amostragem inventario florestal Waldeney UFRA 2012

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

AmostrAgem em InventárIo 
FlorestAl
Waldenei Travassos de Queiroz
BELÉM
2012
mInIstérIo dA educAção
mInIstro: Fernando Haddad
unIversIdAde FederAl rurAl dA AmAzônIA
 reItor: Sueo Numazawa
vIce-reItor: Paulo de Jesus Santos
edItorAção
Marly Maklouf dos Santos Sampaio
comIssão edItorIAl
Gracialda Costa Ferreira
Israel Hidenburgo Aniceto Cintra
Maria Cristina Manno
Moacir Cerqueira da Silva
Sérgio Antonio Lopes de Gusmão
 
equIpe edItorIAl
Inácia Faro Libonati
Adriana Amaro
Roseneli Lima
 
cApA
Waldenei Travassos de Queiroz
Oberdan Müller Moraes das Flores
endereço
Av. Tancredo Neves, 2501, CEP: 66077-830- Montese
E-mail: editora@ufra.edu.br
 Queiroz, Waldenei Travassos de
 Amostragem em inventário florestal / Waldenei 
Travassos de Queiroz. -- Belém: Universidade 
Federal Rural da Amazônia, 2012. 
 441 p.: il.
 
 ISBN 978-85-7295-070-1 
 1. Inventário florestal. I. Título. 
 
