Calculo Diferencial e Integral 1

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25/08/2016
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Aula 1
Doutoranda e Mestra em Ensino de 
Ciências e Educação Matemática
Unidade de Ensino: 1
Competência da 
Unidade de Ensino:
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do
profissional da área de exatas.
Resumo:
Nesta aula enfatizaremos o estudo das diferentes funções, 
apresentando seus conceitos, propriedades em relação às 
operações, à interpretação de seus gráficos e às suas aplicações. 
Palavras-chave: Funções; representações; aplicações. 
Título da teleaula: Funções
Teleaula nº: 1
Em muitas situações cotidianas relacionamos um
fato a outro. Exemplos:
o preço do combustível é dado em função da 
cotação internacional do petróleo;
o índice de glicose no sangue
de uma pessoa é dado em
função do nível de açúcar
que ela ingere. 
Como 
relacionar um 
fato a outro?
Como 
representar 
essa relação?
Qual a 
importância desse 
estudo para o 
engenheiro?
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Operações matemáticas básicas:
adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação ⇒ ℝ .
Equações polinomiais (algébricas):
operações; conjunto solução
(raízes); fatoração; produtos
notáveis. 
Sistema de coordenadas
cartesianas:
representação gráfica. 
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá 
participar de um processo seletivo para trabalhar 
como estagiário, em uma empresa multinacional.
Teste:
mostrar que 
compreende e é 
capaz de resolver 
problemas ligados 
ao cotidiano.
Resolver 
situações-
-problema: 
que tratam da 
interdependência 
de várias coisas.
Precisamos enviar um de nossos técnicos para 
fazer vistoria em um prédio que fica a 8 Km da 
empresa. 
Qual táxi João deve 
chamar para 
economizar na 
corrida?
Em qual situação a 
Andetaxi é mais 
econômica?
Em qual situação a 
Voudetaxi é mais 
econômica?
Em qual situação as 
duas empresas de táxi 
se equivalem?
Será necessário:
esboçar a situação-problema na forma algébrica;
calcular os valores das corridas;
representar cada função graficamente para 
compará-las. 
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Função é uma relação de dois conjuntos:
Disponível em: 
<http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-
de-funcoes.html>. Acesso em: 18 jul. 2016. 
𝑓: 𝐴 → 𝐵
Exemplos de relação f que não é função:
Disponível em: 
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-
de-funcoes.html. Acesso em: 18 jul. 2016. 
𝑓: 𝐴 → 𝐵
Domínio, contradomínio e imagem:
Disponível em: 
<http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-
de-funcoes.html>. Acesso em: 18 jul. 2016. 
𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑦 = 𝑓 𝑥
Função polinomial:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
grau 0 → função constante
𝑓 𝑥 = 𝑐;
grau 1→ função linear
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥;
grau 1→ função afim
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
𝒚 = 𝟒𝒙
𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟔
Qual táxi João deve chamar para economizar na 
corrida de 8 Km?
𝑨𝒏𝒅𝒆𝒕𝒂𝒙𝒊: 𝑦 = 3𝑥 + 6 → 𝑦 = 3 ∙ 8 + 6 → 𝒚 = 𝟑𝟎
𝑽𝒐𝒖𝒅𝒆𝒕𝒂𝒙𝒊: 𝑦 = 4𝑥 → 𝑦 = 4 ∙ 8 → 𝒚 = 𝟑𝟐
Em qual situação as duas
empresas de táxi se equivalem?
3𝑥 + 6 = 4𝑥
6 = 4𝑥 − 3𝑥
𝟔 = 𝒙
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Em qual situação a Andetaxi é 
mais econômica? E a Voudetaxi?
𝐴𝑛𝑑𝑒𝑡𝑎𝑥𝑖 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 > 6 𝑘𝑚
𝑉𝑜𝑢𝑑𝑒𝑡𝑎𝑥𝑖 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 < 6 𝑘𝑚
A empresa deseja construir um galpão térreo de
planta retangular. João deve ajudar a determinar
as dimensões do retângulo em que o galpão será
construído, sabendo que seu perímetro é de 60 m
e que a área deve ser máxima.
Disponível em: 
<http://www.mfrural.com.br/detalhes.asp?cdp=149916&nmoca=galpao-
estrutura-metalica-e-pre-moldado>. Acesso em: 18 jul. 2016.
