Funções Matemáticas

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 7: Funções 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
AULA 7: Funções 
Tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma propriedade especial. 
 
Sejam A e B conjuntos. Seja R uma relação de A em B. 
Suponhamos que: 
 
1. D(R)=A 
2. I(R)  B 
3. Cada elemento x ∊ A está associado a um único elemento y ∊ B 
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Uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A 
estiver associado, através de f, a um único elemento de B. 
Notação: f : A  B 
x y 
f 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Exemplo: 
A relação f é função? 
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Funções 
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AULA 7: Funções 
Exemplo: 
 
A relação f é função, pois: 
- todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B. 
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AULA 7: Funções 
Exemplo: 
A relação g é função? 
 
A relação t é função? 
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Exemplo: 
 
A relação g é função, pois: 
 - todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D. 
 
No entanto, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de O (1 e 6). 
 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), 
contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. 
 
Exemplo: 
CP(f) = ? 
D = ? 
CD(f) = ? 
Im(f) = ? 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), 
contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. 
 
Exemplo: CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; 
 
Funções 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
AULA 7: Funções 
Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), 
contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. 
 
Exemplo: CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; 
 CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; 
 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), 
contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. 
 
Exemplo: CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; 
 CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; 
 Im(f) = {16}. 
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AULA 7: Funções 
Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. 
 
• Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } 
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Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. 
 
• Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. 
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AULA 7: Funções 
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } 
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } 
Funções 
Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. 
 
• Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. 
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AULA 7: Funções 
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } 
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } 
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 } 
Funções 
Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. 
 
• Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. 
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AULA 7: Funções 
Observação: Em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados 
por algum elemento do domínio. 
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } 
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } 
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 } 
Funções 
Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. 
 
• Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. 
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AULA 7: Funções 
• Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. 
Domínio: D(f) = ? 
Contradomínio: CD(f) = ? 
Conjunto Imagem: Im(f) = ? 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } 
Funções 
• Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. 
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AULA 7: Funções 
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } 
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } 
Funções 
• Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. 
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AULA 7: Funções 
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } 
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } 
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 } 
Funções 
• Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. 
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Composição de Funções 
 
Exemplo: A concentração de monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade? 
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Composição de Funções. 
 
Exemplo: A concentração de monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade, 
depende da quantidade de carros que trafega por ela. 
Monóxido de carbono 
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Composição de Funções 
 
Exemplo: A quantidade de carros varia com o tempo. 
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AULA 7: Funções 
Composição de Funções 
 
Exemplo: Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo. 
Monóxido de carbono 
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AULA 7: Funções 
Composição de Funções 
 
Definição: Sejam g: A  B e f: Im(g)  C. Definimos a composta de f com g, e denotamos por 
fog ( lê-se f “bola” g), a função dada por ( fog )(x) = f(g(x)). 
 
A função h(x) = f(g(x)) é chamada função composta de f com g, aplicada em x. 
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AULA 7: Funções 
Observação: 
 
 Esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. 
 O domínio de fog é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) esta no domínio de f. 
 
Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (f o g). 
 
x g(x) f(g(x) 
fog 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Observação: 
 
 Esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. 
 O domínio de fog é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) esta no domínio de f. 
 
Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (f o g). 
 
Solução: Temos que 
 
 (f o g)(x) = f(g(x)) = f (x2 + 1) = . 
 
x g(x) f(g(x) 
fog 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (g o f). 
x f (x) g(f(x) 
gof 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (g o f). 
 
Solução: Temos que 
 
 (g o f)(x) = g(f(x)) = g ( ) = = x + 1. 
 
x f (x) g(f(x) 
gof 
Funções 
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AULA 7: Funções 
x f (x) g(f(x)gof 
Observação: A ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no resultado final, 
portanto, a operação de composição entre funções não satisfaz a propriedade comutativa. 
Funções 
Exemplo: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (g o f). 
 
Solução: Temos que 
 
 (g o f)(x) = g(f(x)) = g ( ) = = x + 1. 
 
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AULA 7: Funções 
Observação: Sempre deve-se verificar se o 
domínio da função composta é satisfeita. 
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AULA 7: Funções 
Observação: Sempre deve-se verificar se o domínio da função composta é satisfeita. 
 
Exemplo: Seja f(x) = - x2 e g(x) = . A função composta (g o f)(x) não será possível 
satisfazer o domínio. Só será possível calcular (g o f)(x) para f e g quando x = 0. 
 
• gof(x) = g(f(x)) =  R 
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AULA 7: Funções 
Função Inversa 
 
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f é a função que desfaz 
 a operação executada pela função f. 
 
