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MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DE INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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Método da Substituição 
 
 
 
Cálculo 2– Prof. Aline Paliga 
Introdução 
Nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular 
integrais do tipo 
 
 
Uma maneira de calcularmos esta integral é mudarmos a variável x para 
uma nova variável u. 
Suponha que façamos . Então calculamos a derivada: 
 
 
Portanto podemos reescrever a nossa integral: 
 
 
 
 
 integral imediata! 
 
 
 
22 1x x dx
21u x 
2 du=2xdx
du
x
dx
 
2 22 1 1 2x x dx x xdx   
udu 
1/ 2nu du n  
1
1
n
n xx dx C
n

 

Substituindo 
1
1/ 2 1 3/ 2
3/ 2
2 3/ 2
1
2
1/ 2 1 3/ 2 3
2
( 1)
3
n
n uu du C
n
u u
C C u C
x C


  

     

  

21u x 
Podemos verificar a resposta correta usando a Regra da Cadeia para diferencial a 
função final: 
2 3/ 2 2 3/ 2 1
2 1/ 2 2
2 2 3
( 1) ( 1) 2
3 3 2
 2 ( 1) 2 1
d
x C x x
dx
x x x x
          
   
   
dF dF du
dx du dx

F
'F
f
' TFC1F f
u
 
 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: 
Esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser 
escrita na forma, onde u=g(x) 
 
 
 
( ( )) '( ) ( )f g x g x dx f u du 
( )
'( ) '( )
u g x
du
g x du g x dx
dx

  
 
 
PASSO A PASSO: 
Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em 
geral “a função interna” da função composta f (g(x)). 
Passo 2. Calcule du = g’(x) dx. 
Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter 
a integral em uma outra envolvendo apenas u. 
Passo 4. Calcule a integral resultante. 
Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como 
função de x. 
 
 
EXEMPLO 1: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja u=2x+1, então du=2dx ou 
 
 
2 1x dx
1/ 2
1/ 2 1 3/ 2
3/ 2 3/ 2
1 1
2 2
1 1
2 1/ 2 1 2 3/ 2
(2 1)
3 3
u du u du
u u
C C
u x
C C


   


   
 
2
du
dx 
EXEMPLO 2: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja u=5x, então du=5dx ou 
 
 
5xe dx
5
1 1
5 5
1
5 5
u u
x
u
e du e du
e
e C C

   
 
5
du
dx 
EXEMPLO 3: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja u=x2, então du=2xdx ou 
 
 
2( )sen x xdx
   
 
2
1 1
2 2
1 cos( )
cos( )
2 2
sen u du sen u du
x
u C C

     
 
2
du
xdx 
EXEMPLO 4: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja u=x4 +2, então du=4x3dx ou 
 
 
3 4cos( 2)x x dx
   
 
4
1 1
cos cos
4 4
1 ( 2)
( )
4 4
u du u du
sen x
sen u C C


   
 
3
4
du
x dx 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (definida) 
Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por 
substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e 
então usar o TFC2. 
O outro método, usualmente preferível, consiste em mudar os limites 
de integração ao se variar a variável. 
 
 
 
 
( )
( )
( ( )) '( ) ( )
g b
g a
f g x g x dx f u du 
 
 
DO EXEMPLO 1: 
 
 
RESOLUÇÃO: 
4
0
2 1x dx
4
3/ 24
0
0
3/ 2 3/ 2
3/ 2 3/ 2
(2 1)
2 1
3
(2.4 1) (2.0 1)
3 3
(9) (1) 27 1 26
3 3 3 3 3
x
x dx
 
     
 
  
  
 
   
       
  

( )
( )
4 9
0 1
9
3/ 2 3/ 2 3/ 2
1
( ) ( ) 2 1
( ) 2.4 1 9
( ) 2.0 1 1
1
2 1
2
( ) (9) (1)
3 3 3
27 1 26
3 3 3
g b
g a
f u du u g x x
g b
g a
x dx udu
u
   
  
  
 
   
     
   
 
   
 

 
1º método 
2º método

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