 CDD - 634.928
 
À Izabel, minha esposa.
 Aos meus filhos Anderson e Alex,
às minhas noras Lorena e Alessandra.
 Aos meus pais Wagner e Erecina (in memoriam)
AgrAdecImentos
À Marly Maklouf dos Santos Sampaio, Editora Executiva da 
UFRA, pelo empenho na publicação deste livro, assim como à 
Sra. Inácia Faro Libonati e às Srtas. Adriana Amaro e Roseneli 
Lima pela cuidadosa revisão do texto final.
Ao Serviço Florestal Brasileiro, na pessoa do Engenheiro 
Florestal Joberto de Freitas Veloso, pelo convite para participar 
dos eventos que culminaram na construção do Projeto do 
Inventário Florestal Nacional do Brasil. 
Agradecemos ao Professor Sylvio Péllico Netto da UFPR 
e aos professores da ESALQ/USP: Cassio Roberto de Melo 
Godoi, Humberto de Campos e Frederico Pimental Gomes (in 
memoriam), pelos conhecimentos que recebemos na área da 
teoria da amostragem, em nossa formação pós-graduada.
Somos gratos aos revisores deste trabalho: Ao Estatístico 
Edson Marcos Leal Soares Ramos, Doutor em Estatística e 
Professor da Faculdade de Estatística da Universidade Federal 
do Pará, e ao Engenheiro Florestal Fernando Cristóvam da Silva 
Jardim, Doutor em Ciências Florestais e Professor Associado da 
UFRA. Agradecemos aos Estatísticos: João Guimarães Pinheiro 
e Mário Diego Valente da Rocha, bem como ao Engenheiro 
Florestal Oberdan Müller Moraes das Flores, pelas sugestões e 
críticas; e a todos que nos incentivaram na tarefa de oferecer aos 
usuários da teoria da amostragem aplicada ao planejamento de 
inventários florestais uma obra que reúne algumas experiências 
condizentes, principalmente, com as condições impostas pelos 
tipos florestais ocorrentes no Brasil.
Agradecemos, de forma especial, ao Professor Lúcio 
Salgado Vieira (in memoriam), mestre na arte real que fundamenta 
as bases das relações humanas, que pelos seus exemplos nos 
ensinou a descobrir os segredos da nossa missão de vida. 
Se a matemática é o pincel com que Deus desenhou o 
universo, então, a estatística é a ferramenta humana criada para 
tentar entendê-lo!
Waldenei Travassos de Queiroz
sumárIo
preFácIo ..............................................................................13
ApresentAção ...................................................................15
cApítulo 1 - Introdução Ao InventárIo
FlorestAl ..................................................................................17
cApítulo 2 - InventárIo e mAnejo FlorestAl ........23
cApítulo 3 - FundAmentos de estAtístIcA ..............29
3.1 DEFINIçõES.....................................................................31
3.2 PONTO AMOSTRAL E ESPAçO AMOSTRAL ..................31
3.3 VARIáVEL ALEATóRIA .....................................................32
3.4 ESPERANçA MATEMáTICA ............................................32
3.5 DISTRIBUIçãO DE PROBABILIDADE .............................33
3.5.1 Função de probabilidade de variáveis discretas.......33
3.5.2 Função densidade de probabilidade
 de variáveis contínuas .................................................34
3.5.3 Função de distribuição acumulada ou
 função de distribuição .................................................34
3.5.4 distribuição binomial ...................................................35
3.5.5 distribuição de poisson...............................................37
3.5.6 distribuição normal ......................................................39
3.5.7 distribuição de c2 .........................................................43
3.5.8 distribuição “t” de student ........................................46
3.5.9 distribuição “F” de snedecor .....................................50
cApítulo 4 - AmostrAgem sImples Ao AcAso .........53
4.1 VALORES POPULACIONAIS E ESTIMADORES .............57
4.2 AMOSTRAGEM SIMPLES AO ACASO PARA
 PROPORçõES E PORCENTAGENS ..............................71
4.2.1 valores populacionais, estimadores e
dimensionamento da amostra..............................................73
cApítulo 5 - AmostrAgem estrAtIFIcAdA ................79
5.1 VALORES POPULACIONAIS E ESTIMADORES
 POR ESTRATO .................................................................83
5.2 VALORES POPULACIONAIS E ESTIMADORES
 CONSIDERANDO TODOS OS ESTRATOS .....................87
5.3 PRECISãO DA AMOSTRA ESTRATIFICADA EM
 RELAçãO À AMOSTRA SIMPLES AO ACASO................95
5.4 INVENTáRIO FLORESTAL APRESENTANDO
 SUBPOPULAçõES COM DIFERENTES
 INTENSIDADES DE AMOSTRAGEM ............................. 112
cApítulo 6 - AmostrAgem sIstemátIcA .................. 117
6.1 VARIâNCIA DA MÉDIA ....................................................122
6.2 PRECISãO DA AMOSTRA SISTEMáTICA
 COMPARADA À AMOSTRA SIMPLES AO ACASO ........124
cApítulo 7 - estImAtIvAs por rAzão ........................137
7.1 ESTIMATIVAS POR RAzãO COM
 IGUAL PROBABILIDADE .................................................139
7.2 ESTIMATIVAS POR RAzãO CONSIDERANDO
 PROBABILIDADE PROPORCIONAL (AAP) À
 VARIáVEL AUxILIAR (x) .................................................149
7.3 ESTIMATIVAS POR RAzãO: AMOSTRAGEM
 INVERSA COM PROBABILIDADE PROPORCIONAL
 À VARIáVEL AUxILIAR x (AIPP) ....................................156
7.4 ESTIMATIVAS POR RAzãO CONSIDERANDO A
 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA .................................157
7.5 DUPLA AMOSTRAGEM: FASES DEPENDENTES ........170
7.6 COMPARAçãO DE DOIS íNDICES
 OU DUAS RAzõES ........................................................175
cApítulo 8 - estImAtIvAs por regressão .............181
8.1 PARâMETROS POPULACIONAIS E ESTIMADORES ...183
8.2 ESTIMATIVAS POR REGRESSãO CONSIDERANDO
 A AMOSTRA ESTRATIFICADA AO ACASO ....................202
cApítulo 9 - AmostrAgem por conglomerAdo....231
9.1 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS
 EM ESTáGIO úNICO ......................................................235
9.1.1 parâmetros populacionais e estimadores ...............235
9.2 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS EM
 ESTáGIO úNICO COM UNIDADES DE
 GRANDEzAS DESIGUAIS..............................................241
9.2.1 parâmetros populacionais e estimadores ...............241
9.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS EM
 ESTáGIO úNICO PELAS PROPORçõES......................254
9.3.1 valores populacionais e estimadores ......................255
9.4 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS
 EM DOIS ESTáGIOS ......................................................261
9.4.1 componentes de variâncias no modelo
 inteiramente ao acaso ...............................................261
9.4.2 parâmetros populacionais e estimadores ...............267
9.4.3 ocorrência de estimativa negativa do componente
 de variância entre conglomerados ).(ˆ yVe ) ..................280
9.5 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS EM DOIS
 ESTáGIOS COM GRANDEzAS DESIGUAIS .................295
9.5.1 valores populacionais e estimadores ......................295
9.6 CONGLOMERADOS EM DOIS ESTáGIOS: ANáLISE
 ESTATíSTICA CONSIDERANDO A OCORRêNCIA DE
 TIPOLOGIAS DIFERENTES NA SUBPARCELA ............300
9.6.1 valores populacionais e estimadores ......................301
9.7 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS EM DOIS
 ESTáGIOS: ANáLISE ESTATíSTICA CONSIDERANDO
 A OCORRêNCIA DE UMA VARIáVEL AUxILIAR ...........305
9.7.1 valores populacionais e estimadores ......................306
9.8 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS EM DOIS
 ESTáGIOS PELAS PROPORçõES ................................322
9.8.1 valores populacionais e estimadores ......................322
9.9 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS EM DOIS
 ESTáGIOS PELAS PROPORçõES COM GRANDEzAS
 DESIGUAIS (Mi ) .............................................................326
9.9.1 valores populacionais e estimadores ......................326
9.10 ESTRUTURAS DE CONGLOMERADOS EM
 INVENTáRIOS FLORESTAIS .......................................329
9.11 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS EM
 TRêS ESTáGIOS ...........................................................339
9.11.1 valores populacionais e estimadores.....................341
9.11.2 parâmetros populacionais e seus estimadores
 através da análise de variância ...............................343
cApítulo 10 - InventárIo FlorestAl contínuo ...363
10.1 MÉTODO DE ANáLISE DE PARCELAS SUBDIVIDIDAS ...367
10.2 MODELO DE AMOSTRAGEM COM
 SUBSTITUIçãO PARCIAL ............................................384
10.2.1 estimador Asp de xµ e sua variância )ˆ( xV µ ..........385
10.2.2 estimador Asp de yµ e sua variância )ˆ( yV µ .........389
10.2.3 covariância entre os estimadores Asp xµˆ e yµˆ ...390
10.2.4 estimador Asp de dµ e sua variância )ˆ( dV µ .........391
cApítulo 11 - FormA e tAmAnho dAs
unIdAdes de AmostrA ...................................................403
11.1 MÉTODOS PARA OBTER O TAMANHO IDEAL ...........408
consIderAções FInAIs ..................................................413
reFerêncIAs .....................................................................419
glossárIo .........................................................................425
Anexo ..................................................................................435
preFácIo
O livro Amostragem em Inventário Florestal foi elaborado 
para servir como um guia prático para profissionais e estudantes 
de graduação e pós-graduação que necessitam dos conhecimen-
tos e da teoria de estatística. Sua forma de abordagem apresenta 
uma grande revisão dos conhecimentos básicos de probabilidade 
e estatística, podendo, desta forma, ser utilizado como texto em 
diversos cursos de graduação e pós-graduação, como por exem-
plo, cursos de Engenharia Florestal, Agronomia e Estatística.
De fato, o livro serve como instrumento para o aprimora-
mento das análises dos levantamentos florestais. Em seus ca-
pítulos são abordadas as mais importantes técnicas de amos-
tragem: Simples ao acaso, Estratificada, Sistemática e por Con-
glomerados. Cursos de Amostragem são cada vez mais comuns 
em empresas e instituições de pesquisa. Assim, pensando na 
diversidade de aplicações dos conhecimentos advindos dessas 
técnicas, esta obra mostra-se como uma contribuição ao assun-
to com a profundidade e o rigor técnico necessários. 
Além disso, como o Inventário Nacional do Brasil come-
çará a ser executado neste início de década, utilizando o proce-
dimento por Conglomerados, a obra Amostragem em Inventá-
rio Florestal configura-se como um importante suporte técnico 
àqueles que irão executar esta tarefa, pois é evidente que o In-
ventário Nacional do Brasil não será tratado por meio de uma 
simples análise, visto a grande diversidade florística e extensão 
territorial brasileira. Desta forma, as técnicas abordadas no livro, 
como por exemplo, as análises associadas de estimativas por 
razão e por regressão, poderão ser melhores compreendidas. 
A partir da experiência do autor em procedimentos envol-
vendo a Amostragem em Inventário Florestal é possível ob-
servar, no texto, a boa qualidade dos exemplos e dos exercícios 
resolvidos, além disso, o livro apresenta uma coleção de técni-
cas e metodologias estatísticas reunidas numa só obra. Desta 
forma, professores, pesquisadores e usuários podem, então, 
a partir deste livro compreender e implementar cada uma das 
técnicas e ferramentas abordadas facilmente. Finalmente, esta 
obra pode ser destinada a todos aqueles que utilizam e estudam 
as técnicas de amostragem e seus benefícios nas diversas áre-
as de conhecimento. 
prof. dr. edson marcos leal soares ramos
ApresentAção
O objetivo deste livro é contribuir com conhecimentos no 
ensino de teoria de amostragem e no planejamento estatístico 
de inventários florestais. É importante que, além de servir como 
livro texto para os estudantes, seja também um instrumento para 
o aprimoramento das análises dos levantamentos florestais. 
O Inventário Nacional do Brasil, que começará a ser execu-
tado neste início de década, utilizará o processo de amostragem 
por conglomerados. É evidente que não se trata de uma análi-
se simples, pois ocorrerão inúmeras situações a serem enfren-
tadas, visto a grande diversidade florística, extensão territorial, 
entre outros. Assim sendo, análises associadas de estimativas 
por razão e por regressão podem ser empregadas quando os 
conglomerados possuírem tamanhos ou números diferentes de 
subparcelas. 
O uso de variáveis auxiliares no processamento estatís-
tico, além de permitir ganho de precisão, facilita a análise da 
variável resposta de interesse por tipologia florestal, onde a área 
de ocorrência da vegetação pode ser considerada como uma 
covariável.
A análise de dados proveniente do uso do processo de 
amostragem por conglomerados, por meio da subparcela, preci-
sa ser mais discutida, visto a possibilidade da existência de de-
pendência entre as subparcelas. Um procedimento alternativo é 
efetuar a análise considerando o conglomerado como uma uni-
dade de observação, ou seja, obter as estimativas dos parâme-
tros a partir da quantidade correspondente à soma dos valores 
observados nas subparcelas dentro de cada conglomerado.
Para os estudantes terem um melhor entendimento da 
amostra por conglomerados, no sentido de aferir a sua eficácia, 
foi apresentada a dedução teórica do processo de obtenção dos 
componentes de variância entre os conglomerados e entre as 
subparcelas dentro de cada conglomerado.
Os componentes de variância são importantes no cálcu-
lo do coeficiente de correlação intraconglomerado. Este coefi-
ciente, além de medir o grau de dependência das subparcelas 
dentro dos conglomerados, avalia a precisão desse processo de 
amostragem em relação à amostra simples ao acaso. É mostra-
do exercício sobre as diversas fórmulas do coeficiente de corre-
lação e do cálculo dos componentes de variância, visando facili-
tar as suas interpretações.
Do ponto de vista matemático, é indispensável ter algumas 
noções de álgebra linear e cálculo diferencial e o conhecimento 
de determinação de máximos e mínimos condicionados, usando, 
quando necessário, o método dos multiplicadores de Lagrange. 
Em relação à experiência em métodos estatísticos, o livro pressu-
põe o conhecimento prévio de esperança matemática, de medi-
das de tendência central, de medidas de dispersão e as distribui-
ções: normal, “t” de Student, 2c , “F” de Snedecor, além de limites 
de confiança, regressão linear simples e análise de variância.
O autor, no sentido de buscar o aperfeiçoamento do livro 
“Amostragem em Inventário Florestal” e, assim, atender às de-
mandas acadêmicas, coloca-se à disposição para o recebimen-
to de críticas e sugestões.
cApítulo 1
