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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 12: Cálculo Proposicional 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Cálculo Proposicional 
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Formas Normais. 
 
Podemos transformar fórmulas em fórmulas semanticamente equivalentes. 
 
Fórmulas de formas especiais  satisfabilidade ou validade das fórmulas originais. 
 
Definições: 
 
• Um literal é uma variável proposicional (p) ou a sua negação (~p). 
 
• Fórmula normal negativa se a ocorrência de ~ for só em literais. 
 
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Formas Normais. 
 
Proposição – Qualquer fórmula contendo apenas as conectivas ^ ,  e ~ é semanticamente 
equivalente a uma fórmula em forma normal negativa. 
 
Exemplo: Determinar a forma normal negativa de ~ ((p  q) ^ ~p). 
 
 
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Formas Normais. Problema de Post; 
 
Proposição – Qualquer fórmula contendo apenas as conectivas ^ ,  e ~ é semanticamente 
equivalente a uma fórmula em forma normal negativa. 
 
Exemplo: Determinar a forma normal negativa de ~ ((p  q) ^ ~p). 
 
a) ~((p  q) ^ ~p) 
 
 
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Formas Normais. Problema de Post; 
 
Proposição – Qualquer fórmula contendo apenas as conectivas ^ ,  e ~ é semanticamente 
equivalente a uma fórmula em forma normal negativa. 
 
Exemplo: Determinar a forma normal negativa de ~ ((p  q) ^ ~p). 
 
a) ~((p  q) ^ ~p) 
 
b) ~(p  q)  ~~p (DeMorgan) 
 
 
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Formas Normais. Problema de Post; 
 
Proposição – Qualquer fórmula contendo apenas as conectivas ^ ,  e ~ é semanticamente 
equivalente a uma fórmula em forma normal negativa. 
 
Exemplo: Determinar a forma normal negativa de ~ ((p  q) ^ ~p). 
 
a) ~((p  q) ^ ~p) 
b) ~(p  q)  ~~p (DeMorgan) 
 
c) (~p ^ ~q)  ~~p (DeMorgan) 
 
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Formas Normais. Problema de Post; 
 
Proposição – Qualquer fórmula contendo apenas as conectivas ^ ,  e ~ é semanticamente 
equivalente a uma fórmula em forma normal negativa. 
 
Exemplo: Determinar a forma normal negativa de ~ ((p  q) ^ ~p). 
 
a) ~((p  q) ^ ~p) 
b) ~(p  q)  ~~p (DeMorgan) 
c) (~p ^ ~q)  ~~p (DeMorgan) 
 
d) (~p ^ ~q)  p (Dupla Negação) 
 
Portanto: (~p ^ ~q)  p 
 
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TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA 
 
Fórmula que possui apenas valor V em sua tabela verdade. 
 
Exemplo : p  ~ p 
 
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TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA 
 
Fórmula que possui apenas valor V em sua tabela verdade. 
 
Exemplo : p  ~ p 
 
 
 
 
 
 
Portanto p  ~ p é uma Tautolodia 
 
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 CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA 
 
Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade. 
 
Exemplo : p ^ ~ p 
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 CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA 
 
Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade. 
 
Exemplo : p ^ ~ p 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto p ^ ~ p é uma Contra-Tautolodia 
 
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 CONTINGENTE ou INDETERMINADA 
 
Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade. 
 
Exemplo : p  q 
 
 
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 CONTINGENTE ou INDETERMINADA 
 
Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade. 
 
Exemplo : p  q 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto p  q é Contingente 
 
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Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS nos permitem transformar qualquer fórmula 
em uma fórmula logicamente equivalente, que não contenha os conectivos  e  : 
 
 FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) 
 
1. Substituem-se fórmulas: 
a. A  B por ~A  B 
b. A  B por (~ A  B) ^ (~ B  A) 
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Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS  fórmula logicamente equivalente, que 
não contenha os conectivos  e , 
 
 FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) 
 
1. Substituem-se fórmulas: 
a. A  B por ~A  B 
b. A  B por (~ A  B) ^ (~ B  A) 
 
2. Elimina-se a negação que precede os parênteses, substituindo-se: 
a. ~(A ^ B) por ~A  ~B 
b. ~(A  B) por ~A ^ ~ B . 
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Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS  fórmula logicamente equivalente, que 
não contenha os conectivos  e , 
 
 FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) 
 