Função polinomial do 2º grau ou função 
quadrática:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-
funcao.htm> Acesso em: 18 jul. 2016. 
Cálculo das raízes:
𝑥′𝑒 𝑥" =
−𝑏 ± ∆
2 ∙ 𝑎
𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏² − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
Disponível em:
<http://alunosonline.uol.com.br/mate
matica/funcao-do-2-grau.html> 
Acesso em: 18 jul. 2016.
Vértice da parábola:
Disponível em: 
<http://matematicafacil2015.blogspot.com.br/2014/06/funcao-
do-2-grau.html> Acesso em: 18 jul. 2016.
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Dimensões do retângulo → perímetro de 60 m e 
área máxima. 
Representação do galpão:
𝑃 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑦
𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦
60 = 2𝑥 + 2𝑦
30 = 𝑥 + 𝑦
𝟑𝟎 − 𝒙 = 𝒚
(: 2)
Representação do galpão:
𝑥 ∙ 30 − 𝑥 𝑜𝑢 − 𝑥2 + 30𝑥 = 0
𝑦(30 − 𝑥)
A área máxima será dada por:
Como temos os lados (30 − 𝑥) e 𝑥,
então:
𝑥𝑉 =
−30
2 ∙ (−1)
=
−30
−2
= 15
No processo seletivo, a empresa multinacional 
queria saber se João sabia resolver situações-
-problema de juros compostos. Por exemplo, foi 
perguntado ao João se ele sabia afirmar em quanto 
tempo um capital é duplicado, quando aplicado a 
uma taxa de 2,2% ao mês em
juros compostos. 
Função exponencial:
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1)
Propriedades:
𝑎𝑘 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑎𝑘+𝑥
Disponível em: <http://www.estudofacil.com.br/funcao-
exponencial-graficos-e-exemplos/> Acesso em: 19 jul. 2016. 
𝑎0 = 1 𝑎1 = 𝑎
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Função exponencial com base 𝒆:
o 𝑒 é chamado Número de Neper, um irracional 
transcendente, que representa o número 
2,718281828459...;
a função exponencial 𝒚 = 𝒆𝒙
aparece na descrição de vários
fenômenos naturais e evolutivos. 
Função logarítmica :
𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 (0 < 𝑎 ≠ 1)
Disponível em: 
<http://www.alfaconnection.pro.br/matematica/funcoes/funcoes/esb
oco-de-graficos-das-funcoes/>. Acesso em: 19 jul. 2016. 
A função logarítmica com base 𝒆:
é denotada por 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙;
é a função inversa de 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙.
Disponível em: <http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcao-
graficos-logaritmica.html>. Acesso em: 19 jul. 2016. 
Em quanto tempo um capital é duplicado, quando 
submetido a uma aplicação de juros compostos 
com taxa de 2,2% ao mês?
𝑴 = 𝑪 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒕
Onde:
𝑀 = 2𝐶 (capital duplicado);
𝑖 =
2,2
100
= 0,022;
𝑡 = ?
𝑴 = 𝑪 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒕
2𝐶 = 𝐶 ∙ (1 + 0,022)𝑡
2𝐶
𝐶
= 1,022𝑡
2 = 1,022𝑡
1ª forma de resolver: mudança de base.
log𝒂 𝒙 = 𝒚 ↔ 𝒂
𝒚 = 𝒙, onde 𝑎 = 1,022, 𝑥 = 2e 𝑦 = 𝑡:
2 = 1,022𝑡
log 2
log 1,022
= 𝑡
𝒕 = 𝟑𝟏, 𝟖𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
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𝒕 = 𝟑𝟏, 𝟖𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔:
1 𝑚ê𝑠 30 𝑑𝑖𝑎𝑠
0,85 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑥 = 25,5 → 26 𝑑𝑖𝑎𝑠
Logo:
2ª forma de resolver: aplicar log nos dois lados da 
equação.
2 = 1,022𝑡
log 2 = log 1,022𝑡
log 2 = 𝑡 ∙ log 1,022
log 2
log 1,022
= 𝑡
𝒕 = 𝟑𝟏, 𝟖𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
Também no processo seletivo, a empresa 
multinacional apresentou a seguinte situação-
problema sobre o PIB (Produto Interno Bruto) para 
João:
(FVG-SP-adaptada) O PIB é um dos indicadores 
mais utilizados na macroeconomia com o 
objetivo de quantificar a atividade econômica de 
uma região. Considere que o PIB (Produto Interno 
Bruto) de um país, em bilhões de dólares, é dado 
pela equação:
Em que:
𝑥 = 0 corresponde ao ano 1998;
𝑥 = 1 corresponde ao ano 1999;
𝑥 = 2 corresponde ao ano 2000; [...].
Qual será o 
PIB de 2018?
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Função trigonométrica:
possui como característica as razões 
trigonométricas:
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙
representam fenômenos que
se repetem após um determinado
intervalo (são funções periódicas).
O ciclo trigonométrico:
Medida: através de arcos ou
ângulos.
Arcos: grau (°) ou minutos (’).
Ângulos: radianos.
Disponível em: 
<http://aulasmayleone.blogspot.com.br/2014/05/circulo-ttrigonometrico.html>. 
Acesso em: 19 jul. 2016.
Exemplo: sabendo que 2𝜋 rad corresponde a 
360°, converter 
2
3
𝜋 rad para graus.
𝜋 rad 180°
2
3
𝜋 rad 𝑥
Se 2𝜋 rad corresponde a 360° → 𝜋 rad corresponde a 180°
Disponível em:
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfPqwAK/reducao-
ao-1-quadrante>. Acesso em: 19 jul. 2016.
Função seno:
Ângulos 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 (𝒙, 𝒚)
0𝜋 𝑜𝑢 0° 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 0 0
𝜋
2
𝑜𝑢 90° 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 90 1
𝜋 𝑜𝑢 180° 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 180 0
2𝜋
3
𝑜𝑢 270°
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 270 -1
2𝜋 𝑜𝑢 360° 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 360 0
Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-
trigonometricas/>. Acesso em: 19 jul. 2016.
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Função cosseno:
Ângulos 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 (𝒙, 𝒚)
0𝜋 𝑜𝑢 0° 𝑓 𝑥 = cos0 1
𝜋
2
𝑜𝑢 90° 𝑓 𝑥 = cos90 0
𝜋 𝑜𝑢 180° 𝑓 𝑥 = cos180 -1
2𝜋
3
𝑜𝑢 270°
𝑓 𝑥 = cos270 0
2𝜋 𝑜𝑢 360° 𝑓 𝑥 = cos360 1
Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-
trigonometricas/>. Acesso em: 19 jul. 2016.
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
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Função tangente:
Ângulos 𝒇 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 (𝒙, 𝒚)
0𝜋 𝑜𝑢 0° 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 0 0
𝜋
2
𝑜𝑢 90° 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛90 ∄
𝜋 𝑜𝑢 180° 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛180 0
2𝜋
3
𝑜𝑢 270°
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛270 ∄
2𝜋 𝑜𝑢 360° 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛360 0
Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/funcoes-
trigonometricas/>. Acesso em: 19 jul. 2016.
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Qual será o PIB de 2018?
Como: 
𝑥 = 0 corresponde ao ano 1998;
𝑥 = 1 corresponde ao ano 1999;
𝑥 = 2 corresponde ao ano 2000;
⋮
Então, para 2018, consideramos: 
𝒙 = 𝟐𝟎
𝑃 𝑥 = 800 + 50𝑥 + 40 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜋
𝑥
8
𝑃 𝑥 = 800 + 50 ∙ 20 + 40 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜋
20
8
𝑃 𝑥 = 800 + 1000 + 40 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜋
5
2
𝑃 𝑥 = 1800 + 40 ∙ 1
𝑷 𝒙 = 𝟏 𝟖𝟒𝟎 𝐛𝐢𝐥𝐡õ𝐞𝐬
𝑠𝑒𝑛 180
5
2
𝑠𝑒𝑛
900
2
𝑠𝑒𝑛 450
𝑠𝑒𝑛 90 = 𝟏
Coloque-se no lugar de João: 
seria possível resolver cada um dos problemas 
propostos no processo seletivo a partir de outro(s) 
tipo(s) de função?
ou, utilizando a mesma função,
seria possível resolver de outra
maneira, ou seja, utilizando
outros procedimentos? 
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