo, Permutação e Combinação 
 
• combinação: conjunto com p elementos da n-upla original. 
• arranjo: p-upla com os elementos da n-upla original. 
• combinação apenas escolhemos os p elementos. 
• arranjo além da escolha temos que permutar os elementos escolhidos. 
 
Usaremos: 
• arranjo ou permutação quando a ordem for importante. 
• combinação quando a ordem não for importante. 
Ref: shutterstock 
Arranjo, 
permutação ou 
Combinação? 
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Arranjo, Permutação e Combinação 
 
1- (UFOP) – No meio da invasão tecnológica que toma conta de nossas vidas, dona Antônia 
esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é 
formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma 
outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona 
Antônia consiga realizar o saque? 
 
 
 
Ref: shutterstock 
Arranjo ou 
Combinação ? 
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Senhas: a ordem de cada número é muito importante. 
 
 
 
• primeiro dígito é o número 5. 
• número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos. 
 
 
A ordem é 
importante ? 
unati.no.comunidades.ne 
Ordem importa Arranjo 
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1º Caso (6 no segundo dígito): 
 
 5 6 
8 possibilidades 7 possibilidades 
A 8,2 
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2º Caso (6 no terceiro dígito): 
 
 5 6 
8 possibilidades 7 possibilidades 
A 8,2 
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3º Caso (6 no quarto dígito): 
 
 5 6 
8 possibilidades 7 possibilidades 
A 8,2 
Teremos: A8,2+A8,2+A8,2=3.A8,2 
 
3.A8,2 = 168 possibilidades 
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2- (UERJ) – Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: 
Tipos de pão: 
• calabresa, 
• orégano, 
• queijo; 
Tamanhos: 
• pequeno, 
• grande; 
Recheio: 
• sardinha, 
• atum, 
• queijo, 
• presunto 
• salame; 
 
sem possibilidade de repetição de recheio em um mesmo sanduíche. Quantos sanduíches distintos 
podem ser montados? 
 
comida.colorir.com 
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Combinação 
cada elemento é de natureza diferente. 
Combinação do pão x combinação do tamanho x combinação do recheio. 
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caso 1 : um item no recheio 
 C 3,1 . C 2,1, C 5,1 = 3.2.5 = 30 
 
caso 2 : dois itens no recheio 
 C 3,1 . C 2,1, C 5,2 = 3.2.10 = 60 
 
caso 3 : três itens no recheio 
 C 3,1 . C 2,1, C 5,3 = 3.2.10 = 60 
 
caso 4 : quatro itens no recheio 
 C 3,1 . C 2,1, C 5,4 = 3.2.5 = 30 
 
caso 5 : cinco itens no recheio 
 C 3,1 . C 2,1, C 5,5 = 3.2.1 = 6 
 
30+60 + 60 +30+6 =186 sanduíches diferentes. 
Tipos de pão: 
• calabresa, 
• orégano, 
• queijo; 
Tamanhos: 
• pequeno, 
• grande; 
Recheio: 
• sardinha, 
• atum, 
• queijo, 
• presunto, 
• salame; 
 
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3- O número de sanduíches distintos que um cliente pode 
montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches 
pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche. 
Tipos de pão: 
• calabresa, 
• orégano 
• queijo; 
Tamanhos: 
• pequeno 
• grande; 
Recheio: 
• sardinha, 
• atum, 
• queijo, 
• presunto 
• salame; 
 
C 2,1 . C 1,1, C 5,2 
20 opções 
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4- Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. 
Levando-se em conta apenas a unidade de federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras 
diferentes pode terminar o campeonato ? 
 
Número de permutações possíveis entre as unidades da federação de RS, RJ, RS e SP. 
Temos: 
 P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
 
No entanto a Unidade de Federação do RS ocorre 2 vezes, devemos, portanto, eliminar as duas 
permutações referentes a ela: 24 / 2! = 12 maneiras diferentes de poder terminar o campeonato. 
 
Outra maneira: P4 
(2): 12 maneiras diferentes. 
 