1. Substituem-se fórmulas: 
a. A  B por ~A  B 
b. A  B por (~ A  B) ^ (~ B  A) 
 
2. Elimina-se a negação que precede os parênteses, substituindo-se: 
a. ~(A ^ B) por ~A  ~B 
b. ~(A  B) por ~A ^ ~ B. 
 
3. Eliminam-se as negações múltiplas, substituindo ~(~ A) por A. 
 
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Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS  fórmula logicamente equivalente, que 
não contenha os conectivos  e , 
 
 FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) 
 
1. Substituem-se fórmulas: 
a. A  B por ~A  B 
b. A  B por (~ A  B) ^ (~ B  A) 
 
2. Elimina-se a negação que precede os parênteses, substituindo-se: 
a. ~(A ^ B) por ~A  ~B 
b. ~(A  B) por ~A ^ ~ B 
 
3. Eliminam-se as negações múltiplas, substituindo ~(~ A) por A. 
4. Elimina-se o alcance dos conectivos, substituindo 
a. para obter a FNC : A  (B ^ C) por (A  B) ^ (A  C) 
b. para obter a FND : A ^ (B  C) por (A ^ B)  (A ^ C) 
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FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) se, e somente se: 
 
1. No máximo contém os conectivos ~, ^ , . 
 
2. A negação ~ não tem alcance sobre os conectivos  e ^. 
 
3. Não aparecem negações sucessivas. 
 
4. O conectivo não tem alcance sobre ^ na FNC. 
 
5. O conectivo ^ não tem alcance sobre v na FND. 
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Exemplos: FNC : (~ p  q) ^ (r  s  p) 
 
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Exemplos: FNC : (~ p  q) ^ (r  s  p) 
 
FND : p  (q ^ r)  (~ s ^ p) 
 
 
Exemplo: Determine uma FND e uma FNC equivalente à fórmula ((p  q) ^ ~q)  ( r ^ q) . 
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 PROBLEMA DE POST 
 
Podemos construir a tabela verdade de uma fórmula, conhecidos os valores verdade das fórmulas 
que a compõem. 
 
O problema recíproco: 
 
 
 Para toda tabela 
verdade, existe 
uma fórmula que a 
determina? 
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 PROBLEMA DE POST 
 
O problema recíproco: Para toda tabelaverdade, existe uma fórmula que a determina? 
 
 
 
PROBLEMA DE POST 
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 PROBLEMA DE POST 
 
Pode ser resolvido obtendo-se uma FNC ou uma FND que satisfaça a tabela verdade dada. 
 
Para se obter uma FND: 
 
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem V na última coluna; 
 
2. Construímos para cada uma destas linhas as conjunções correspondentes; 
 
3. Fazemos a disjunção destas conjunções obtendo uma fórmula em FND que satisfaz a tabela verdade. 
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 Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo: 
Fórmula obtida (p ^ q)  (~ p ^ ~ q) FND 
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Para se obter uma FNC: 
 
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F na última coluna; 
 
2. Construímos para cada uma dessas linhas as disjunções correspondentes; 
 
3. Fazemos a conjunção dessas disjunções obtendo uma fórmula em FNC que satisfaz a tabela verdade. 
 
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Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo: 
Fórmula obtida (~ p  q) ^(p  ~ q) FNC 
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 Conjuntos Adequados de Conectivos; 
 
Representar uma fórmula qualquer basta dois destes conectivos (^,  ,  ,  e ~ ), 
mas não dois quaisquer. 
 
Portanto, teremos que um conjunto de conectivos é adequado se para toda fórmula 
 
proposicional existe uma fórmula equivalente formada só pelos conectivos (^,  ,  ,  e ~ ). 
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 Conjuntos Adequados de Conectivos; 
 
A linguagem do cálculo proposicional utilizará apenas os conectivos básicos ( ~ e ). 
 
 Conectivos derivados: (^,  e ). 
 
Proposição: Cada função de verdade e gerada por uma fórmula envolvendo apenas 
os conectivos ~, ^ e . 
 
Proposição – Toda fórmula e logicamente equivalente a uma fórmula na forma normal 
disjuntiva. 
 
Proposição: {~,^}, {~, }, {~, } são conjuntos adequados de conectivos. 
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 Argumento e Regras de Inferência. 
 
ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO, e os demais PREMISSAS. 
 
Definição: Chamamos ARGUMENTO toda afirmação de que uma dada sequência A1 , A2 ,A3 ,... , 
An , B (n  1) de proposições tem como consequência ou acarreta uma proposição final Q. 
 