Notação: f -1 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Observe: f leva o valor -2 até o valor -16, enquanto que a inversa traz de volta o valor -16 até o valor -2. 
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Funções 
Função Inversa 
 
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f é a função que desfaz 
 a operação executada pela função f. 
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AULA 7: Funções 
Definição: Seja f: A B uma função injetora com domínio A e imagem B. A função inversa é a função 
 f -1 : A  B, com domínio B e imagem A tal que: 
 
 f -1(f(a)) = a para a ∊ A e 
 f (f -1(b)) = b para b ∊ B 
 
Então x = f -1 (y)  y = f(x) para todo y em B. 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: 
 
Passo 1: Escreva y = f(x). 
Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. 
Passo 3: Escreva x = f-1(y). 
Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: 
 
Passo 1: Escreva y = f(x). 
Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. 
Passo 3: Escreva x = f-1(y). 
Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). 
 
Exemplo: f(x) = x3 – 1 
 
Passo 1: y = f(x) = x3 – 1 
 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Funções 
Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: 
 
Passo 1: Escreva y = f(x). 
Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. 
Passo 3: Escreva x = f-1(y). 
Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). 
 
Exemplo: f(x) = x3 – 1 
 
Passo 1: y = f(x) = x3 – 1 
 
Passo 2: 
 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
AULA 7: Funções 
Funções 
Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: 
 
Passo 1: Escreva y = f(x). 
Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. 
Passo 3: Escreva x = f-1(y). 
Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). 
 
Exemplo: f(x) = x3 – 1 
 
Passo 1: y = f(x) = x3 – 1 
 
Passo 2: 
 
Passo 3: 
 
 
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AULA 7: Funções 
Observe: que obtemos o ponto Q(b,a) a partir do ponto P(a,b), refletindo-o em torno da reta bissetriz y = x. 
P(a,b) pertence ao gráfico de f  Q(b,a) pertence ao gráfico de f -1. 
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Funções 
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AULA 7: Funções 
O gráfico de f-1 é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta bissetriz y = x. 
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Funções 
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AULA 7: Funções 
Exemplo: Dada a função y = 3x - 5 determinaremos a sua inversa. 
 
1o Passo: isolar x  x = (y+ 5) / 3 
2o Passo: trocar-se x por y e y por x. y= (x+ 5) / 3  f -1 (x) = (x+ 5) / 3. 
Funções 
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AULA 7: Funções 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
1- (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: 
 
• Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. 
• Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. 
• Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. 
 
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. 
 
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. 
Exercícios Propostos 
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AULA 7: Funções 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
1- (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: 
• Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. 
• Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. 
• Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. 
 
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. 
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. 
 
Solução: 
 
Na opção II: 56 - 20  36 portanto 36: 2= 18 filmes alugados. 
Na opção I : 40 + (1,20).18  40 + 21,6  61,60 
Na opção III: 3. (18)  54,00 
Melhor opção seria a III. 
Exercícios Propostos 
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AULA 7: Funções 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2- Decomponha a função em funções mais simples. 
 
 
Exercícios Propostos 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
AULA 7: Funções 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2- Decomponha a função em funções mais simples. 
 
 
 
Solução: 
 
Para calcular em primeiro lugar calculamos o valor de (x2 – 9) e, em seguida, a raiz quadrada do 
resultado. 
 
Denotamos g(x) = x2 – 9 (como a função de dentro) e (como a função de fora) de modo que: 
 
 
Exercícios Propostos 
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AULA 7: Funções 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3- Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6. Determine a inversa de f(x). 
Exercícios Propostos 
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AULA 7: Funções 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3- Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6. Determine a inversa de f(x). 
 
Solução: Teremos que a inversa de f(x), ou seja f-1(x), será: 
Exercícios Propostos 
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AULA 7: Funções 
Indicação de Leitura Específica 
 
• Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. 
• Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos 
disponíveis. 
 
Recomendação de leitura no material didático: 
Matemática Discreta - Juliano Minelli - 1ª edição, SESES – Rio de Janeiro 2015 – Estácio, p: 40 – 59 
 
Sugestão de material: 
 
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php 
http://www.somatematica.com.br/softOnline.php 
http://tecciencia.ufba.br/funcao-do-1o-grau 
 
software free: graphmatica ou mesmo utilizar o excel. 
Indicação de Leitura 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Indicação de Leitura 
AULA 7: Funções 
Indicação de Leitura Específica 
 
Abaixo uma indicação de site: 
 
http://www.somatematica.com.br/softOnline.php 
 
http://tecciencia.ufba.br/funcao-do-1o-grau 
 
http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcoes-inversas.htmlVAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Unidade 4 – Funções 
 
Funções do Primeiro Grau.