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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Aula 7: Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma propriedade especial. Sejam A e B conjuntos. Seja R uma relação de A em B. Suponhamos que: 1. D(R)=A 2. I(R) B 3. Cada elemento x ∊ A está associado a um único elemento y ∊ B https://ccbela.wordpress.com Uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Notação: f : A B x y f Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Exemplo: A relação f é função? https://ccbela.wordpress.com Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Exemplo: A relação f é função, pois: - todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B. Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Exemplo: A relação g é função? A relação t é função? Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Exemplo: A relação g é função, pois: - todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D. No entanto, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de O (1 e 6). Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. Exemplo: CP(f) = ? D = ? CD(f) = ? Im(f) = ? Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. Exemplo: CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. Exemplo: CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. Exemplo: CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; Im(f) = {16}. Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. • Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } Funções Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. • Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } Funções Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. • Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 } Funções Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. • Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio. Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 } Funções Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. • Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções • Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. Domínio: D(f) = ? Contradomínio: CD(f) = ? Conjunto Imagem: Im(f) = ? Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } Funções • Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } Funções • Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 } Funções • Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Composição de Funções Exemplo: A concentração de monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade? https://ccbela.wordpress.com Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Composição de Funções. Exemplo: A concentração de monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que trafega por ela. Monóxido de carbono http://www.escolaandroid.com Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Composição de Funções Exemplo: A quantidade de carros varia com o tempo. http://www.escolaandroid.com Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Composição de Funções Exemplo: Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo. Monóxido de carbono http://www.escolaandroid.com Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Composição de Funções Definição: Sejam g: A B e f: Im(g) C. Definimos a composta de f com g, e denotamos por fog ( lê-se f “bola” g), a função dada por ( fog )(x) = f(g(x)). A função h(x) = f(g(x)) é chamada função composta de f com g, aplicada em x. http://www.mundoeducacao.com Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. O domínio de fog é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) esta no domínio de f. Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (f o g). x g(x) f(g(x) fog Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. O domínio de fog é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) esta no domínio de f. Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (f o g). Solução: Temos que (f o g)(x) = f(g(x)) = f (x2 + 1) = . x g(x) f(g(x) fog Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (g o f). x f (x) g(f(x) gof Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (g o f). Solução: Temos que (g o f)(x) = g(f(x)) = g ( ) = = x + 1. x f (x) g(f(x) gof Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções x f (x) g(f(x)gof Observação: A ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no resultado final, portanto, a operação de composição entre funções não satisfaz a propriedade comutativa. Funções Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (g o f). Solução: Temos que (g o f)(x) = g(f(x)) = g ( ) = = x + 1. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Sempre deve-se verificar se o domínio da função composta é satisfeita. https://ccbela.wordpress.com Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observação: Sempre deve-se verificar se o domínio da função composta é satisfeita. Exemplo: Seja f(x) = - x2 e g(x) = . A função composta (g o f)(x) não será possível satisfazer o domínio. Só será possível calcular (g o f)(x) para f e g quando x = 0. • gof(x) = g(f(x)) = R Funções https://ccbela.wordpress.com MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Função Inversa De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f é a função que desfaz a operação executada pela função f. Notação: f -1 Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observe: f leva o valor -2 até o valor -16, enquanto que a inversa traz de volta o valor -16 até o valor -2. http://www.calculo.iq.unesp.br Funções Função Inversa De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f é a função que desfaz a operação executada pela função f. MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Definição: Seja f: A B uma função injetora com domínio A e imagem B. A função inversa é a função f -1 : A B, com domínio B e imagem A tal que: f -1(f(a)) = a para a ∊ A e f (f -1(b)) = b para b ∊ B Então x = f -1 (y) y = f(x) para todo y em B. Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: Passo 1: Escreva y = f(x). Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. Passo 3: Escreva x = f-1(y). Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: Passo 1: Escreva y = f(x). Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. Passo 3: Escreva x = f-1(y). Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). Exemplo: f(x) = x3 – 1 Passo 1: y = f(x) = x3 – 1 Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Funções Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: Passo 1: Escreva y = f(x). Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. Passo 3: Escreva x = f-1(y). Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). Exemplo: f(x) = x3 – 1 Passo 1: y = f(x) = x3 – 1 Passo 2: MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Funções Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: Passo 1: Escreva y = f(x). Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. Passo 3: Escreva x = f-1(y). Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). Exemplo: f(x) = x3 – 1 Passo 1: y = f(x) = x3 – 1 Passo 2: Passo 3: MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Observe: que obtemos o ponto Q(b,a) a partir do ponto P(a,b), refletindo-o em torno da reta bissetriz y = x. P(a,b) pertence ao gráfico de f Q(b,a) pertence ao gráfico de f -1. http://www.calculo.iq.unesp.br Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções O gráfico de f-1 é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta bissetriz y = x. http://www.calculo.iq.unesp.br Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Exemplo: Dada a função y = 3x - 5 determinaremos a sua inversa. 1o Passo: isolar x x = (y+ 5) / 3 2o Passo: trocar-se x por y e y por x. y= (x+ 5) / 3 f -1 (x) = (x+ 5) / 3. Funções MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 1- (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: • Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. • Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. • Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. Exercícios Propostos MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 1- (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: • Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. • Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. • Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. Solução: Na opção II: 56 - 20 36 portanto 36: 2= 18 filmes alugados. Na opção I : 40 + (1,20).18 40 + 21,6 61,60 Na opção III: 3. (18) 54,00 Melhor opção seria a III. Exercícios Propostos MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 2- Decomponha a função em funções mais simples. Exercícios Propostos MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 2- Decomponha a função em funções mais simples. Solução: Para calcular em primeiro lugar calculamos o valor de (x2 – 9) e, em seguida, a raiz quadrada do resultado. Denotamos g(x) = x2 – 9 (como a função de dentro) e (como a função de fora) de modo que: Exercícios Propostos MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 3- Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6. Determine a inversa de f(x). Exercícios Propostos MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 3- Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6. Determine a inversa de f(x). Solução: Teremos que a inversa de f(x), ou seja f-1(x), será: Exercícios Propostos MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 7: Funções Indicação de Leitura Específica • Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. • Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis. Recomendação de leitura no material didático: Matemática Discreta - Juliano Minelli - 1ª edição, SESES – Rio de Janeiro 2015 – Estácio, p: 40 – 59 Sugestão de material: http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php http://www.somatematica.com.br/softOnline.php http://tecciencia.ufba.br/funcao-do-1o-grau software free: graphmatica ou mesmo utilizar o excel. Indicação de Leitura MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Indicação de Leitura AULA 7: Funções Indicação de Leitura Específica Abaixo uma indicação de site: http://www.somatematica.com.br/softOnline.php http://tecciencia.ufba.br/funcao-do-1o-grau http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcoes-inversas.htmlVAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? Unidade 4 – Funções Funções do Primeiro Grau.
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