Premissas: são Ai (0< i < n). 
 
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 Argumento e Regras de Inferência. 
 
Definição: Um ARGUMENTO A1 , A2 ,A3 ,... , An , B é VÁLIDO se, e somente se, sendo 
as premissas verdadeiras a conclusão B também é verdadeira, ou ainda, se e somente se, 
a fórmula A1 ^ A2 ^A3 ^... ^ An B é uma tautologia. 
 
Exemplo: O argumento que segue é válido? 
 
 Se eu ganhar na Loteria, serei rico. 
 
 Eu ganhei na Loteria. 
 
 Logo, sou rico. 
 
 
 
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 Argumento e Regras de Inferência. 
 
Definição: Um ARGUMENTO A1 , A2 ,A3 ,... , An , B é VÁLIDO se, e somente se, sendo 
as premissas verdadeiras à conclusão B também são verdadeiras, ou ainda, se e somente se, 
a fórmula A1 ^ A2 ^A3 ^... ^ An B é uma tautologia. 
 
Exemplo: O argumento que segue é válido? 
 
 Se eu ganhar na Loteria, serei rico. 
 
 Eu ganhei na Loteria. 
 
 Logo, sou rico. 
 
 
 
É Válido 
 (a conclusão é uma decorrência lógica das duas premissas). 
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 Exemplo: O argumento que segue é válido? 
 
Se eu ganhar na Loteria, serei rico 
 
Eu não ganhei na Loteria 
 
Logo, não sou rico 
 
 
 
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 Exemplo: O argumento que segue é válido? 
 
Se eu ganhar na Loteria, serei rico 
 
Eu não ganhei na Loteria 
 
Logo, não sou rico 
 
 
 Não é Válido (a conclusão não é uma decorrência lógica das duas premissas). 
 
 
 
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 Exemplo: 
 
 Toda baleia é um mamífero. ( V ) 
 
 Todo mamífero tem pulmões. ( V ) 
 
 Logo, toda baleia tem pulmões. ( V ) 
 
 
 
É Válido e a conclusão é verdadeira. 
 
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 REGRAS DE INFERÊNCIA 
 
 A fórmula a implica tautologicamente a fórmula b (a  b) se e somente se: 
 
a fórmula a  b é uma tautologia. 
 
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 Exemplo: 
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EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS 
 
 As fórmulas a e b são tautologicamente equivalentes (a  b) se, e somente se: 
 
 fórmula a  b é uma tautologia 
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Exemplo: 
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Exemplo: Determine se o argumento dado é valido e se sua conclusão deve 
ser verdadeira apenas pela validade do argumento. 
 
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Exemplo: Determine se o argumento dado é valido e se sua conclusão deve 
ser verdadeira apenas pela validade do argumento. 
 
 
 
 
 
 
Seja p a proposição e q a proposição 2 > 
 
As premissas do argumento são p  q e p e q é a conclusão. Esse argumento é válido pois é 
construído de acordo com modus ponens, uma forma válida de argumento. No entanto, 
é falsa. Consequentemente, não podemos deduzir que a conclusão seja verdadeira. Neste caso, 
notamos que a conclusão é falsa, pois 2 < 9/4. 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
1- Mostre que os argumentos abaixo são válidos, utilizando tabela verdade e as regras de inferência: 
 
 Se o programa é eficiente, ele executará rapidamente. 
 O programa é eficiente ou tem um erro. 
 O programa não executa rapidamente. 
 Portanto o programa tem um erro; 
 
 
Exercícios Propostos 
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p: O programa é eficiente 
q: O programa executa rápido 
r: O programa tem um erro. 
Temos então, na linguagem simbólica, as premissas p → q, p  r, ~q e a conclusão r, ou seja, 
(p → q)  (p ν r)  (~q)  r 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
1- Mostre que os argumentos abaixo são válidos, utilizando tabela verdade e as regras de inferência: 
 
 Se o programa é eficiente, ele executará rapidamente. 
 O programa é eficiente ou tem um erro. 
 O programa não executa rapidamente. 
 Portanto o programa tem um erro; 
 
 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
 
 (p → q)  (p ν r)  (~q)  r 
p q r p → q p  r ~q r 
V V V V V F V 
V V F V V F F 
V F V F V V V 
V F F F V V F 
F V V V V F V 
F V F V F F F 
F F V V V V V 
F F F V F V F 
Exercícios Propostos 
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As premissas são 
(1) p → q 
(2) p  r 
(3) ~q 
 
