Material Complementar Aula 1 Cálculo I

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UNOPAR VIRTUAL 
Ciências Econômicas 
Disciplina: Cálculo I 
Profª: Keila Tatiana Boni 
Aula: 01 – Funções 
Semestre: 4º semestre/ 3º flex 
 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
 
Com essa primeira teleaula, iniciamos a disciplina de Cálculo I retomando o 
conceito e a ideia de funções. 
Sobre o estudo de funções, existe uma abordagem que será essencial 
retomar: a de Função Inversa. Vamos recordar: 
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função 
𝑓, denotada por 𝑓−1, é a função que desfaz a operação executada pela função 𝑓. 
Vamos entender melhor essa ideia, através da ilustração abaixo: 
 
 
Observe que: 
 a função 𝑓 "leva" o valor −2 até o valor −16, enquanto que a inversa 
𝑓−1, "traz de volta" o valor −16 até o valor −2, desfazendo assim o 
efeito de 𝑓 sobre −2; 
 outra maneira de entender essa ideia é: a função 𝑓 associa o valor 
−16 ao valor −2, enquanto que a inversa, 𝑓−1, associa o valor −2 ao 
valor −16; 
 
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 dada uma tabela de valores funcionais para 𝑓(𝑥), podemos obter uma 
tabela para a inversa 𝑓−1, invertendo as colunas 𝑥 e 𝑦; 
 se aplicarmos, em qualquer ordem, 𝑓 e também 𝑓−1 a um número 
qualquer, obtemos esse número de volta. Por exemplo: 
 
Aplicar 𝒇 e, em seguida, aplicar 𝒇−𝟏, obtemos: 
 
 
e escrevemos 𝒇−𝟏(𝒇(−𝟐)) = −𝟐. 
 
Aplicar 𝒇−𝟏 e, em seguida, aplicar 𝒇, obtemos: 
 
 
 e escrevemos 𝒇(𝒇−𝟏(−𝟏𝟔)) = −𝟏𝟔. 
 
 o domínio de 𝑓−1 é a imagem de 𝑓 e a imagem de 𝑓−1 é o domínio 
de 𝑓. 
 
 
Agora já podemos fazer uma definição formal de função inversa. 
 
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Denominamos função injetora, a função que transforma diferentes 
elementos do domínio (conjunto A) em diferentes conjuntos da imagem 
(elementos do conjunto B), ou seja, não existe elemento da imagem que possui 
correspondência com mais de um elemento do domínio: 
 
Logo, a situação abaixo, corresponde a uma função não-injetora: 
 
Para encontrar a função inversa de uma função 𝒇 injetora, siga os passos 
descritos abaixo: 
Passo 1: Escreva 𝒚 = 𝒇(𝒙). 
Passo 2: Se possível, isole 𝑥 nessa equação escrevendo-o em termos de 𝑦. 
 
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Passo 3: Escreva 𝒙 = 𝒇−𝟏(𝒚). 
Passo 4: Se quiser expressar a inversa 𝒇−𝟏 como uma função de 𝒙, troque 𝑥 
por 𝑦 e escreva 𝒚 = 𝒇−𝟏(𝒙). 
 
 Vamos ver um exemplo: 
1) Encontre a inversa da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 14. 
Primeiro, observe que a função é injetora. 
Passo 1: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑦 = 2𝑥 − 14 
Passo 2: 
𝑦 = 2𝑥 − 14 → 2𝑥 = 𝑦 + 14 → 𝑥 =
𝑦 + 14
2
 
Passo 3: 
𝑥 =
𝑦 + 14
2
 → 𝑓−1(𝑦) =
𝑦 + 14
2
 
Passo 4: 
𝑦 = 𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 14
2
 
 
 
 
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Note pelo gráfico acima que, o gráfico de 𝑓−1 é obtido refletindo-se o gráfico 
de 𝑓 em torno da reta bissetriz 𝑦 = 𝑥. Portanto, os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1 são 
reflexões um do outro em relação a reta bissetriz; isto é, cada um é a imagem 
especular (um é a imagem refletida do outro) do outro com relação àquela reta. 
 
Fonte: <http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcoes-inversas.html> Acesso em 23 jun 2016.