Introdução Ao InventárIo FlorestAl 
Define inventário florestal, mostrando a sua importância 
para a formulação de planos de utilização dos produtos flores-
tais, manejo sustentado integrado da floresta, bem como para 
alicerçar propostas de planos de desenvolvimento e política flo-
restal de caráter regional ou nacional. Apresenta um histórico 
resumido sobre o inventário florestal no Brasil, destacando a re-
alização e os principais objetivos do Inventário Florestal Nacio-
nal Brasileiro.
19
Introdução ao inventário florestal
Inventário florestal é o ramo da ciência florestal que visa 
avaliar as variáveis qualitativas e quantitativas da floresta e suas 
inter-relações, assim como dinâmicas de crescimento e suces-
são florestal, servindo de base para a formulação de planos de 
utilização dos produtos florestais, manejo sustentado integrado 
da floresta, bem como para alicerçar propostas de planos de de-
senvolvimento e política florestal de caráter regional ou nacional.
No sentido mais amplo, o inventário florestal pode, tam-
bém, até ser planejado para avaliar outras funções da floresta 
como, por exemplo, as recreativas, a exploração de bacias hi-
drográficas, da vida silvestre e outras possibilidades de uso do 
ecossistema florestal. Péllico Netto e Brena (1997) apresentam 
uma classificação dos inventários florestais em diversos tipos 
de acordo com seus objetivos, abrangência, forma de obtenção 
dos dados, abordagem da população no tempo e grau de deta-
lhamento dos resultados. 
O inventário florestal para fins de manejo florestal deve 
ser planejado tal que possa obter e interpretar os diversos pa-
râmetros estruturais da floresta e suas inter-relações, objetivan-
do subsidiar a definição dos tratamentos silviculturais e outras 
operações a serem executadas para obter a utilização ecológica 
e econômica, através da produção sustentável e contínua dos 
benefícios diretos e indiretos da floresta em prol da sociedade 
regional.
Na Amazônia brasileira, segundo SUDAM (1974), os pri-
meiros trabalhos técnicos sobre inventário florestal tiveram início 
na década de 50 por meio dos levantamentos realizados pela 
missão FAO, que servia junto à Superintendência do Plano de 
Valorização Econômica da Amazônia - SPVEA, antecessora da 
atual Superintendência do Desenvolvimento da Amazônia - SU-
DAM. Infelizmente, esses trabalhos não foram suficientemente 
20
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
divulgados, e os artigos que chegaram a ser publicados foram 
em número reduzido de volumes e rapidamente esgotados. 
Em termos de levantamentos de recursos naturais, no 
campo de inventário florestal de reconhecimento, a Amazônia 
ocupa uma posição relevante, visto os inúmeros programas exe-
cutados na Amazônia brasileira, tendo-se entre os principais as 
pesquisas do Projeto RADAMBRASIL, os trabalhos desenvol-
vidos pelo programa Polamazônia, os inventários executados 
para aprovação e instalação de projetos industriais, através da 
política de incentivos fiscais coordenada pela SUDAM, assim 
como os diversos levantamentos florestais realizados pelos ór-
gãos públicos estaduais e federais.
Para Rollet e Queiroz (1978), os dois maiores inventários 
florestais de reconhecimento realizados na Amazônia brasileira 
são os da FAO (1956 – 1961) e os do Projeto RADAMBRASIL 
(1968 – 1977). O programa FAO foi dedicado, principalmente, ao 
estudo de uma região situada ao sul do rio Amazonas, entre os 
rios Madeira e Capim, em uma faixa de 150 km de largura por 
1.500 km de comprimento, em direção oeste-leste, tendo sido 
estudadas 1.388 unidades de amostra de 1ha, abertura de 4.225 
km de transectos, abrangendo a enumeração de 155.001 árvo-
res, resultando em média 112 árvores por hectare, considerando 
os diâmetros à altura do peito (DAP) acima de 25 cm. O Proje-
to RADAMBRASIL abrangeu toda a bacia amazônica brasileira 
com mais de 2.000 ha (amostra) levantados. 
Nos anos de 1980 a 1982, no Brasil, foi realizado o inven-
tário nacional dos reflorestamentos e nos anos de 1981 a 1984 o 
inventário das florestas naturais, mas não abrangendo a região 
Amazônica. Mais recentemente, os estados do Rio Grande do 
Sul, Minas Gerais e Santa Catarina realizaram os seus inventá-
rios estaduais. 
21
Introdução ao inventário florestal
 O território brasileiro possui uma área aproximada de 526 
milhões de hectares de florestas naturais, com ocorrência de 
49% na Amazônia (350.861 km2), 10 % de Caatinga (52.269 km2), 
24% de Cerrado (91.019 km2), 13% Mata Atlântica (30.167 km2), 
2% Pantanal (2.679 km2), 2% Pampa (2.679 km2) e 6,6 milhões 
de florestas plantadas. O Brasil não pode prescindir de estabe-
lecer um sistema de Inventário Florestal Nacional (IFN), visando 
estabelecer as condições técnicas e científicas necessárias para 
adoção de políticas públicas que resultem simultaneamente no 
desenvolvimento econômico, social e na conservação ambiental.
O Serviço Florestal Brasileiro (SFB) elaborou, com a partici-
pação das comunidades técnicas, científicas em geral, o projeto 
do Inventário Florestal Nacional (IFN), o qual utilizará o processo 
de amostragem por conglomerado e deverá iniciar a sua opera-
cionalização em 2011. E dentre os objetivos do IFN, destacam-se:
1) periodicamente, determinar e monitorar a cobertura flo-
restal brasileira; 
2) caracterizar e monitorar a diversidade da vegetação ar-
bórea dos diferentes biomas brasileiros;
3) quantificar e qualificar os recursos madeiráveis, pros-
pectar os recursos não madeiráveis e a qualidade dos 
ecossistemas por meio de indicadores;
4) determinar as mudanças da cobertura florestal ao longo 
do tempo;
5) gerar informações sobre o uso e importância da floresta 
para as populações de seu entorno;
6) gerar informações sobre áreas de preservação perma-
nente e fragmentos de vegetação naturais;
7) gerar informações sobre uso e a conservação das flores-
tas por meio de indicadores anuais;
22
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
8) fornecer informações periodicamente sobre as florestas 
brasileiras, agrupadas em diferentes unidades políticas, 
administrativas e de mapeamento, tais como: biomas, 
regiões fitoecológicas, Unidades da Federação e regi-
ões geográficas, para subsidiar planos de desenvolvi-
mento e de uso racional das florestas e seus serviços 
ambientais, bem como programas de revitalização de 
áreas degradadas e silvicultura com espécies nativas.
É importante frisar que os objetivos do IFN exigem a aplica-
ção de modelagem estatística de larga amplitude metodológica 
e, na conjuntura atual de desenvolvimento do setor florestal bra-
sileiro, é importante investir na formação de recursos humanos 
para a pesquisa, objetivando delinear sistemas de inventários flo-
restais para apoiar as demandas do IFN e produzir delineamen-
tos para alicerçar a elaboração de planos de manejo integrado de 
rendimento sustentável para os recursos florestais do país.
cApítulo 2
InventárIo e mAnejo FlorestAl 
Mostra uma visão da aplicação do inventário florestal nas 
áreas de silvicultura e manejo florestal considerando a comple-
xidade da diversidade florística das florestas tropicais amazôni-
cas, bem como outros elementos importantes que fazem parte 
da estrutura de um inventário florestal direcionado à elaboração 
de planos de manejo para florestas naturais, assim como apre-
senta alguns componentes que, obrigatoriamente, devem ser 
considerados no planejamento de inventários para atender tal 
fim.
25
Inventário e manejo florestal
Manejo florestal e Silvicultura são segmentos da ciência 
que estudam os princípios, técnicas e normas que visam organi-
zar as ações necessárias para delinear e ordenar os fatores da 
produção florestal, maximizando a
produtividade e a eficiência.
Produção contínua e sustentável também significa admitir 
que a floresta produz outros benefícios, além da madeira, depre-
endendo-se que o manejo florestal deve ter como objetivo princi-
pal o atendimento da demanda de madeira e de outros produtos 
e serviços florestais, maximizando a renda sem comprometer a 
cobertura florestal necessária à proteção dos solos, mananciais, 
biodiversidade e outras funções reguladoras da floresta.
Manejar significa administrar os recursos florestais, sendo 
necessário, para atingir uma boa administração, coletar, analisar 
e interpretar os diversos parâmetros dendrométricos, sociais, 
ecológicos e econômicos; estabelecer metas, programar ações 
e, assim, atingir os resultados esperados. Dessa forma, compete 
ao inventário florestal o suporte técnico e científico necessário 
ao silvicultor, para que sejam atingidos os objetivos propostos.
Por outro lado, deve-se considerar que, além da complexi-
dade da diversidade florística das florestas tropicais amazônicas, 
existem outros elementos importantes que devem fazer parte 
da estrutura de um inventário florestal direcionado à elaboração 
de planos de manejo de florestas naturais. Alguns componentes 
que, obrigatoriamente, devem ser considerados no planejamen-
to de inventários para atender tal fim, podem ser:
a) componentes ecológicos
Essas informações referem-se às associações inter e intra-
específicas, que são as responsáveis pela dinâmica de cresci-
mento e sucessão da floresta, as quais podem ser detectadas e 
26
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
analisadas no inventário florestal através da análise dos vários 
índices de associações fitossociológicos existentes na literatura 
florestal. Esses índices são aqueles relacionados com a impor-
tância ecológica das espécies na área em estudo.
A análise dos componentes ecológicos, atualmente nos in-
ventários florestais regionais, basicamente é interpretada pelo 
índice do Valor de Importância das Espécies, o qual agrega os 
seguintes fatores:
a1) abundância por espécie: número de árvores amostrado 
por espécie dividido pelo número total de árvores ocor-
rentes;
a2) frequência relativa: número de unidades de amostra 
que contém a espécie dividido pelo número total de uni-
dades de amostra;
a3) dominância: a área basal de uma espécie dividida pela 
área basal da floresta amostrada;
b) componentes florísticos
Referem-se à composição botânica da área em estudo. O 
inventário florestal deverá ser dimensionado tal que assimile a 
ocorrência de todas as espécies existentes na área. As informa-
ções sobre a composição florística, geralmente, são computa-
das através da relação entre o número de espécies encontradas 
em função do tamanho da área amostral. O tamanho da amostra 
ideal a ser levantada no inventário florestal, para definir a estru-
tura florística, deve ser aquele em que, aumentando-se a área 
amostrada, a probabilidade de ocorrer novas espécies é pratica-
mente nula.
27
Inventário e manejo florestal
c) componentes dasométricos
São aqueles que explicam as relações existentes entre as 
diversas variáveis dendrométricas das quais, através da teoria 
de regressão, são obtidas diversas equações, principalmente as 
específicas para cubagem das árvores; relações hipsométricas 
e distribuições diamétricas.
d) componentes de estocagem
Os inventários florestais, em função da estrutura diamé-
trica, estimam a existência de estocagem suficiente de mudas, 
varas e arvoretas das espécies. Essas informações visam veri-
ficar se, com a retirada de árvores com dimensões comerciais, 
o estoque de árvores com dimensões menores será suficien-
te para garantir a perpetuação das espécies em quantidade e 
qualidade. A distribuição diamétrica por espécie fornecerá essas 
informações.
Dizem respeito também à determinação da estocagem de 
árvores porta-sementes na floresta, para que no projeto de ma-
nejo florestal, haja a possibilidade de definir as árvores que de-
verão permanecer na área, de modo a garantir a perpetuação de 
espécies de interesse.
e) componentes qualitativos
Caracterizam a configuração qualitativa dos fustes das ár-
vores com relação à sua forma, aspecto de tortuosidade e sani-
dade, entre outras.
cApítulo 3
FundAmentos de estAtístIcA
Contempla definições, conceitos e aplicações práticas im-
portantes no campo da estatística visando dar suporte ao enten-
dimento da teoria de amostragem. Aborda os seguintes temas: 
ponto amostral e espaço amostral; variáveis aleatórias discretas 
e contínuas; esperança matemática; função de probabilidade de 
variáveis discretas e contínuas. Apresenta as distribuições: bino-
mial, Poisson, normal, c2, “t” de Student e “F” de Snedecor.
31
Fundamentos de estatística
3.1 DEFINIçõES
Estatística é a matemática aplicada que estuda dados ori-
ginados de observações.
A Estatística estuda métodos científicos para o planeja-
mento de coleta, organização, resumo, apresentação e análise 
de dados, gerando conclusões para subsidiar a tomada de de-
cisões.
A parte da Estatística referente à coleta, organização, re-
sumo e apresentação de dados é conhecida como Estatística 
Descritiva ou Estatística Dedutiva.
A parte referente à análise e conclusão de dados denomi-
na-se Inferência Estatística ou Estatística Indutiva.
3.2 PONTO AMOSTRAL E ESPAçO AMOSTRAL
Em qualquer experimento, cada acontecimento que possa 
ocorrer é denominado ponto amostral. A totalidade dos pontos 
amostrais constitui o espaço amostral ou universo. Sejam os se-
guintes exemplos:
a) semeadas 100 sementes para verificar a percentagem 
de germinação, têm-se 101 pontos amostrais, consti-
tuindo o espaço amostral;
b) a produção de madeira de uma floresta está entre 100 
m3/ ha e 200 m3/ ha, assim, diz-se que o espaço amos-
tral é constituído por infinitos pontos contidos no interva-
lo [100 a 200].
Os espaços amostrais podem ser classificados em discre-
tos e contínuos. O espaço amostral é discreto quando é consti-
tuído por um número finito de pontos ou por um número infinito 
32
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
desde que enumeráveis. O espaço amostral é contínuo quando 
é constituído por um conjunto infinito contínuo de pontos amos-
trais.
3.3 VARIáVEL ALEATóRIA
Uma variável, definida como o símbolo representativo dos 
elementos de um conjunto, é dita aleatória quando associada a 
uma probabilidade de ocorrência. A variável aleatória pode ser 
classificada em discreta e contínua. A variável é discreta quando 
assume somente um número finito de valores ou quando varia 
num conjunto infinito enumerável. A variável é contínua quando 
assume valores que variam de acordo com um conjunto infinito 
não enumerável (intervalo contínuo).
3.4 ESPERANçA MATEMáTICA
Seja y uma variável aleatória discreta, assumindo os va-
lores y1, y2,..., yn com as probabilidades p1, p2,..., pn, respectiva-
mente. Define-se esperança matemática ou valor médio de y, 
como sendo:
 
