Estatistica e Probabilidade Aula 04

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AULA - 04
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR
VARIÁVEIS:
características ou itens de interesse de cada elemento de uma 
população ou amostra Também chamada parâmetro, 
posicionamento, condição... Duas variáveis estão relacionadas se a 
mudança de uma provoca a mudança na outra. Ex.: velocidade x 
consumo combustível
CORRELAÇÃO:
- Correlação entre duas variáveis Quando uma delas está, de 
alguma forma, relacionada com a outra;
- Quando a alteração no valor de uma variável(dita independente) 
provoca alterações no valor da outra variável (dita dependente)
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR
DIAGRAMA DE DISPERSÃO:
Um diagrama de dispersão mostra a relação entre duas variáveis 
quantitativas, medidas sobre os mesmos indivíduos. Os valores de 
uma variável aparecem no eixo horizontal, e os da outra, no eixo 
vertical. Cada indivíduo aparece como o ponto do gráfico definido 
pelos valores de ambas as variáveis para aquele indivíduo
dica: normalmente, coloca-se no eixo x um parâmetro
DIAGRAMA DE DISPERSÃO:
Fabricação: número de peças produzidas x número de peças 
defeituosas;
Construção: número de falhas em uma obra x satisfação média dos 
construtores; ou dias de atraso de entrega x número de dias 
chuvosos;
Financeiro: média de tempo de atraso de pagamento x número de 
erros de fatura;
Vendas: % de imóveis vendidos na data de entrega da obra x 
satisfação média dos clientes nos últimos 10 empreendimentos.
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
PESO X ALTURA:
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
PESO X ALTURA - DETALHANDO:
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
EIXO ´X´ : variável que é alterada por uma 
modificação no processo (variável independente). 
Geralmente é uma possível causa de um 
problema;
EIXO ´Y´: variável que pode mudar de acordo 
com a mudança da variável em ´x´(variável 
dependente). Geralmente éum indicador de 
qualidade ou efeito gerado por uma causa.
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
EIXO ´X´ : variável que é alterada por uma modificação no processo 
(variável independente). Geralmente é uma possível causa de um 
problema;
EIXO ´Y´: variável que pode mudar de acordo com a mudança da 
variável em ´x´(variável dependente). Geralmente éum indicador 
de qualidade ou efeito gerado por uma causa.
ASPECTOS NA ANÁLISE DOS DIAGRAMAS: 
- DIREÇÃO (crescente, decrescente) 
- FORMA (linear, não-linear, aglomerados) 
- PONTOS DISCREPANTES
Quanto maior a correlação, mais próxima de uma reta a 45º ou 135o
será a distribuição.
PROBLEMAS DA ANÁLISE GRÁFICA
- a análise gráfica da relação entre variáveis é importante, 
mas os olhos nem sempre são um bom juiz da 
intensidade de uma relação linear. 
- nossos olhos podem ser enganados por uma mudança 
de escalas, ou pela quantidade de espaço em branco em 
torno do aglomerado dos pontos. Deve-se, então, utilizar 
uma medida numérica para suplementar o gráfico. 
- o mais utilizado é o Coeficiente de Correlação Linear,
representado por ( r )
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR ( r )
O coeficiente de correlação linear (r) mede o grau 
de relacionamento linear entre valores 
emparelhados x e y em uma amostra . Mede a 
intensidade e a direção da relação linear entre duas 
variáveis quantitativas. Chamado também de 
Coeficiente de Correlação de Pearson*
*Karl Pearson, 1857 – 1936 - matemático britânico é considerado como sendo o criador da 
Estatística Aplicada.
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR ( r )
Formula:
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR ( r )
Interpretando o Coeficiente de Correlação Linear:
- r - sempre será um valor entre -1 ≤ r ≤1;
- quanto mais próximo de 1: maior correlação positiva;
- quanto mais próximo de –1: maior correlação negativa;
- quanto mais próximo de 0: menor a correlação linear
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR ( r )
Interpretando o Coeficiente de Correlação Linear:
valor de r
correlação
negativa
forte
correlação
negativa
fraca
correlação
positiva
fraca
correlação
positiva
forte
ausência de 
correlação
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR ( r )
Propriedades:
- o valor de r não varia se todos os valores de qualquer uma das 
variáveis são convertidos para uma escala diferente;
- o valor de r não é afetado pela escolha de x ou y . 
Permutandox e y , r permanece inalterado;
- o r só mede a intensidade ou grau de relacionamentos 
lineares. Não serve para medir intensidade de relacionamentos 
não lineares.
Exemplo: uma equipe de biólogos comparou as alturas e os
pesos de um grupo de oitos ursos siberiano, conforme
detalhado na tabela abaixo. Qual a correlação entre a altura e o
peso dos ursos estudados?
Altura (pol.) Peso (lb.)
x y
53,0 80
67,5 344
72,0 416
72,0 348
73,5 262
68,5 360
73,0 332
37,0 34
Altura
(pol.)
Peso 
(lb.)
x y x.y x2 y2 (∑xi)
2 (∑yi)
2
53,0 80 4.240 2.809,00 6.400
67,5 344 23.220 4.556,25 118.336
72,0 416 29.952 5.184,00 173.056
72,0 348 25.056 5.184,00 121.104
73,5 262 19.257 5.402,25 68.644
68,5 360 24.660 4.692,25 129.600
73,0 332 24.236 5.329,00 110.224
37,0 34 1.258 1.369,00 1.156
517 2.176 151.879 34.525,75 728.520 266.772,25 4.734.976
a) Montamos uma tabela com os valores que 
iremos utilizar:
b)Depois inserimos os valores na fórmula:
897,0
184.093.175,9433
128.91
=
⋅
=
8(151.879)−(516,5)(2.176)
8(34.525,75)−(516,5)2 . 8(728.520)−(2.176)2r =
n∑(xi ⋅ yi )−(∑xi )(∑yi ) 
n∑xi
2 −( xi )
2 . n∑yi
2 −(∑yi )
2
r =Fórmula:
Exercício: Calcule o coeficiente de correlação 
linear entre X e Y da tabela abaixo. 