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Arranjo, Permutação e Combinação 
 
5- Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele 
poderá escolher as 3 questões? 
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Combinação 
ordem em que os elementos aparecerão não será importante. 
Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes. C 6, 3 = 20 
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6- Resolver a equação C x,2 = 3. 
Logo V = {3} 
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7- Em um grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher 4 
membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota entre os escolhidos? 
 
• Se entre os 4 membros escolhidos há uma garota: C 7, 2 . C 2, 1 maneiras distintas. 
• Se entre os 4 membros escolhidos há duas garotas: C 7, 2 . C 2, 2 maneiras distintas. 
 
Portanto: C 7, 2 . C 2, 1 + C 7, 2 . C 2, 2 = 91 
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Arranjos, Permutação e Combinação 
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2.3.1. Aplicação de Arranjo, Permutação e Combinação 
 
Arranjo Simples 
 
Podemos calcular a quantidade possível de agrupamentos com elementos distintos de um determinado 
conjunto. 
 
Exemplo: conjunto A= {1,2,3}, tomados 2 a 2. 
 
Que arranjos seriam possíveis? (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2). 
 
Graficamente: Árvore de Possibilidades. 
 
Temos 3 x 2 = 6 arranjos. Assim de acordo com a notação padrão, A 3,2 = 6 . 
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Material referente ao conteúdo de Arranjo. 
Disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf 
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Arranjos, Permutação e Combinação 
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Material referente ao conteúdo de Arranjo. 
Disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf 
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Arranjos, Permutação e Combinação 
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http://sites.unifra.br/rived/ObjetosPedag%C3%B3gicos/Matem%C3%A1tica/tabid/428/la 
nguage/pt-BR/Default.aspx 
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Software "Combinat”: Arranjos, Combinações e Permutações. 
 
http://www.somatematica.com.br/emedio.php 
 
 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos.1- Em um plano são marcados 5 pontos distintos, não alinhados. 
 
Quantos triângulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vértice? 
 
Solução: C 5,3 = 10 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2- No congresso Nacional, uma comissão de 5 membros será formada a partir de 8 senadores e 6 
deputados, sendo que pelo menos um deputado deverá pertencer à comissão. Calcule o número 
de comissões que poderão ser formadas. 
 
Solução: A comissão poderá ser formada por: 
 
4 senadores e 1 deputado: C 8,4 . C6,1 = 70 . 6 = 420 
3 senadores e 2 deputados: C8,3 . C6,2 = 56 . 15 = 840 
2 senadores e 3 deputados: C8,2 . C6,3 = 28 . 20 = 560 
1 senador e 4 deputados: C8,1 . C6,4 = 8 . 15 = 120 
5 deputados: C6,5 = 6 
 
Logo, poderão ser formadas 1.946 comissões. 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3- Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início 
do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes? 
 
Solução: Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. 
Como a ordem não faz diferença, temos: 
 
Escolhas do levantador: 
 
 
 
Escolhas dos 5 atacantes: 
 
 
Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time. 
 
Exercícios Propostos 
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4- Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas? 
5- Se tivermos um conjunto com 4 termos e quisermos formar arranjos de 3 a 3: 
 
 A 4,3 = (4! ) / (4-3)! 1! 
 
 = 4 x 3 x 2 x 1! / 1! = 24 
Exercícios Propostos 
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Indicação de Leitura Específica 
 
• Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. 
• Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de 
Conjuntos disponíveis. 
 
Recomendação de leitura no material didático: 
Matemática Discreta - Juliano Minelli - 1ª edição, SESES – Rio de Janeiro 2015 – Estácio, p: 11-19 
 
Sugestão de material: 
http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte08.pdf 
http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte08.pdf 
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx 
 
Indicação de Leitura 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
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Indicação de Leitura Específica 
 
Sugestão de leitura: Contagem 
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.html 
 
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php 
 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm 
 
 
Indicação de Leitura 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Unidade 3 – Relações 
 
3.1. Pares Ordenados. 
 3.1.2. Produto Cartesiano; 
 3.1.3. Relação; 
 3.1.4. Contradomínio, Domínio e Imagem. 
3.2. Relações Binárias. Propriedades e Fechos. 
3.3. Ordens Parciais. 
3.4. Relações de Equivalência.