∑
=
=
n
i
ii pyyE
1
)( para ∑
=
=
n
i
ip
1
1
Para as variáveis aleatórias contínuas, tem-se:
∫
∞
∞−
= dyyfyyE )()(
 
y f (y) dy dado que ∫
∞
∞−
=1dPdP = 1. Sendo f(y) a função 
densidade.
Propriedades da esperança matemática: 
E(c) = c, sendo c uma constante;
33
Fundamentos de estatística
E(cy) = c E(y); 
E(x + y) = E(x) + E(y); 
E(xy) = [E(x)][E(y)], se x e y forem independentes.
Definições de variância e de covariância.
V(y) = E[y - E(y)]2; 
V(ay) = c2 V(y);
Cov(x,y) = E{[(x - E(x)][(y - E(y)]}= E(xy) – [E(x)][E(y)], sen-
do Cov(x,y) = 0, então x e y são independentes;
V(x+y) = V(x) + V(y) + 2 Cov(x,y);
V(x-y) = V(x) + V(y) - 2 Cov(x,y);
V(ax+by) = a2V(x) + b2V(y) + 2ab Cov(x,y), dado que a e b
são constantes;
V(ax-by) = a2V(x) + b2V(y) – 2ab Cov(x,y).
3.5 DISTRIBUIçãO DE PROBABILIDADE
Denomina-se distribuição de probabilidade ao conjunto de 
duas variáveis: uma, é a própria variável aleatória, e a outra, as 
suas respectivas probabilidades de ocorrência. De conformida-
de com a natureza da variável aleatória, a distribuição pode ser 
classificada em discreta ou contínua.
3.5.1 Função de probabilidade de variáveis discretas
Para as variáveis aleatórias discretas, uma função f(y) é de 
probabilidade, se:
a) f(y) 0 para qualquer y;
b) .1)(∑ =
y
yf
34
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
3.5.2 Função densidade de probabilidade de variáveis con-
tínuas
Para as variáveis aleatórias contínuas, uma função f(y) é 
de densidade, se:
a) f (y) 0 para qualquer y real;
b) ∫
∞
∞−
= dyyfyyE )()(
 
y f (y) dy = ∫
∞
∞−
=1dPdP = 1
O termo f (y) dy representa a probabilidade de ocorrência 
de valores entre y e y + dy, denominado diferencial de probabi-
lidade (dP).
3.5.3 Função de distribuição acumulada ou função de distri-
buição
A função de distribuição acumulada é obtida a partir da f(y), 
que é representada, para um determinado valor de Y, pela fun-
ção f(y) = P(y Y). Assim, têm-se:
a) para variáveis discretas ;)()( ∑
≤
=
Yy
yfyF
 
b) para variáveis contínuas .)()( ∫
∞−
=
y
dyyfyF
 
f (y) dy.
Toda distribuição é definida através de uma função de pro-
babilidade se a variável é discreta, ou por uma função de densi-
dade se a variável é contínua. 
35
Fundamentos de estatística
3.5.4 distribuição binomial
É uma distribuição discreta, cuja função de probabilidade é:
yny
y
n
qpCyf −=)( , sendo:
p = probabilidade de realização do acontecimento favorável;
q = probabilidade de realização do acontecimento contrário;
y = número de vezes que se realiza o acontecimento favo-
rável;
n = número de tentativas;
=
y
n
C número de combinações de n elementos, tomados y a y.
exercício 3.1
Em uma amostra de cinco árvores (n = 5) verificou-se a 
ocorrência de duas árvores (y = 2) com qualidade de fuste tipo 1 
(fuste reto, cilíndrico, bem configurado e sem deterioração apa-
rente). A aplicação de um teste de aderência comprovou que 
a variável “número de árvores” com qualidade de fuste tipo 1 
segue a distribuição binomial. Obter as probabilidades de ocor-
rência para y = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Dado que 
5
2
==
n
y
p , então 
5
3
1 =−= pq
a) se yny
y
n
qpCyf −=)( , então a probabilidade de não ocor-
rer árvores com qualidade de fuste tipo 1 é obtida por:
0778,0
3125
243
)
5
3
()
5
2
()0( 5005 === Cf 
Conclui-se que a probabilidade de não ocorrer árvores com 
qualidade de fuste tipo 1 é igual a 7,78%. 
36
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
b) a probabilidade de ocorrer apenas uma árvore com qua-
lidade de fuste tipo 1 é obtida por:
2592,0
3125
810
)
5
3
()
5
2
()1( 4115 === Cf 
Conclui-se que a probabilidade de ocorrer uma árvore ape-
nas com qualidade de fuste tipo 1 é igual a 25,92%. 
c) a probabilidade de ocorrer duas árvores com qualidade 
de fuste tipo 1 é dada por:
3456,0
3125
1080
)
5
3
()
5
2
()2( 3225 === Cf
Conclui-se que a probabilidade de ocorrer duas árvores 
com qualidade de fuste tipo 1 é igual a 34,56%. 
d) a probabilidade de ocorrer três árvores com qualidade 
de fuste tipo 1 é dada por: 
2304,0
3125
720
)
5
3
()
5
2
()3( 2335 ===Cf
Conclui-se que a probabilidade de ocorrer três árvores com 
qualidade de fuste tipo 1 é igual a 23,04%. 
e) a probabilidade de ocorrer quatro árvores com qualidade 
de fuste tipo 1 é dada por:
0768,0
3125
240
)
5
3
()
5
2
()4( 1445 ===Cf
Conclui-se que a probabilidade de ocorrer quatro árvores 
com qualidade de fuste tipo 1 é igual a 7,68%. 
37
Fundamentos de estatística
f) a probabilidade de ocorrer cinco árvores com qualidade 
de fuste tipo 1 é dada por:
0102,0
3125
32
)
5
3
()
5
2
()5(
055
5 ���Cf
Conclui-se que a probabilidade de ocorrer cinco árvores 
com qualidade de fuste tipo 1 é igual a 1,02 %.
Note-se que:
∑
=
−=+
n
i
inin
i qpCqp
0
5 )()()(
Verificação:
10102,00768,02304,03456,02592,00778,0)5()4()3()2()1()0( =+++++=+++++ ffffff
3.5.5 distribuição de poisson
É uma distribuição discreta cuja função de probabilidade é:
 
!
)(
y
me
xf
ym−
=
Tal que y pode assumir valores y = 1,...,∞.
y = número de vezes que se realiza o acontecimento;
m = média de ocorrência;
e = base do logaritmo natural ou neperiano.
exercício 3.2
Usando-se parcelas de tamanho igual a 0,25 ha em um in-
ventário florestal verificou-se, em média, 20 árvores, considerando 
38
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
todas as espécies. A pesquisa cita que a probabilidade de ocorrer 
uma árvore da família meliaceae é 10%. Um teste de aderência 
comprovou que a variável resposta número de árvores ocorrentes 
dessa família segue a distribuição de Poisson. Calcular as proba-
bilidades de ocorrência de: nenhuma árvore, apenas uma árvore, 
três árvores e cinco árvores da família meliaceae.
Dado que: 
!
)(
y
me
xf
ym−
= e m = p = 0,10 x 20 = 2 
a) a probabilidade de ocorrer nenhuma árvore da família 
meliaceae é dada por: 
1353,0
1
!0
2
)0(
2
02
==
×
=
−
e
e
f
Conclui-se que a probabilidade de ocorrer nenhuma árvore 
da família meliaceae é de 13,53%.
b) a probabilidade de ocorrer apenas uma árvore da família 
meliaceae é dada por:
2707,0
2
!1
2
)1(
2
12
==
×
=
−
e
e
f
Conclui-se que a probabilidade de ocorrer apenas uma ár-
vore da família meliaceae é de 27,07%.
c) a probabilidade de ocorrer três árvores da família melia-
ceae é dada por:
1804,0
6
8
!3
2
)3(
2
32
==
×
=
−
e
e
f
 
39
Fundamentos de estatística
A probabilidade de ocorrer três árvores da família meliace-
ae é de 18,04%.
d) a probabilidade de ocorrer cinco árvores da família me-
liaceae é dada por: 
0361,0
120
32
!5
2
)5(
2
52
==
×
=
−
e
e
f
 A probabilidade de ocorrer cinco árvores da família melia-
ceae é de 3,61%.
3.5.6 distribuição normal
Quando os valores das observações de uma variável res-
posta, originados de uma amostra, são agrupados em tabelas 
de frequências, objetiva-se conhecer a variação e como se pro-
cessa a distribuição dos dados. 
Existem inúmeros tipos de curvas que podem representar as 
distribuições. Na maioria das pesquisas biológicas, as observa-
ções variam em torno da distribuição normal, a qual é uma distri-
buição contínua, também conhecida como distribuição de Gauss, 
Laplace ou Laplace-Gauss. É a mais importante distribuição no 
campo da Estatística e tem a seguinte função de densidade:
2]
)(
[
2
1
2)(
1
)( yS
Yy
e
yS
yf
−
−
=
p
 (3.1) 
 Sendo:
)()( yVyS = é o desvio padrão da distribuição;
e = base do logaritmo neperiano (e = 2,7183);
p = constante geométrica (p = 3,1416).
A notação usada é )](,[ yVYN )], lê-se que a variável aleató-
32
40
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
ria contínua y tem distribuição normal com média Y e variância 
V(y).
A equação normal tem como representação gráfica uma 
curva unimodal em forma de sino, contínua, simétrica em rela-
ção à origem, onde os valores da variável resposta variam de - )( ∞<<−∞ y 
a + )( ∞<<−∞ y , possuindo um ponto de máxima frequência. A Figura 3.1 
apresenta três formas gráficas de distribuições normais apre-
sentando
variâncias diferentes, tal que: )()()( 321 yVyVyV << .
Figura 3.1 - Formas gráficas da distribuição normal ( )( ∞<<−∞ y < y < )( ∞<<−∞ y ). 
Para determinar a área compreendida pela curva e duas 
ordenadas quaisquer, integra-se a equação da curva entre as 
ordenadas. A integração da equação normal entre - )( ∞<<−∞ y e + )( ∞<<−∞ y im-
plicará na obtenção da frequência total ou probabilidade integral, 
igual à unidade, abrangendo a área que fica sob a curva.
 