(4) ~p , modus tollens nas premissas (1) e (3) 
(5) r silogismo disjuntivo nas premissas (2) e (4); 
 
Portanto, podemos concluir a proposição “r” das premissas (1), (2) e (3), ou seja, o argumento é válido. 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
 
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Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2- Mostre a regra da Adição 
 
 
 
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Lembre-se: FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) 
 
1. substitui-se fórmulas: 
a. A  B por ~A  B 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre a regra da Adição 
 
 Solução: 
 
 Regra de Adição 
 
p  p  q  ~p  (p  q)  (~p  p)  q 
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~p p ~p  p 
V F V 
V F V 
F V V 
F V V 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre a regra da Adição 
 
 Solução: 
 
 Regra de Adição 
 
p  p  q  ~p  (p  q)  (~p  p)  q 
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~p p ~p  p 
V F V 
V F V 
F V V 
F V V 
Exercícios Propostos 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
2) Mostre a regra da Adição 
 
 Solução: 
 
 Regra de Adição 
 
p  p  q  ~p  (p  q)  (~p  p)  q  V  q  V. 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre a Regra Modus Ponens 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
3) Mostre a Regra Modus Ponens 
 
Solução: 
 
(p  q) ^ p q  (~p  q) ^ p  q  (~p ^ p)  (q ^ p)  q  F  (q ^p)  q 
 
 (q ^ p)  q  ~(q ^p)  q  (~q  ~ p)  q  (~q  q)  ~ p  V  ~ p  V. 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
4) Mostrar, sem usar tabela verdade, que : (~p  q) ^ p  q 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
4) Mostrar, sem usar tabela verdade, que : (~p  q) ^ p  q 
 
Solução: 
 
(~p  q) ^p  q  ~((~p  q) ^p)  q (p ^~ q)  ~ p  q  (p ^ ~ q)  ~( p ^ ~ q)  V. 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
5- Diga qual regra de inferência é base do seguinte argumento: 
"Está esfriando e chovendo agora. Portanto, está esfriando agora.“ 
 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
5- Diga qual regra de inferência é base do seguinte argumento: 
 "Está esfriando e chovendo agora. Portanto, está esfriando agora.“ 
 
Solução: Seja p a proposição "Está esfriando" e q a proposição "Está chovendo agora.." 
Então, esse argumento é da forma: 
 
p ^ q 
------ 
∴p 
 
Esse é um argumento que usa a regra da simplificação. 
 
Observação: ∴ representa portanto. 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
6) Diga qual regra de inferência é base do seguinte argumento: 
 
"Se chover, então não haverá churrasco hoje. 
 Se não houver churrasco hoje, haverá amanhã. 
Portanto, se chover hoje, então haverá churrasco amanhã.“ 
 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
 
6) Diga qual regra de inferência é base do seguinte argumento: 
 
"Se chover, então não haverá churrasco hoje. 
 Se não houver churrasco hoje, haverá amanhã. 
Portanto, se chover hoje, então haverá churrasco amanhã.“ 
 
Solução: Seja p a proposição "Está chovendo hoje" e q a proposição "Não terá churrasco hoje" 
e r a proposição "Terá churrasco amanhã" 
Então, esse argumento é da forma: 
p  q 
Q  r 
------ 
∴ p  r 
 
Esse é um argumento é um silogismo hipotético. 
Exercícios Propostos 
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Indicação de Leitura Específica 
 
• Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. 
• Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos 
disponíveis. 
 
 
Sugestão de material: 
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E1tic
a.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf 
 
https://www.google.com.br/?gfe_rd=cr&ei=TdqhVaOOEeGB8QeEu4DIDA&gws_rd=ssl#q=Proposi%C3
%A7%C3%B5es+Simples 
 
http://www.feata.edu.br/downloads/revistas/avessodoavesso/v3_artigo04_logica.pdf 
 
http://uol.iesde.com.br/aprovaconcursos/demo_aprova_concursos/raciocinio_logico_01.pdf 
 
 
 
Indicação de Leitura 
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Sugestão de leitura: 
 
http://renecomputer.net/lg/aula10.pdf 
 
http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_1FundamentosDaLogica.pdf 
 
 
Indicação de Leitura 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Unidade 6 - Cálculo dos Predicados 
 
6.1. Predicados. Conjunto Universo. 
Conjunto Verdade; 
 
6.2. Quantificadores; 
 
6.3. Variáveis Livres e Ligadas. Alcance do 
Quantificador.