AP2 c4 gabarito

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2
a
AVALIAÇÃO PRESENCIAL - AP2 � DATA:24/06/2017 � VALOR: 40 PONTOS
DISCIPLINA: CÁLCULO IV
PROFESSOR(A): GRIGORI CHAPIRO
ALUNO(A): N
o
DE MATRÍCULA:
POLO:
Informações: Esta prova contém quatro questões. A prova deve ser feita sem consulta a qualquer
material. Não é permitido usar rascunhos ou calculadoras. A resolução das questões pode ser
feita a lápis. Questões sem desenvolvimento não serão corrigidas.
Questão 1: Para cada campo vetorial dado determine (i) se ele é conservativo e (ii) calcule a
integral ao longo da curva dada:
(a) f : R2 → R2, dado por f(x, y) = (−2y3 sen(x), 6y2 cos(x) + 5), Γa é uma curva poligonal que
conecta os pontos A = (1, 0), B = (1, 1), C = (0, 1), D = (0, 0).
(b) g : R3 → R3, dado por g(x, y, z) = (2xz + y2, 2xy + 3y2, ez + x2), Γb é uma curva espiral com
parametrização Γb(t) = (sen(t), cos(t), t), t ∈ [0, 8pi].
Solução: (a-i) Para verificar se o campo em R2 é conservativo basta verificar se ∂F1
∂y
= ∂F2
∂x
. O
campo é conservativo pois:
∂F1
∂y
=
∂ − 2y3 sen(x)
∂y
= −6y2 sen(x); ∂F2
∂x
=
∂6y2 cos(x) + 5
∂y
= −6y2 sen(x).
(a-ii) A integral ao longo de uma curva de um campo conservativo não depende do caminho.
Portanto, podemos integrar ao longo do intervalo que junta o ponto inicial A = (1, 0) ao ponto
final D = (0, 0). Parametrização: γ(t) = (1− t, 0), t ∈ [0, 1].∫
γ
~f(x, y) =
∫ 1
0
f(γ(t)) · γ′(t)dt =
∫ 1
0
(0 sen(1− t), 0 cos(1− t) + 5) · (−1, 0)dt = 0.
(b-i) Para verificar se o campo em R3 é conservativo basta verificar se rot(g) = 0. O campo é
conservativo pois:
rot(g) =
[
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
,
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
,
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
]
= [0− 0, 2x− 2x, 2y − 2y] = [0, 0, 0].
(b-ii) A integral ao longo de uma curva de um campo conservativo não depende do caminho.
Portanto, podemos integrar ao longo do intervalo que junta o ponto inicial Γb(0) = (0, 1, 0) ao
ponto final Γb(8pi) = (0, 1, 8). Parametrização: γ(t) = (0, 1, t), t ∈ [0, 8].∫
γ
~g(x, y) =
∫ 8
0
g(γ(t)) · γ′(t)dt =
∫ 8
0
(0 + 1, 0 + 3, et + 0) · (0, 0, 1)dt =
∫ 8
0
etdt = e8 − 1.
1
Pontuação: 25 Pts. (a-i) 7 pts, (a-ii) 6 pts, (b-i) 6 pts, (b-ii) 6 pts. Erro de conta - 5 Pts. Montou
a integral certa, mas não calculou -3 Pts.
Questão 2: Seja T o sólido limitado pelas superfícies z2 + x2 + y2 = 4 e z = x, que contém o
ponto (0, 0, 2).
(a) Identifique o sólido através de um esboço do gráfico (indicando os eixos).
(b) Calcule o volume deste sólido usando integral tripla.
Solução: (a) Como visto em Geometria Descritiva z2 + x2 + y2 = 4 é uma esfera com o centro
em (0, 0, 0), z = x é um plano que corta a esfera em duas partes. Portanto o sólido da questão é a
metade da esfera que contém o ponto (0, 0, 2). No gráfico isso seria como na Figura 1a.
z
x
P=(0,0,2)
y
u
v
P
y
Figura 1: Região de integração da Questão 2.
(b) Volume coincide com a integral da função 1 no sólido. Para facilitar podemos trocar as variáveis:
u = (z − x)/√2, v = (z + x)/√2 e y = y. Em novas coordenadas a equação da esfera é
x2 + y2 + z2 = u2 + v2 + y2 = 0. O plano fica u = 0 e queremos a parte da esfera que tem
u > 0. No gráfico isso seria como na Figura 1b. Usando coordenadas esféricas v = r cos(θ)sen(φ),
y = rsen(θ)sen(φ) e u = r cos(φ), r ∈ [0, 2], θ ∈ [0, 2pi], φ ∈ [0, pi/2]. Sem esquecer do Jacobiano
|J | = r2sen(φ). O volume do sólido:
V =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
∫ pi/2
0
r2sen(φ)dφdrdθ =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
r2(− cos(pi/2) + cos(0))drdθ =
∫ 2pi
0
23
3
dθ =
16pi
3
.
Pontuação: (a) 10 Pts. Pequenos erros -5 Pts. (b) 15 Pts. Quem escreveu a integral certa 10
Pts. Erros -5 Pts. Contas sem sentido 0 Pts.
Questão 3: Calcule a seguinte integral utilizando o teorema de Green:∮
C
(ex − 3y)dx+ (ey + 6x)dy,
onde C é a elipse x2 + 4y2 = 4.
Solução: Teorema de Green:∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA.
Temos que
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
=
∂(ey + 6x)
∂x
− ∂(e
x − 3y)
∂y
= 6 + 3 = 9.
2
Para integrar no interior da elipse, trocamos as coordenadas x = 2r cos(θ), y = rsen(θ), r ∈ [0, 1],
θ ∈ [0, 2pi], Jacobiano J = 2r.∮
C
(ex − 3y)dx+ (ey + 6x)dy =
∫∫
D
9JdA =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
18rdrdθ =
∫ 2pi
0
9dθ = 18pi.
Pontuação: 25 Pts. Teorema certo 10 Pts. Pequenos erros -5 Pts. Montou a integral, mas não
soube fazer -7 pts. Contas sem sentido 0 Pts.
Questão 4: Considere a superfície de revolução obtida girando-se o círculo (x− 2)2 + z2 = 1 em
torno do eixo dos z.
(a) Descreva o sólido através de um esboço.
(b) Determine uma parametrização desta superfície.
(c) Calcule a área desta superfície.
Solução: (a) É um toro como na Figura 2.
z
x
1 2
Figura 2: Sólido da Questão 4.
(b) Um sólido de revolução definido no plano XZ por: x(t) = 2 + cos(θ), z(t) = sen(θ), θ ∈ [0, 2pi].
Portanto a parametrização em R3 é
Γ(θ, φ) =
(
(2 + cos(θ)) cos(φ), (2 + cos(θ)) sen(φ), sen(θ)
)
, θ ∈ [0, 2pi], φ ∈ [0, 2pi].
(c) Primeiramente calculamos
Γθ(θ, φ) =
(− sen(θ) cos(φ),−sen(θ) sen(φ), cos(θ)),
Γφ(θ, φ) =
(− (2 + cos(θ))sen(φ), (2 + cos(θ)) cos(φ), 0),
Γθ × Γφ =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−sen(θ) cos(φ) −sen(θ) sen(φ) cos(θ)
−(2 + cos(θ))sen(φ) (2 + cos(θ)) cos(φ) 0
∣∣∣∣∣∣ = 2 + cos(θ).
Calculando a área da superfície parametrizada (Seção 7.7):
A =
∫∫
D
|Γθ × Γφ|dφdθ =
∫ 2pi
0
∫ 2pi
0
(2 + cos(θ))dθdφ = 8pi2.
Pontuação: 25 Pts. (a) 10 Pts. Pequenos erros -5 Pts. (b) 10 Pts. (c) 5 Pts. Contas sem sentido
0 Pts.
3