∫
∞
∞−
=1)( dyyf
 
f (y) dy = 1
Por outro lado, em relação ao cálculo das probabilidades, 
no que concerne à integração de f(y), apresentada na forma 
analítica da Equação 3.1, resultam dois problemas:
41
Fundamentos de estatística
1) Para o cálculo da integral de f(y) é necessário o desen-
volvimento em séries.
2) A elaboração de tabelas de probabilidade torna-se com-
plicada, pois f(y) depende de dois parâmetros: Y e )(yV , acar-
retando a necessidade de obter uma tabela para cada combina-
ção de Y e )(yV .
Esses problemas são solucionados através de uma trans-
formação de variável, surgindo, assim, a distribuição normal pa-
dronizada ou reduzida de média zero e variância igual à unidade:
)()( ySYyz −=
Na construção da variável z, y é uma variável normal de 
média Y e variância )(yV . A variável aleatória contínua z tem 
distribuição normal, denominada de padronizada ou reduzida de 
média zero e variância igual a 1, pois: 
 
0][)( )( ==
−
yS
YyEzE e 1][)( )( ==
−
yS
YyVyV
Então, a função densidade será:
 
2
2
1
2
1)( zezf −=
p , onde - )( ∞<<−∞ y < z < + )( ∞<<−∞ y
As probabilidades estão apresentadas na Tabela 1 do Anexo.
A distribuição normal apresenta as seguintes propriedades:
a) a função f(y) é simétrica em relação à origem y = Y ou a 
função f(z) é simétrica em relação à origem z = 0;
b) a função f(y) possui um ponto de máximo em y = Y com 
ordenada igual a 0,3989/S(y) ou a função f(z) possui um ponto 
de máximo no ponto z = 0 com ordenada 3989,021 =p ;
c) a função f(y) tende a zero quando y tende para ± )( ∞<<−∞ y ou 
f(z) tende a zero quando z tende para ± )( ∞<<−∞ y ; 
d) a função f(y) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas 
42
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
valem Y + S(y) e Y - S(y), e as ordenadas são iguais a 0,24/S(y). 
A função f(z) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem 
+ 1 e – 1, e as ordenadas valem 0,24.
Mood, Graybill e Boes (1964) apresentam informações 
mais detalhadas sobre a teoria e as aplicações acerca das di-
versas funções de probabilidade. 
exercício 3.3
Seja um viveiro com 1.000.000 de mudas de uma deter-
minada espécie florestal e que um empresário florestal deseja 
adquirir plantas com alturas no intervalo de 15 cm altura 27 
cm. Suponha a medição de uma amostra selecionada de forma 
inteiramente ao acaso de 1000 plantas. O resultado de um tes-
te estatístico de aderência comprovou que a variável resposta 
altura (y) distribui-se normalmente com média Y = 20 cm e V(y) 
= 25 cm2. Calcular o número de plantas esperado que atenda o 
intervalo estipulado pelo empresário cliente.
00,1
5
2015
)(
1 ��
�
�
�
�
yS
Yy
Z
i
4,1
5
2027
)(
2 �
�
�
�
�
yS
Yy
Z
j
Consultando a Tabela 1 do anexo, tem-se:
 
�
�
�
0
00,1
3413,0)( dzzf e � �
40,1
0
4192,0)( dzzf
� � �
� �
�����
40,1
00,1
0
00,1
40,1
0
7605,04192,03413,0)()()( dzzfdzzfdzzf
43
Fundamentos de estatística
Conclui-se que a probabilidade de ocorrência de plantas 
no intervalo de 15 cm altura 27 cm é de 76,05 %. Então, o 
empresário florestal deve esperar, no intervalo estipulado, apro-
ximadamente a disponibilidade de 760.500 plantas no viveiro. 
3.5.7 distribuição de c2
A variável aleatória c2, denominada qui-quadrado com k 
graus de liberdade, é definida como a soma de k quadrados de 
normais padronizadas e independentes. 
Então, ∑ ∑
= =
−
==
k
i
k
i
i
i yS
Yy
z
1 1
222 ]
)(
[c , para )1,0(Nz = . 
A função densidade da variável c2 é dada pela Expressão 
3.2. As probabilidades estão apresentadas na Tabela 2 do Ane-
xo.
2
2
1
22
)()1(2
2
2 )()
2
1
(
)(
1
)(
ccc −−
Γ
= ef
kk
k
 (3.2)
 A função do tipo )2(kΓ é denominada de função gama e 
foi introduzida pelo matemático Leonardo Euler. Analiticamente 
é definida pela Fórmula: 
∫
∞
−=+Γ
0
)1( dyeya ya dy
Demonstra-se que essa integral converge para 11 >+a . 
Informações teóricas e aplicações ver em Gomes e Nogueira 
(1980) e Piskounov (1978).
A distribuição c2 tem diversas e importantes aplicações, 
destacando-se entre elas as seguintes:
a) a distribuição c2 é utilizada como teste de aderência, 
44
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
verificando se as distribuições empíricas, obtidas por meio dos 
dados amostrais, ajustam-se aproximadamente às distribuições 
teóricas;
b) outra aplicação importante é verificar a medida de dis-
crepância entre as frequências observadas e as esperadas, ou 
seja, o objetivo é verificar se as frequências observadas diferem 
significativamente das esperadas. A estatística utilizada para ve-
rificar essas hipóteses é:
;
)(
1
2
2 �
�
�
�
k
i i
ii
p
fe
fefo
�
c) verificar a hipótese )()()(: 210 yVyVyVH k=== L , que 
significa testar se existe igualdade de variâncias. De acordo com 
Steel e Torrie (1960), referida hipótese pode ser verificada pelo 
teste de Bartlett, por meio da estatística:
� �
� �
����
k
i
k
i
iiip yVnyVn
1 1
1010
2 )}(ˆlog)1()](ˆlog)1({[3026,2�
)(ˆ yV = variância amostral
)(ˆ yV = variância amostral média (
∑
∑
=
==
k
i
i
k
i
ii
n
yVn
yV
1
1
)(ˆ
)(ˆ );
d) verificar a hipótese )()(: 00 yVyVH = que significa testar 
a igualdade da variância populacional quando comparada com 
um valor padrão )(0 yV . 
De acordo com Fonseca e Martins (1982), essa hipótese 
pode ser testada através do teorema de Fisher: 
)(
)(ˆ)1(
0
2
yV
yVn
p
−
=c
45
Fundamentos de estatística
Sendo n o tamanho da amostra; )(0 yV é o valor sob a hipó-
tese nula; )(ˆ yV é a variância amostral;
e) obtenção do intervalo de confiança para a variância ver-
dadeira de uma população normal. Se a variável y tem distri-
buição normal com média Y e variância V(y), tem-se que, pelo 
teorema de Fisher, o intervalo de confiança para V(y) é:
 a
cc
−=
−
≤≤
−
1)
)(ˆ)1(
)(
)(ˆ)1(
(
2
inf
2
sup
yVn
yV
yVn
P . 
O número de graus de liberdade a ser utilizado, neste caso, 
para obter o valor crítico é p = n-1.
Quando se utiliza a distribuição de 2pc para obter o número 
de graus de liberdade (p), e assim ter os valores críticos para os 
diversos testes, considera-se as seguintes regras de decisão:
i) usar p = k-1, se as frequências esperadas no experimen-
to são obtidas sem efetuar estimativas de parâmetros populacio-
nais a partir de estatísticas amostrais;
ii) usar p=k-1-m, se as frequências esperadas são obtidas 
a partir da estimação de m parâmetros.
exercício 3.4 
Um empresário do setor florestal está interessado em im-
plantar em sua área uma indústria madeireira baseada no bene-
ficiamento de apenas seis espécies. As informações disponíveis 
nos levantamentos realizados na região amazônica, pelas insti-
tuições de pesquisa, indicam que as porcentagens de ocorrên-
cias dessas espécies atendem às necessidades do projeto. O 
empresário, para obter as frequências observadas, efetuou na 
área um levantamento correspondente a 100.000 árvores. Con-
siderando um nível de significância de a = 0,05, pergunta-se: 
46
Amostragem
em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
as frequências observadas divergem das esperadas? A Tabela 
3.1 apresenta os dados sobre as frequências esperadas e as 
observadas.
tabela 3.1 - Frequências esperadas (fei) e frequências observadas (foi).
Espécies Porcentagem de ocorrência 
(Amazônia) (pi)
 fei = pi x 100.000 (árvores) foi (árvores)
1
2
3
4
5
6
2,5
2,0
1,8
1,5
1,1
0,8
2500
2000
1800
1500
1100
800
2536
1950
1790
1580
1080
820
 
800
)800820(
1100
)11001080(
1500
)15001580(
1800
)18001790(
2000
)20001950(
2500
)25002536( 2222222
5
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=c
x5
2 = 6,95
Conclui-se pela não rejeição da hipótese da nulidade, visto 
que o valor calculado (x52 = 6,94) é menor que o valor tabelar 
(x52 = 11,1), obtido na Tabela 2 do Anexo para a = 0,05. Pode-se, 
então, afirmar que a ocorrência das espécies na área do empre-
sário é semelhante à ocorrência na região amazônica.
3.5.8 distribuição “t” de student
Seja a variável aleatória: 
n
ys
Yy
t
)(
−
=
Esta variável é conhecida como distribuição “t” de Student, 
com k = n-1 graus de liberdade, podendo também ser escrita na 
forma:
47
Fundamentos de estatística
 
1
)1,0(
2
1
−
=
−
n
N
t
nc
s (y) é o desvio padrão estimado.
O gráfico da função densidade da variável “t” de Student é 
simétrico e tem uma forma parecida com a da distribuição nor-
mal, entretanto, menos achatada, com média zero e variância 
igual a )2( −kk , em que k > 2 (graus de liberdade). A função 
densidade da variável “t” é dada pela Expressão 3.3. As probabi-
lidades estão apresentadas na Tabela 3 do Anexo.
2
12
1
2
2
1
)k(
)
k
t
(
k).
k
(
)
k
(
)t(f
+−
+
pΓ
+
Γ
= , onde - )( ∞<<−∞ y < t < )( ∞<<−∞ y (3.3)
A distribuição “t” de Student possui importantes aplicações, 
destacando-se entre elas as seguintes:
a) testa a hipótese 00 : YYH = . Verifica se há igualdade en-
tre o valor médio de uma população versus um valor padrão, 
sendo essa hipótese testada através da estatística:
 
n
ys
Yy
t
)(
0−= , que sob 0H apresenta n-1 graus de liberdade; 
b) testa a hipótese 210 : YYH = . Verifica se há igualdade en-
tre os valores médios de duas populações independentes, sen-
do testada através da estatística:
 