X Y
1 3
2 4,8
3 7,1
4 9
5 10,9
6 13,2
x y X.Y x2 y2 (∑xi)
2 (∑yi)
2
Sugestão: monte a tabela:
n∑(xi ⋅ yi )−(∑xi )(∑yi ) 
n∑xi
2 −( xi )
2 . n∑yi
2 −(∑yi )
2
r =Fórmula:
x y X.Y x2 y2 (∑xi)
2 (∑yi)
2
1 3 3 1 9
2 4,8 9,6 4 23,04
3 7,1 21,3 9 50,41
4 9 36 16 81
5 10,9 54,5 25 118,8
6 13,2 79,2 36 174,2
21 48,0 203,6 91 456,5 441 2.304
0,999
45.675
213,6
==
6(203,6)−(21)(48)
6(91)−441. 6(456,5)−2.304r =
Exemplo: É esperado que a 
massa muscular de uma 
pessoa diminua com a idade. 
Para estudar essa relação, 
uma nutricionista selecionou 
18 mulheres, com idade 
entre 40 e 79 anos, e 
observou em cada uma delas 
a idade (X) e a massa 
muscular (Y). Calcule o 
coeficiente de correlação 
linear entre X e Y. 
Massa 
muscular (Y)
Idade (X)
82.0 71.0
91.0 64.0
100.0 43.0
68.0 67.0
87.0 56.0
73.0 73.0
78.0 68.0
80.0 56.0
65.0 76.0
84.0 65.0
116.0 45.0
76.0 58.0
97.0 45.0
100.0 53.0
105.0 49.0
77.0 78.0
73.0 73.0
78.0 68.0
x y X.Y x2 y2 (∑xi)
2 (∑yi)
2
Sugestão: monte a tabela:
n∑(xi ⋅ yi )−(∑xi )(∑yi ) 
n∑xi
2 −( xi )
2 . n∑yi
2 −(∑yi )
2
r =Fórmula:
y x X.Y Y2 X2 (∑xi)
2 (∑yi)
2
82.0 71.0 5822 6724 5041
91.0 64.0 5824 8281 4096
100.0 43.0 4300 10000 1849
68.0 67.0 4556 4624 4489
87.0 56.0 4872 7569 3136
73.0 73.0 5329 5329 5329
78.0 68.0 5304 6084 4624
80.0 56.0 4480 6400 3136
65.0 76.0 4940 4225 5776
84.0 65.0 5460 7056 4225
116.0 45.0 5220 13456 2025
76.0 58.0 4408 5776 3364
97.0 45.0 4365 9409 2025
100.0 53.0 5300 10000 2809
105.0 49.0 5145 11025 2401
77.0 78.0 6006 5929 6084
73.0 73.0 5329 5329 5329
78.0 68.0 5304 6084 4624
1.530 1.108 91.964 133.300 70.362 1.227.664
2.340.900
n∑(xi ⋅ yi )−(∑xi )(∑yi ) 
n∑xi
2 −( xi )
2 . n∑yi
2 −(∑yi )
2
r =Fórmula:
18(91.964)−1.530.1.108 
18(70.362)-1.227.664.18(133.300)-2.340.900
r =Fórmula:
-39.888
1.266.516-1.227.664 . 2.399.400-2.340.900
r =Fórmula:
-39.888
38.852 . 58.500*
r =Fórmula:
*2.272.842.000
= -0,8366
Os dados a seguir 
correspondem à variável 
renda familiar e gasto com 
alimentação (em unidades 
monetárias) para uma 
amostra de 25 famílias.Calcule o coeficiente linear
Renda Familiar (X) Gasto com 
Alimentação (Y)
3 1,5
5 2,0
10 6,0
10 7,0
20 10,0
20 12,0
20 15,0
30 8,0
40 10,0
50 20,0
60 20,0
70 25,0
70 30,0
80 25,0
100 40,0
100 35,0
100 40,0
120 30,0
120 40,0
140 40,0
150 50,0
180 40,0
180 50,0
200 60,0
200 50,0
Um pesquisador deseja verificar se um instrumento
para medir a concentração de determinada
substância no sangue está bem calibrado. Para isto,
ele tomou 15 amostras de concentrações
conhecidas (X) e determinou a respectiva
concentração através do instrumento (Y), obtendo
os dados da tabela abaixo. Calcule o coeficiente
linear dos dados:
X 2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 8,0 8,0 10,0 10,0 10,0
Y 2,1 1,8 1,9 4,5 4,2 4,0 6,2 6,0 6,5 8,2 7,8 7,7 9,6 10,0 10,1
1) Abaixo apresentamos os custos por quantidade do produto X,
produzido pela fábrica A. Calcule o coeficiente linear dos dados:
Quantidade (x) 10 11 12 13 14 15 
Custos (y) 100 112 119 130 139 142 
2) A fábrica A tem dois produtos X e Y e testou duas formas
diferentes de produzi-lo, calculando os custos por tempo de
produção. As duas tabelas estão abaixo. Qual é o método mais
vantajoso?
X 3,41 3,52 3,57 3,6
1 
3,43 3,5
9 
3,6
2 
3,56 3,35 3,47 
Y 8,20 7,10 7,30 8,6
0 
6,80 7,6
0 
8,5
0 
6,90 5,40 6,20 
X 3,53 3,33 3,54 3,2
2 
3,49 3,2
5 
3,7
9 
3,64 3,67 3,72