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Método da Substituição Cálculo 2– Prof. Aline Paliga Introdução Nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo Uma maneira de calcularmos esta integral é mudarmos a variável x para uma nova variável u. Suponha que façamos . Então calculamos a derivada: Portanto podemos reescrever a nossa integral: integral imediata! 22 1x x dx 21u x 2 du=2xdx du x dx 2 22 1 1 2x x dx x xdx udu 1/ 2nu du n 1 1 n n xx dx C n Substituindo 1 1/ 2 1 3/ 2 3/ 2 2 3/ 2 1 2 1/ 2 1 3/ 2 3 2 ( 1) 3 n n uu du C n u u C C u C x C 21u x Podemos verificar a resposta correta usando a Regra da Cadeia para diferencial a função final: 2 3/ 2 2 3/ 2 1 2 1/ 2 2 2 2 3 ( 1) ( 1) 2 3 3 2 2 ( 1) 2 1 d x C x x dx x x x x dF dF du dx du dx F 'F f ' TFC1F f u MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: Esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma, onde u=g(x) ( ( )) '( ) ( )f g x g x dx f u du ( ) '( ) '( ) u g x du g x du g x dx dx PASSO A PASSO: Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral “a função interna” da função composta f (g(x)). Passo 2. Calcule du = g’(x) dx. Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter a integral em uma outra envolvendo apenas u. Passo 4. Calcule a integral resultante. Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como função de x. EXEMPLO 1: RESOLUÇÃO: Seja u=2x+1, então du=2dx ou 2 1x dx 1/ 2 1/ 2 1 3/ 2 3/ 2 3/ 2 1 1 2 2 1 1 2 1/ 2 1 2 3/ 2 (2 1) 3 3 u du u du u u C C u x C C 2 du dx EXEMPLO 2: RESOLUÇÃO: Seja u=5x, então du=5dx ou 5xe dx 5 1 1 5 5 1 5 5 u u x u e du e du e e C C 5 du dx EXEMPLO 3: RESOLUÇÃO: Seja u=x2, então du=2xdx ou 2( )sen x xdx 2 1 1 2 2 1 cos( ) cos( ) 2 2 sen u du sen u du x u C C 2 du xdx EXEMPLO 4: RESOLUÇÃO: Seja u=x4 +2, então du=4x3dx ou 3 4cos( 2)x x dx 4 1 1 cos cos 4 4 1 ( 2) ( ) 4 4 u du u du sen x sen u C C 3 4 du x dx MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (definida) Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e então usar o TFC2. O outro método, usualmente preferível, consiste em mudar os limites de integração ao se variar a variável. ( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ) g b g a f g x g x dx f u du DO EXEMPLO 1: RESOLUÇÃO: 4 0 2 1x dx 4 3/ 24 0 0 3/ 2 3/ 2 3/ 2 3/ 2 (2 1) 2 1 3 (2.4 1) (2.0 1) 3 3 (9) (1) 27 1 26 3 3 3 3 3 x x dx ( ) ( ) 4 9 0 1 9 3/ 2 3/ 2 3/ 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2.4 1 9 ( ) 2.0 1 1 1 2 1 2 ( ) (9) (1) 3 3 3 27 1 26 3 3 3 g b g a f u du u g x x g b g a x dx udu u 1º método 2º método
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