)
11
)((ˆ
21
21
nn
yV
yy
t
�
�
� , tal que: 
2
)(ˆ)1()(ˆ)1(
)(ˆ
21
2211
−+
−+−
=
nn
yVnyVn
yV
48
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
Com 221 −+ nn graus de liberdade sob 0H , sendo )(ˆ yV a 
variância comum;
c) testa a hipótese 210 : YYH = . Verifica se há igualdade en-
tre os valores médios de duas populações dependentes (teste “t” 
pareado), sendo testada por meio da estatística:
 
n
ys
yy
t
d )(
21 −= , com n-1 graus de liberdade sob 0H .
Sendo: ,)(ˆ)( dVysd = tal que:
1
)(
)(ˆ
2
1
1
2
−
−
=
∑
∑ =
=
n
n
d
d
dV
n
i
in
i
i
, para iii yyd 21 −= .
Desde que a variável resposta seja normal, a distribuição 
“t” de Student é muito importante em termos de inventários flo-
restais, pois permite obter os intervalos de confiança para os 
valores médio e total para os produtos florestais de uma popula-
ção. É aplicada também para dimensionar o tamanho da amos-
tra quando fixada à precisão. Informações mais detalhadas so-
bre esses aspectos serão vistas quando da apresentação dos 
processos de amostragem nos capítulos seguintes.
exercício 3.5
Estudos científicos indicam que uma determinada espécie 
florestal com excelentes características tecnológicas, em uma 
determinada região tropical úmida em outro país, produz no fim 
de sua rotação, aos sete anos, um volume de madeira em tor-
49
Fundamentos de estatística
no de 100 m3/ha. Um empresário brasileiro tem interesse em 
introduzir a referida espécie para verificar se o comportamento 
é o mesmo em sua propriedade, e, para atingir seu objetivo, re-
alizou um experimento com 20 unidades de amostra de 0,1 ha. 
A Tabela 3.2 apresenta os volumes medidos após sete anos da 
implantação do experimento.
tabela 3.2 - Volumes (m3) de madeira por unidade de 0,1 ha.
UA yi UA yi UA yi UA yi 
1
2
3
4
5
8,5
10,3
9,8
7,8
11,0
6
7
8
9
10
9,6
10,9
8,9
9,8
11,5
11
12
13
14
15
7,9
12 
8,8
9,5
10,8
16
17
18
18
20
8,8
8,7
12,3
7,7
8,9
A hipótese a ser formulada para atender o objetivo do em-
presário é a seguinte: 00 : YYH = . A hipótese a ser testada é 
hamYH /100: 30 = ha, e o teste deverá ser realizado por meio da 
estatística:
 
 n
ys
Yy
t
)(
0−=
Sejam os valores estimados para a média e para a variância:
hamy 1,0/675,9 3�
hamy /75,96675,910 3���
9072,1)(ˆ �yV 3/( 0,1ha)m
232
)/(7237,1909072,110)(ˆ hamyV ���
hamys /8103,13)(
3
�
2
50
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
Então:
0524,1
0881,3
25,3
20
8103,13
10075,96
��
�
�
�
�t
Dado que t19;0,05 = 2,0930, não há razão para rejeitar H0. 
Conclui-se, então, que o comportamento da espécie confirmou 
as informações oriundas das pesquisas, ou seja, o empresário 
pode esperar, com uma probabilidade de acerto de 95% que, se 
a espécie for plantada em sua propriedade, a mesma deverá pro-
duzir em média um volume de 100 m3 de madeira por hectare.
3.5.9 distribuição “F” de snedecor
A estatística “F de Snedecor” é definida como a razão de 
duas variáveis independentes com distribuição 2c , ou seja:
p
k
F
p
k
pk 2
2
),( c
c
=
O valor k é o número de graus de liberdade do numerador 
e p é o número de graus de liberdade do denominador. A função 
densidade da distribuição F de Snedecor é dada pela Equação 
3.4. As probabilidades estão apresentadas nas Tabelas 4 e 5 do 
Anexo.
 )(}
])(1[
{)(
)
2
()
2
(
]2/)[(
)( ),0(
)
2
(
)
2
2
(
2 FI
F
p
k
F
p
k
pk
pk
Ff
pk
k
k
��
�
���
��
� (3.4)
A distribuição F de Snedecor possui diversas aplicações 
no campo da estatística, entre elas destacam-se as seguintes:
a) testar a hipótese H0 : Ve (y) = 0 . Verificar se o componen-
51
Fundamentos de estatística
te de variância entre populações é igual a zero. Esta hipótese é 
muito utilizada na genética e, em termos de inventário florestal, 
pode ser utilizada para testar se o componente de variância en-
tre os conglomerados é igual a zero. Este problema será visto 
com mais detalhes no capítulo sobre a Amostragem por Conglo-
merados;
b) testar a hipótese H0 : t1 = t2 = • • • = tk = o . Verificar se os 
efeitos de k tratamentos são todos iguais a zero. O modelo ma-
temático considera que os efeitos, devidos aos tratamentos, são 
fixos. A hipótese da nulidade H0 : t1 = t2 = • • • = tk = 0 é similar à 
hipótese kYYYH === L210 : ;
c) testar a hipótese H0 : V1(y) = V2(y). Verificar se há igual-
dade entre duas variâncias, sendo testada através da estatística:
 )(ˆ)(ˆ 21 yVyVF =
Que sob H0 possui n1 - 1 graus de liberdade no numerador 
e n2 - 1 graus de liberdade no denominador.
É importante observar que a hipótese H0 : V1(y) = V2(y) = • • • = Vk(y) 
pode ser verificada pelo teste de Hartley ou teste da Razão Máxi-
ma Hc . Ver a Tabela 6 do Anexo que, segundo Banzato e Kronka 
(1989), é específica para esse teste. 
)(ˆ
)(ˆ
min yV
yV
H máxc = , tal que:
)(ˆmax yV = maior variância
minVˆ = menor variância
52
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
exercício 3.6
Seja um inventário florestal realizado através de uma amos-
tra estratificada apresentando três estratos. A Tabela 3.3 mostra
os 
dados de volumes de madeira de 39 parcelas de superfície de 0,25 
ha, tendo a seguinte alocação por estrato: estrato 1 = 13 parcelas, 
estrato 2 = 15 parcelas e estrato 3 = 11 parcelas. Pede-se: testar a 
hipótese 3210 : YYYH == , que significa verificar se todas as médias 
são iguais. A Tabela 3.4 apresenta a análise de variância dos dados.
tabela 3.3 - Volumes (m3) por parcela de 0,25 ha.
ESTRATO I ESTRATO II ESTRATO III
21,10
34,00
18,00
20,00
55,00
23,42
40,50
17,44
22,12
25,00
31,20
17,05
24,10
12,90
17,00
9,50
20,00
30,10
23,42
21,10
17,44
22,12
12,00
16,50
17,05
24,10
16,71
21,80
8,10
12,00
9,50
14,50
18,17
21,10
10,80
7,50
6,50
12,50
5,20
tabela 3.4 - Análise de variância para os três estratos.
Fontes de variação GL SQ QM F
Entre estratos
Dentro dos estratos
2
36
1421,9621
2069,6326
710,9811
57,4898
12,37**
Total 38 3491,5947
Sendo o valor de F calculado (12,37) maior que o valor 
tabelar (F2;36;0,01), conclui-se pela rejeição de 3210 : YYYH == , ou 
seja, existe pelo menos um contraste significativo entre as mé-
dias. Caso haja necessidade em testar contrastes de interesse 
entre os valores médios dos estratos, é recomendável aplicar 
testes de comparações múltiplas.
cApítulo 4
AmostrAgem sImples Ao AcAso
Do ponto de vista estatístico define população e, para fins 
de aplicação em inventários florestais, caracteriza as finitas e as 
infinitas. Caracteriza os objetivos quando da realização de um 
levantamento por amostragem. Descreve os parâmetros popula-
cionais e os seus estimadores. Mostra a teoria para obtenção de 
intervalos de confiança e dimensionamento da amostra simples 
ao acaso. Aborda a amostragem simples ao acaso para propor-
ções e porcentagens. Contempla com exemplos todos os temas 
citados. 
55
Amostragem simples ao acaso
Do ponto de vista estatístico, uma população é o conjunto 
de todos os indivíduos, elementos ou unidades sobre os quais 
se deseja desenvolver estudos, visando conhecer determinadas 
características. Quando somente uma parte dos elementos ou 
unidades é selecionada para o procedimento das análises, tem-
se o que se denomina de amostra.
Existem populações finitas e infinitas. Para fins de amostra-
gem, determinadas populações finitas podem ser consideradas 
como infinitas, desde que o tamanho da amostra corresponda a, 
no máximo, 5 % das unidades da população.
O método da amostra simples ao acaso ou amostra inteira-
mente casualizada é o mais tradicional procedimento de amos-
tragem.
A amostra simples ao acaso baseia-se num processo estri-
tamente aleatório, na qual as unidades amostrais são seleciona-
das com igual probabilidade (1/N), em que N é o número total de 
unidades que compõem o espaço amostral, ou seja, a população 
amostrada. Na amostra simples ao acaso sem reposição, as unida-
des são selecionadas independentemente entre si, e o número de 
amostras possíveis (nap) de tamanho igual a n é dado pela relação:
 
)!(!
!
nNn
N
n
N
Cnap ���
 
Não obstante, apenas uma das possíveis combinações é 
selecionada para a amostragem, de tal forma que as unidades 
que comporão a amostra são sorteadas independentemente en-
tre si.
Scolforo (1993) cita que, como nem sempre é possível fa-
zer uma enumeração completa de todos os indivíduos de uma 
população florestal, os levantamentos são realizados tendo 
como base a teoria estatística da amostragem, que é definida 
56
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
como a observação de uma amostra da população para obter 
estimativas representativas para o todo, sendo constituída de 
indivíduos que apresentam características comuns que repre-
sentem a população a qual pertencem. A amostra é formada por 
um grupo de unidades amostrais.
No que concerne ao inventário florestal, a amostra simples 
ao acaso é geralmente conduzida a partir de um sorteio sem 
reposição, assumindo-se, evidentemente, o pressuposto da per-
manência de igual probabilidade para as unidades remanescen-
tes em cada sorteio, respaldando-se no fato de que, geralmente, 
as populações florestais são consideradas estatisticamente infi-
nitas, assim como a inclusão de uma unidade amostral mais de 
uma vez na amostra refletirá uma homogeneização da variância 
entre as unidades da amostra.
A amostra simples ao acaso, que é um processo congruen-
te, ou seja, quando n = N, as estimativas coincidem com os valo-
res populacionais, é recomendada para pequenas áreas flores-
tais não superiores a 10.000 ha, com características homogêne-
as com respeito às variáveis de interesse e com fácil estrutura 
de acessibilidade. 
Quando da realização de um levantamento por amostra-
gem, geralmente, têm-se os seguintes objetivos:
a) estimar o valor médio para a variável resposta;
b) estimar o valor total para a variável resposta;
c) estimar a porcentagem ou a proporção sobre a ocorrên-
cia de um certo atributo;
d) estimar a variância da variável resposta;
e) obter os intervalos de confiança do valor médio e do va-
lor total para a variável resposta.
57
Amostragem simples ao acaso
4.1 VALORES POPULACIONAIS E ESTIMADORES
Para formular os valores populacionais e estimadores, 
será usada a seguinte notação:
N = número total de unidades em que a população foi divi-
dida, função direta do tamanho da unidade de amostra;
n = número de unidades de amostra;
yi = valor observado da variável resposta concernente à i-
ésima unidade de amostra.
a) valor médio
a1) valor médio populacional
 
N
y
Y
N
i
i∑
== 1 
 
a2) valor médio estimado
n
y
y
n
i
i∑
== 1
Este estimador é não tendencioso (“unbiased”), pois, tem-se:
Y
n
y
EyE
n
i
i
==
∑
= )()( 1
b) valor total 
b1) valor total populacional 
YNY =
 
b2) valor total estimado
yNY =ˆ
58
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
c) variância
c1) variância populacional
 
1
)(
1
)(
)(
2
1
1
2
1
2
−
−
=
−
−
=
∑
∑∑ =
==
N
N
y
y
N
Yy
yV
N
i
iN
i
i
N
i
i
c2) variância estimada
 
1
)(
1
)(
)(ˆ
2
1
1
2
1
2
−
−
=
−
−
=
∑
∑∑ =
==
n
n
y
y
n
yy
yV
n
i
in
i
i
n
i
i
 
d) desvio padrão
d1) desvio padrão populacional
)()( yVyS =
d2) desvio padrão estimado
)(ˆ)( yVys = 
 
e) variância da média
e1) variância da média populacional
)(
)(
)(
N
nN
n
yV
yV
−
=
e2) variância da média estimada
)(
)(ˆ
)(ˆ
N
nN
n
yV
yV
−
=
59
Amostragem simples ao acaso
O valor NnN )( − é denominado fator de correção para 
população finita. Quando a população for definida como infinita, 
ou seja, n < 0,05N, não há necessidade de aplicá-lo.
f) erro padrão
f1) erro padrão populacional
)()( yVyS =
f2) erro padrão estimado
)(ˆ)( yVys =
g) coeficiente de variação
O coeficiente de variação permite interpretar mais facil-
mente a variabilidade das observações, viabilizando uma com-
paração relativa entre o desvio padrão e a média.
g1) coeficiente de variação populacional
100
)(
% ×=
Y
yS
CV
g2) coeficiente de variação estimado
100
)(
%ˆ ×=
y
ys
VC 
h) intervalo de confiança
A estimação consiste em processar os resultados extraídos 
por amostragem e fazer inferências sobre a população da qual 
foi extraída aleatoriamente a amostra. Pode-se fazer a estima-
ção de parâmetros de duas formas:
100
)(
%ˆ ×=
y
ys
VC
60
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
Estimação por ponto: quando a partir da amostra obtém-se 
um único valor para estimar um determinado parâmetro popula-
cional;
Estimação
por intervalo: quando a partir da amostra calcu-
la-se um intervalo da forma 21 θθθ ≤≤ , admitindo certa proba-
bilidade 1 - a (nível de confiança) de que o intervalo contenha o 
verdadeiro valor do parâmetro populacional θ . Dessa maneira, 
a será o nível de significância, isto é, o erro que se comete ao 
afirmar que, por exemplo, 95 % das vezes o intervalo 21 θθθ ≤≤ 
contém θ será de 5%.
h1) cálculo do intervalo de confiança para a média popula-
cional (Y ) se conhecida a variância populacional :)(yV 
Seja y uma variável aleatória distribuída normalmente com 
média Y e variância )(yV , ou seja, y ~ N[Y , )(yV ]. Então, a mé-
dia amostral y também terá distribuição normal com média Y e 
variância V( y ) = V(y)/n, ou seja, y ~ N[Y ,V (y)/n].
Seja a variável padronizada 
y
yS
Yy
z
)(
−
= . 
 
A variável z é denominada normal reduzida com média 
zero e variância igual a 1. A Figura 4.1 mostra a forma gráfica 
dessa distribuição padrão z e, na Tabela 1 do Anexo, as proba-
bilidades.
61
Amostragem simples ao acaso
Figura 4.1 - Forma gráfica da distribuição normal reduzida.
Da construção gráfica ilustrativa da distribuição normal, 
pode-se escrever que:
aaa −=≤≤− 1)(
22
ZZZP 
aaa −=≤
−
≤− 1)
)(
(
22
Z
n
yS
Yy
ZP
 
Portanto:
aaa −=+≤≤− 1)/)(/)((
22
nySzyYnySzyP
h2) cálculo do intervalo de confiança para média populacio-
nal (Y ) se desconhecida a variância populacional V(y).
No caso do desconhecimento da variância populacional, de-
ve-se calcular a estimativa do desvio padrão através da amostra.
Seja o gráfico da função densidade da variável “t” de Stu-
dent, que é simétrico e tem uma forma parecida com a da dis-
tribuição normal (Figura 4.2), entretanto, menos achatada, com 
média zero e variância igual a )2( −kk , em que k > 2 (graus de 
liberdade). 
62
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
Figura 4.2 - Forma gráfica da distribuição “t” de Student.
Da construção gráfica ilustrativa da distribuição “t” de Stu-
dent, tem-se:
a−=≤≤− aa 1
22
)ttt(P , resultando:
aaa −=+≤≤− 1)
)()(
(
22 n
ys
tyY
n
ys
tyP
 
A estrutura matemática para o cálculo do intervalo de con-
fiança pode ser apresentada de uma forma mais simples:
IC )(ystyIC ×±=
Assim, tem-se:
 
IC 
n
ys
N
nN
tyIC
)(
)( ×
−
±= , para populações finitas;
IC 
n
ys
tyIC
)(
±= , para populações infinitas; 
IC )(( ystyNIC ×±= , para o valor total.
63
Amostragem simples ao acaso
i) dimensionamento da amostra simples ao acaso.
Dados, respectivamente, os estimadores da variância da 
média e do intervalo de confiança como anteriormente definidos:
)(
)(ˆ
)(ˆ
N
nN
n
yV
yV
−
= e IC )(ystyIC ×±=
Seja E = t yLEE ×= s )(ystE ×= a semiamplitude do intervalo de confian-
ça, conhecida no jargão da engenharia florestal brasileira como 
expectância do erro, valor normalmente fixado de acordo com o 
grau de precisão desejado. Essa semiamplitude pode ser fixada 
como um valor percentual da média, ou seja, E = LE yLEE ×= . Neste 
caso, LE é denominado limite de erro.
A fórmula para conseguir o número de unidades de amos-
tra (n), atendendo um limite de erro predefinido, é obtida da se-
guinte forma: 
)(ystE ×=
)(
)(ˆ
)(ˆ 222
N
nN
n
yV
tyVtE
−
==
)1(
)(ˆ22
N
n
n
yV
tE −=
N
yV
t
n
yV
tE
)(ˆ)(ˆ 222 −=
Resultando para o caso de populações finitas:
N
yVt
E
yVt
n
)(ˆ
)(ˆ
2
2
2
+
= 
 
No caso de populações infinitas, tem-se:
n
yV
tE
)(ˆ
= , resultando: 
64
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
2
2 )(ˆ
E
yVt
n =
Por outro lado, é factível ocorrer que os recursos financeiros 
disponíveis sejam um fator limitante. Neste caso, Husch, Miller 
e Beers (1972) recomendam que a intensidade de amostragem 
seja estabelecida através da seguinte equação linear de custo: 
c = c0 + nc1 
c = custo total do inventário (medição de campo);
c0 = custos fixos (planejamento e trabalhos de escritório);
c1 = custo médio por unidade de amostra;
n = número de unidades de amostra.
O componente nc1 corresponde ao custo total da coleta de 
dados de campo. 
exercício 4.1 
Seja uma área florestal de 3.574 ha, localizada na região 
de Marajó, onde, a partir de uma amostra simples ao acaso, fo-
ram enumeradas 27 unidades. A unidade amostral de 2.500 m2 
apresentou uma forma retangular de 10 m de largura e 250 m 
de comprimento, onde foram mensuradas todas as árvores com 
DAP 45 cm, enquanto que para as árvores com 15 cm DAP < 
45 cm foi estabelecida uma subamostra de 1.000 m2, compreen-
dendo 10 m de largura por 100 m de comprimento. A Tabela 4.1 
apresenta os resultados dos volumes para as árvores contidas 
em 15 cm DAP < 45 cm; e a Tabela 4.2, os volumes para as 
árvores com DAP 45 cm. O cálculo do volume por árvore foi 
65
Amostragem simples ao acaso
obtido através da equação de volume VSC HDAPVSC 25179,00775,0ˆ += , 
desenvolvida por Queiroz (1984), sendo:
VSC = volume sem casca por árvore;
DAP = diâmetro a altura do peito com casca;
H = altura comercial.
Efetuar a análise considerando os seguintes casos:
1) Análise estatística da variável volume no intervalo 15 cm 
 DAP < 45 cm.
2) Análise estatística da variável volume para DAP 45 cm.
tabela 4.1 - Volume (m3/0,1 ha) para 15 cm DAP < 45 cm.
UA Yi UA Yi UA Yi UA Yi UA Yi
1 6,45 7 9,289 13 6,208 19 11,700 25 9,642
2 17,00 8 9,915 14 14,21 20 10,080 26 7,549
3 4,31 9 10,540 15 6,356 21 8,765 27 2,937
4 7,53 10 6,597 16 9,975 22 5,508 
5 7,21 11 7,193 17 9,953 23 4,292 
6 4,19 12 13,92 18 9,731 24 7,173 
tabela 4.2 - Volume (m3/0,25 ha) para DAP 45 cm.
UA Yi UA Yi UA Yi UA Yi UA Yi
1 12,9914 7 21,9215 13 17,5972 19 14,5159 25 18,3705
2 16,1036 8 17,4466 14 24,0426 20 29,7010 26 25,3622
3 9,6805 9 22,1176 15 16,7197 21 30,4842 27 18,5761
4 20,0752 10 12,8449 16 21,8991 22 14,6925 
5 29,6375 11 16,5398 17 10,4113 23 18,9567 
6 23,4207 12 17,0837 18 10,0260 24 19,6981 
66
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
1) Análise estatística da variável volume no intervalo 15 
cm dAp < 45 cm
a) valor médio estimado
 
y = 84,41m3/ ha 
 
b) valor total estimado
yNY ×=ˆ = 35.740 × 8,4406667 = 301.669,43 m3, para:
N = Área/T.U.A = 3574 ha/0,1 ha = 35.740
T.U.A = Tamanho da Unidade de Amostra
c) variância estimada
 d) desvio Padrão estimado 
23
2
1
2
1
2
)1,0/(6883,10
26
27
8980,227
5079,2201
1
)(
)(ˆ ham
n
n
y
y
yV
n
i
in
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
232 )/(8342,10686883,1010)(ˆ hamyV ���
ham
n
y
y
n
i
i
1,0/4407,8
27
898,227 31
���
�
�
hamhayVys /6930,32/)(ˆ)(
3��
67
Amostragem simples ao acaso
e) variância da média estimada
f) erro padrão estimado
hamhayVys /29,6/)(ˆ)( 3��
g) coeficiente de variação estimado
%73,38100
406667,84
69303,32
100
)(
%ˆ �����
y
ys
VC
h) intervalo de confiança (IC)
Na Tabela 3 do Anexo, tem-se o valor tabelar para a= 0,05 
e n - 1 = 26:
 0555,21,
2
=
−n
ta 
 
Limite inferior para o valor médio
)(ysty ×− =84,406667-2,0555x6,289399= 71,48 m3/ ha
Limite superior para o valor médio
)(ysty ×+ = 84,406667 + 2,0555 x 6,2893995 = 97,33 m3/ ha
Pode-se afirmar, com uma probabilidade de acerto de 95%, 
que o valor médio real para o volume das árvores com 15 cm DAP 
< 45 cm encontra-se no intervalo de 71,48 m3/ ha a 97,33 m3/ ha.
Limite inferior para o valor total
área )([ ysty ×− ]=3574 x 71,478806 =225.465,25 m3 
Limite superior para o valor total
área )]([ ysty �� = 3574×97,334528=
347.873,60 m
3
 
23
)/(5565,39)
35740
2735740
(
27
8342,1068
)(
/)(ˆ
)(ˆ ham
N
nN
n
hayV
yV �
�
�
�
�
68
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
Pode-se afirmar, com uma probabilidade de acerto de 95%, 
que o volume total real para a população florestal de 3.574 ha 
encontra-se no intervalo de 225.465,25 m3 a 347.873,60 m3.
i) limite de erro
)(ystE ×= = 2,0555 × 6,2893995 = 12,927861 m3/ha
j) dimensionamento da amostra
Considerando que o limite de erro requerido para o inven-
tário florestal seja de LE = 0,1 (10 %). O resultado do limite de 
erro obtido para a variável resposta volume (15 cm DAP 45 
cm) foi de 15,32 % para 27 unidades de amostra. Então, deve-
se calcular o número de unidades de amostra, visando atender 
ao limite de erro desejado de LE = 0,1 e, finalmente, calcular o 
número de unidades faltantes. 
n = 64 unidades de amostra
Para: 
E = LE yLEE ×= = 0,10 x 84,406667 = 8,4406667 m3/ha
Concluindo que se deve voltar ao campo e medir mais 37 
unidades de amostra para atender ao limite de erro fixado em 
LE = 0,1.
27,63
35740
8342,10680555,2
4406667,8
8342,10680555,2
)(ˆ
)(ˆ
2
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
N
yVt
E
yVt
n
%32,15100
406667,84
927861,12
100% �����
y
E
LE
69
Amostragem simples ao acaso
2) Análise estatística da variável volume para dAp 45 cm
a) valor médio estimado
ham
n
y
y
n
i
i
25,0/9228,18
27
9161,501 31 ���
�
� , onde: = 75,69 m3/ha
b) valor total estimado
 
yNY ×=ˆ = 14296 x 18,922819 = 270.520,61 m3, onde:
 N = Área/T.U.A. = 3574 ha/0,25 ha = 14.296
c) variância estimada
d) desvio padrão estimado
e) variância da média estimada
f) erro padrão estimado
m3/ ha
y
23
2
1
2
1
2
)25,0/(8930,32
26
27
9161,510
191,10523
1
)(
)(ˆ ham
n
n
y
y
yV
n
i
in
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
232 )/(2885,52689303,324)(ˆ hamyV ���
)/(94,222885,526/)(ˆ)( 3 hamhayVys ���
23 )/(4553,19)
14296
2714296
(
27
28847,526
)(
/)(ˆ
)(ˆ ham
N
nN
n
hayV
yV �
�
�
�
�
41.44553,19/)(ˆ)( ��� hayVys
70
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
g) coeficiente de variação estimado
h) intervalo de confiança (IC)
 
Limite inferior para o valor médio
)(ysty ×− =75,691276-2,0555 x 4,4108221= 66,62 m3/ ha
Limite superior para o valor médio
)(ysty ×+ = 75,691276 + 2,0555 x 4,4108221= 84,76 m3/ ha
 
Há razão para afirmar, com uma probabilidade de acerto de 
95%, que o valor médio real da floresta para o volume das árvo-
res com DAP 45 cm encontra-se no intervalo de 66,62 m3/ ha a 
84,76 m3/ ha.
 
Limite inferior para o valor total 
área[ )(ysty ×− ] = 3574 x 66,624831= 238.117,15 m3
Limite superior para o valor total
área[ )(ysty ×+ ] = 3574 x 84,757721= 302.924,09 m3
 
Dado 0555,2
1,
2
=
−n
ta para a = 0,05 e n - 1 = 26.
Pode-se afirmar, com uma probabilidade de acerto de 95%, 
que o valor total populacional real da floresta para o volume das 
árvores considerando DAP 45 cm encontra-se no intervalo de 
238.117,15 m3 a 302.924,09 m3.
%31,30100
69,75
94,22
100
)(
%ˆ �����
y
ys
VC
71
Amostragem simples ao acaso
i) limite de erro
 
=×= )(ystE 2,0555 x 4,4108221 = 9,0664448 m3/ ha
 
j) dimensionamento da amostra
Supondo-se que o limite de erro requerido para o inventário 
florestal seja de LE = 0,1 (10 %). O resultado do limite de erro obtido 
para a variável resposta volume com DAP 45 cm foi de 11,98 % 
para 27 unidades de amostra. Então, deve-se calcular o número de 
unidades de amostra, visando atender ao limite de erro desejado de 
LE = 0,1 e, finalmente, calcular o número de unidades faltantes.
 
n = 39 unidades de amostra
=×= )(ystE 0,1 x 75,691276 = 7,5691276 m3
Conclui-se que se deve voltar ao campo e medir mais 12 
unidades de amostra, para totalizar 39 unidades e assim atender 
ao limite de erro fixado de LE = 0,10, visto que foram medidas 
apenas 27 unidades.
4.2 AMOSTRAGEM SIMPLES AO ACASO PARA PROPOR-
çõES E PORCENTAGENS
Em inventários florestais, frequentemente, deseja-se esti-
mar o número total, a proporção ou a porcentagem de unida-
71,38
14296
2885,5260555,2
5691276,7
2885,5260555,2
)(ˆ
)(ˆ
2
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
N
yVt
E
yVt
n
71,38
14296
2885,5260555,2
5691276,7
2885,5260555,2
)(ˆ
)(ˆ
2
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
N
yVt
E
yVt
n
72
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
des da população que apresenta certa característica ou atributo. 
Alguns resultados como número de árvores mortas, a porcen-
tagem de ocorrência de uma determinada espécie, número de 
árvores que estão produzindo sementes são informações muitas 
vezes requeridas em alguns inventários.
A classificação do atributo, na maioria dos levantamen-
tos, pode ser incluída na ficha de campo sob forma de pergunta 
construída para ser respondida com um simples “sim” ou “não”.
Seja uma população com N unidades, tal que qualquer uni-
dade pertença a uma das duas categorias C1 e C0, sendo que C1 
corresponde às unidades que possuem o atributo desejado e C0 
define as unidades que não o possuem. Então, pode-se definir:
A = número de unidades da população que pertence à ca-
tegoria C1; 
a = número de unidades da amostra classificado na cate-
goria C1;
N = tamanho da população;
n = tamanho da amostra;
NAP /= é a proporção de unidades da categoria C1 na 
população;
nap /= é a proporção de unidades da categoria C1 na 
amostra.
Tem-se que p é uma estimativa de P e Np é uma estimativa 
de A.
Em inventários florestais, a distribuição binomial é a mais 
usada para obter as estimativas de a e p, pois, frequentemente, 
as populações são infinitas. Para populações finitas, a distribui-
ção binomial constitui uma boa aproximação, embora a distribui-
ção correta, neste caso, seja a hipergeométrica.
73
Amostragem simples ao acaso
4.2.1 valores populacionais, estimadores e dimensiona-
mento da amostra
Para quantificar os resultados, seja a seguinte regra para 
qualquer unidade iy da amostra ou da população: 
1=iy , se iy estiver contido em C1;
0=iy , se iy estiver contido em C0;
Para a população de valores iy , resulta que:
∑
=
==
N
i
i AyY
1
Para a amostra de valores iy , tem-se:
∑
=
=
n
i
i ay
1
Dado que yNY =ˆ , então .ˆ Np
n
a
NY =×=
 
Np
A estimação de A e P consiste em obter os valores médio 
e total de uma população, onde todos os iy têm valor 1 ou 0. 
Então:
P
N
A
N
y
Y
N
i
i
===
∑
=1
p
n
a
n
y
y
n
i
i
===
∑
=1
74
Amostragem em inventário florestal Waldenei Travassos de Queiroz
Por conseguinte:
Para: PQ −= 1
Destarte:
11
)(
)(ˆ 1
2
−
=
−
−
=
∑
=
n
npq
n
yy
yV
n
i
i
Então:
 
Por conseguinte:
Para o valor total populacional e seu estimador:
)()()ˆ( 2 pVNNpVYV == V (Np) = N2V(p)
)(ˆ)(ˆ)ˆ(ˆ 2 pVNNpVYV ==
�
�
��
N
i
i NpAy
1
2
�
�
��
n
i
i npay
1
2
11
)1(
111
)(
)(
2
2
1
2
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
N
NPQ
N
PNP
N
NPNP
N
YNy
N
Yy
yV
N
i
i
N
i
i
n
PQ
N
nN
N
NPQ
Nn
nN
n
yV
N
nN
pVyV )
1
(
1
)(
)(
)()()(
�
�
�
