Material Calculo 1 - Estácio - Helio Neiva

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
Prof. Alexandre J. M. Antunes 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Técnicas 
De 
Integração 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Integrais por substituições 
1ª Questão: Calcule 
 t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
 
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Integração 
Integrais por substituições 
Note que não temos como relacionar com nenhuma das expressões existentes 
(uma derivada conhecida ou uma integral imediata). 
1ª Questão: Calcule 
 t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
 
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Integração 
Integrais por substituições 
Note que não temos como relacionar com nenhuma das expressões existentes 
(uma derivada conhecida ou uma integral imediata). 
1ª Questão: Calcule 
 t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Dessa forma, vamos tentar usar a técnica de substituição de variáveis, chamando 
5 + 3𝑡2 de 𝑢, ou seja, 
𝑢 = 5 + 3𝑡2 
Daí, temos que 
𝑑𝑢 = 6𝑡𝑑𝑡 
 
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Integração 
Integrais por substituições 
Note que não temos como relacionar com nenhuma das expressões existentes 
(uma derivada conhecida ou uma integral imediata). 
1ª Questão: Calcule 
 t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Dessa forma, vamos tentar usar a técnica de substituição de variáveis, chamando 
5 + 3𝑡2 de 𝑢, ou seja, 
𝑢 = 5 + 3𝑡2 
Daí, temos que 
𝑑𝑢 = 6𝑡𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
6𝑡
 
 
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Integração 
Integrais por substituições 
Substituindo na integral: 𝑢 = 5 + 3𝑡2 e 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
6𝑡
, temos: 
1ª Questão: Calcule 
 t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
 t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 = t. 𝑢 8
𝑑𝑢
6𝑡
=
1
6
 (𝑢)8 𝑑𝑢 
Que é uma integral que conseguimos resolver, pois pela regra da potência, 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
6
. ∫ 𝑢 8. 𝑑𝑢 =
1
6
.
𝑢9
9
+ 𝐶 =
1
54
. 𝑢9 + 𝐶 
E, finalmente, retornando à variável t, ficamos com 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
54
. 5 + 3𝑡2 9 + 𝐶 
 
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Integração 
Integração por partes 
Sendo 𝑢 = 𝑢 𝑥 e 𝑣 = 𝑣(𝑥), temos que 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 e 𝑑𝑣 = 𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥. Além disso, 
considerando que a constante genérica 𝐶 , já está implícita na última integral, 
podemos escrever, de forma mais simplificada 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
Que é a fórmula de integração por partes. 
 
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Integração 
Integração por partes 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
Podemos dizer que, nesta técnica, a ideia é transformar a expressão 
 𝑢 𝑑𝑣 
numa outra que contenha 
 𝑣 𝑑𝑢, 
sendo está última de mais fácil solução, ou seja, menos complicada que a 
integral original. 
 
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Integração 
Integração por partes 
Solução: Em primeiro lugar precisamos observar o integrando e escolher, 
adequadamente, as funções 𝑢 e 𝑑𝑣. 
Tomaremos 𝑢 = 𝑥 e 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
Derivando a expressão para 𝑢, temos: 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥 
Integrando a expressão para 𝑑𝑣, temos: 𝑣 = − cos 𝑥. 
2ª Questão: Calcular 
 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
 
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Integração 
Integração por partes 
Solução: 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥 e 𝑣 = − cos 𝑥. 
 
2ª Questão: Calcular 
 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
Com essas informações, podemos escrever a integral do enunciado como: 
 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − −cos 𝑥 𝑑𝑥 
 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
Nesse caso, a sai direto 
 
E, portanto, 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
 
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Integração 
Integração por partes 
Solução: Em primeiro lugar precisamos observar o integrando e escolher, 
adequadamente, as funções 𝑢 e 𝑑𝑣. 
Tomaremos 𝑢 = 𝑥2 e 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Derivando a expressão para 𝑢, temos: 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
Integrando a expressão para 𝑑𝑣, temos: 𝑣 = 𝑒𝑥. 
3ª Questão: Calcular 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Com essas informações, podemos escrever a integral do 
enunciado como: 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2. 𝑥. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
 
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Integração 
Integração por partes 
Solução: 𝑢 = 𝑥2, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑒𝑥. 
3ª Questão: Calcular 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2. 𝑥. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Repetindo o processo ... Em primeiro lugar precisamos observar o integrando e 
escolher, adequadamente, as funções 𝑢 e 𝑑𝑣. 
Tomaremos 𝑢 = 𝑥 e 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Derivando a expressão para 𝑢, temos: 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥 
Integrando a expressão para 𝑑𝑣, temos: 𝑣 = 𝑒𝑥. 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
 
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Integração 
Integração por partes 
Solução: 𝑢 = 𝑥2, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑒𝑥. 
3ª Questão: Calcular 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2. 𝑥. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 (1) 
𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑒𝑥. 
Com essas informações, podemos escrever a integral não resolvida, em (1), como: 
 𝑥. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
E, nesse caso, a sai direto 
 𝑥. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 (2) 
 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
 
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Integração 
Integração por partes 
Solução: 𝑢 = 𝑥2, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑒𝑥. 
3ª Questão: Calcular 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2. 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙 (1) 
𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑒𝑥. 
 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 (2) 
Portanto, chegamos a solução final, incluindo a solução (2) em (1) 
 𝑥2. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2. 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2. 𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 
 
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Integração 
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
Para calcular 
 
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
 𝑑𝑥 
Usaremos o Teorema que afirma que qualquer polinômio com coeficientes reais 
pode ser expresso como um produto de fatores lineares e quadráticos, de tal forma 
que cada um dos fatores tenha coeficientes reais 
Dessa forma, a ideia básica será fatorar a expressão 𝑄 𝑥 e, a cada um de seus 
fatores, associaremos um coeficiente real. 
 
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Integração 
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
4ª Questão: Encontre 
 
𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
 𝑑𝑥 
Solução: Fatorando o denominador, temos que 𝑥3 − 𝑥2 – 2𝑥 = 𝑥 . 𝑥 − 2 . 𝑥 + 1 . 
Assim, escrevemos 
𝑥 ; 1
𝑥3 ; 𝑥2 ; 2𝑥
=
𝐴
𝑥
 +
𝐵
𝑥;2
+ 
𝐶
𝑥:1
, que é uma identidade para todo 𝑥 
exceto quando 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 e 𝑥 = −1, nesta ordem, pois esses valores “zeram” o 
denominador das frações parciais. Dessa forma, temos 
𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥 − 2 𝑥 + 1 + 𝐵𝑥 𝑥 + 1 + 𝐶𝑥 𝑥 − 2 (1) 
Note agora, que a expressão em (1) não tem restrição, ou seja, vale 
para todo o valor de 𝑥 ∈ ℝ. Queremos encontrar os valores de 
𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶. 
 
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Integração 
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
4ª Questão: Encontre 
 
𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
 𝑑𝑥= 
𝐴
𝑥
 +
𝐵
𝑥 − 2
+ 
𝐶
𝑥 + 1
 𝑑𝑥 = 
𝐴
𝑥
𝑑𝑥 + 
𝐵
𝑥 − 2
𝑑𝑥 + 
𝐶
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
Solução: 𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥 − 2 𝑥 + 1 + 𝐵𝑥 𝑥 + 1 + 𝐶𝑥 𝑥 − 2 (1) 
Desenvolva o segundo membro, agrupando pelo grau do monômio. Dessa forma, 
temos: 𝑥 − 1 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + −𝐴 + 𝐵 − 2𝐶 𝑥 − 2𝐴 
Note que 0𝑥2 + 1𝑥 − 1 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + −𝐴 + 𝐵 − 2𝐶 𝑥 − 2𝐴 
Para essa identidade, os coeficientes do primeiro membro (à esquerda) devem se 
igualar aos coeficientes correspondentes do segundo membro (à direita). Portanto, 
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎, −𝑨 + 𝑩 − 𝟐𝑪 = 𝟏 e −𝟐𝑨 = −𝟏 
Resolvendo essas equações simultaneamente, obtemos 
 𝑨 =
𝟏
𝟐
, 𝑩 =
𝟏
𝟔
 𝑒 𝑪 = −
𝟐
𝟑
 . 
 
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Integração 
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
Solução: Utilizando os valores de 𝑨 =
𝟏
𝟐
, 𝑩 =
𝟏
𝟔
 𝑒 𝑪 = −
𝟐
𝟑
 . Podemos reescrever a 
integral 
 
𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
 𝑑𝑥 = 
𝟏
𝟐
𝑥
 𝑑𝑥 + 
𝟏
𝟔
𝑥 − 2
 𝑑𝑥 + 
−
𝟐
𝟑
𝑥 + 1
 𝑑𝑥 = 
=
1
2
 
1
𝑥
 𝑑𝑥 +
1
6
 
1
𝑥 − 2
 𝑑𝑥 −
2
3
 
1
𝑥 + 1
 𝑑𝑥 =
1
2
ln 𝑥 +
1
6
ln 𝑥 − 2 −
2
3
ln 𝑥 + 1 +
1
6
ln 𝐶 
 
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
 𝒅𝒙 =
1
6
3 ln 𝑥 + ln 𝑥 − 2 − 4 ln 𝑥 + 1 + ln 𝐶 
 
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟔
𝒍𝒏
𝑪𝒙𝟑 𝒙 − 𝟐
𝒙 + 𝟏 𝟒
 
 
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Integração 
Integral definida 
Cálculo de áreas 
 
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Integração 
Integral definida 
Definição: Se 𝑓(𝑥) é uma função definida no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , então a 
integral definida de 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, denotada por 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥, 
é dada por 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
∆ → 0
 𝑓 ξ𝑖 ∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖<1
 
Se o limite existir. 
 
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Integração 
Integral definida 
Definição: Se 𝑓(𝑥) é uma função definida no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , então a 
integral definida de 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, denotada por 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥, 
é dada por 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
∆ → 0
 𝑓 ξ𝑖 ∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖<1
 
Se o limite existir. 
 
é 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 
𝒔𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂çã𝒐
 
𝑏 é o limite superior de integração 
𝑎 é o limite inferior 
de integração 
𝑓(𝑥) é o 
integrando 
∆  Partição 
∆  Norma da partição 
ξ𝑖 um ponto qualquer do 
i-ésimo intervalo ∆𝑖𝑥 = ,𝑥𝑖;1, 𝑥𝑖- 
 
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Integração 
Integral definida 
Definição: Se 𝑓(𝑥) é uma função definida no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 , então a 
integral definida de 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, denotada por 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥, 
é dada por 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
∆ → 0
 𝑓 ξ𝑖 ∆𝑖𝑥
𝑛
𝑖<1
= A 
Se o limite existir. 
𝒇(𝒙) 
𝑅 
Onde 𝑨 é a área da região 𝑹, 
abaixo do gráfico (ou curva) 
definida pela função 𝒇(𝒙). 
 
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Integração 
Integral definida 
5ª Questão: Encontre o valor exato da integral definida 
 𝑥2
3
1
𝑑𝑥 
 
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Integração 
Integral definida 
5ª Questão: Encontre o valor exato da integral definida 
 𝑥2
3
1
𝑑𝑥 
Solução: 
O valor dessa integral é igual a área da região 𝑹 
sob o gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, entre 𝒂 = 𝟏 e 𝒃 = 𝟑. 
Para resolver essa questão usaremos o 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 
𝑎
𝑏
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 
Onde 𝑭(𝒙) é uma primitiva de 𝒇(𝒙), de 
forma que 𝑭’(𝒙) = 𝒇(𝒙). 
 
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Integração 
Integral definida 
5ª Questão: Encontre o valor exato da integral definida 
 𝑥2
3
1
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 
1
3
=
33
3
−
13
3
= 32 −
1
3
= 9 −
1
3
=
26
3
 
Solução: 
O valor dessa integral é igual a área da região 𝑹 
sob o gráfico de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, entre 𝒂 = 𝟏 e 𝒃 = 𝟑. 
Para resolver essa questão usaremos o 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 
𝑎
𝑏
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 
Onde 𝑭(𝒙) é uma primitiva de 𝒇(𝒙), de 
forma que 𝑭’(𝒙) = 𝒇(𝒙). 
 
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Integração 
Aplicações da Integral definida 
6ª Questão: Ache a área da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 pelo 
eixo 𝑥 e pelas retas 𝑥 = −1 e 𝑥 = 2 
Solução: Primeiramente precisamos entender o gráfico. 
 
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Integração 
Aplicações da Integral definida 
6ª Questão: Ache a área da região limitada pela curva 
𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 pelo eixo 𝑥 e pelas retas 𝑥 = −1 e 𝑥 = 2 
Solução: Primeiramente precisamos entender o gráfico. 
Para 𝑥 = −1, temos: 𝑓 −1 = −1 3 − 2 −1 2 − 5 −1 + 6 = −1 − 2 + 5 + 6 = 8 
Para 𝑥 = 2, temos: 𝑓 2 = 2 3 − 2 2 2 − 5 2 + 6 = 8 − 8 − 10 + 6 = −4 
Como 𝒇 −𝟏 = 𝟖 > 𝟎 e 𝒇 𝟐 = −𝟒 < 𝟎, existe uma raiz de 𝑓(𝑥) entre 𝑥 = −1 e 𝑥 = 2. 
Analisando a função numericamente ou utilizando algum método analítico, 
podemos concluir que 𝒇(𝟏) = 𝟎. 
 
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Integração 
Aplicações da Integral definida 
6ª Questão: Ache a área da região limitada pela curva 
𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 pelo eixo 𝑥 e pelas retas 𝑥 = −1 e 𝑥 = 2 
Solução: Primeiramente precisamos entender o gráfico. 
Dessa forma, 
A = 𝑓(𝑥)
2
;1
𝑑𝑥 = 𝐴1 + 𝐴2 = 𝑓(𝑥)
1
;1
𝑑𝑥 − 𝑓(𝑥)
2
1
𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 =
1
4
𝑥4 −
2
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥 
𝐴 =
1
4
𝑥4 −
2
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥 
;1
1
−
1
4
𝑥4 −
2
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥 
1
2
=
157
12
 
 
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Integração 
Integral definida 
7ª Questão: Ache a área da região limitada pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 − 2 e a reta 
𝑦 = 𝑥 − 5. 
Solução: Primeiramente precisamos entender os gráficos e, consequentemente, a 
região. 
Quais as raízes das funções? 
Existem interseções entre a 
parábola e a reta? 
 
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Integração 
Integral definida 
7ª Questão: Ache a área da região limitada pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 − 2 e a reta 
𝑦 = 𝑥 − 5. 
Solução: Primeiramente precisamos entender os gráficos e, consequentemente, a 
região. 
Quais as raízes das funções? 
A parábola 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 − 𝟐 tem raíz em 𝒙 = 𝟏 
A reta 𝒚 = 𝒙 − 𝟓 tem raíz em 𝒙 = 𝟓 
Existem interseções entre a 
parábola e a reta? 
2𝑥 − 2 = 𝑥 − 5 2 ⇒ 2𝑥 − 2 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 
𝑥2 − 12𝑥 + 27 = 0, daí 𝒙′ = 𝟑 e 𝒙′′ = 𝟗. 
Note que 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 − 𝟐 é equivalente a 𝒚 = ± 𝟐𝒙 − 𝟐 
𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 5 
𝑦 = 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 − 2 
𝑦 = 𝑓2 𝑥 = − 2𝑥 − 2 
 
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Integração 
Integral definida 
7ª Questão: Ache a área da região limitada pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 − 2 e a reta 
𝑦 = 𝑥 − 5. 
Solução: Usando elementos retangulares verticais de área 
𝐴 = 𝐴𝑅1 + 𝐴𝑅2 
𝐴𝑅1 = 𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥
3
1
𝑑𝑥 
𝐴𝑅1 = 2𝑥 − 2 + 2𝑥 − 2
3
1
𝑑𝑥 
𝐴𝑅1 = 2 2𝑥 − 2
3
1
𝑑𝑥 =
2
3
2𝑥 − 2
3
2 
1
3
=
16
3
 
 
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Integração 
Integral definida 
7ª Questão: Ache a área da região limitada pelaparábola 𝑦2 = 2𝑥 − 2 e a reta 
𝑦 = 𝑥 − 5. 
Solução: Usando elementos retangulares verticais de área 
𝐴 =
16
3
+ 𝐴𝑅2 
𝐴𝑅2 = 𝑓1 𝑥 − 𝑔 𝑥
9
3
𝑑𝑥 
𝐴𝑅2 = 2𝑥 − 2 − 𝑥 + 5
9
3
𝑑𝑥 
𝐴𝑅2 = 2𝑥 − 2 − 𝑥 + 5
9
3
𝑑𝑥 =
1
3
2𝑥 − 2
3
2 −
𝑥2
2
+ 5𝑥 
1
3
=
38
3
 
 
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Integração 
Integral definida 
7ª Questão: Ache a área da região limitada pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 − 2 e a reta 
𝑦 = 𝑥 − 5. 
Solução: Usando elementos retangulares verticais de área 
𝐴 =
16
3
+
38
3
 
𝐴 =
16 + 38
3
 
𝑨 = 𝟏𝟖 
 
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Integração 
Integral definida 
7ª Questão: Ache a área da região limitada pela parábola 𝑦2 = 2𝑥 − 2 e a reta 
𝑦 = 𝑥 − 5. 
Solução: Usando elementos retangulares horizontais de área 
λ 𝑦 = 𝑦 + 5 
Φ(𝑦) =
1
2
(𝑦2 + 2) 
𝐴 = λ 𝑦 − Φ(𝑦)
4
;2
𝑑𝑦 
𝐴 = 𝑦 + 5 −
1
2
(𝑦2 + 2)
4
;2
𝑑𝑦 
𝐴 = −
1
2
𝑦2 + 𝑦 + 4
4
;2
𝑑𝑦 = −
𝑦3
6
+
𝑦2
2
+ 4𝑦 
;2
4
=
40
3
+
14
3
=
54
3
= 18 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Integral definida 
Cálculo de Volumes 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do disco circular 
Definição: Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏- e admitamos que 
𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 em ,𝑎, 𝑏-. Se 𝑆 for o sólido de revolução obtido pela rotação, em 
torno do eixo 𝑥, da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , o eixo 𝑥 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 e 
se 𝑉 for o número de unidades cúbicas no volume de 𝑆, então 
𝑉 = 𝜋. 𝑓 𝑥 2
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do disco circular 
Definição: Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏- e admitamos que 
𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 em ,𝑎, 𝑏-. Se 𝑆 for o sólido de revolução obtido pela rotação, em 
torno do eixo 𝑥, da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , o eixo 𝑥 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 e 
se 𝑉 for o número de unidades cúbicas no volume de 𝑆, então 
𝑽 = 𝝅. 𝒇 𝒙 𝟐
𝒃
𝒂
 𝒅𝒙 
8ª Questão: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2, o 
eixo 𝑥 e as retas 𝑥 = 1 e 𝑥 = 2 sofrem uma rotação 
em torno do eixo 𝑥. Encontre o volume do sólido de 
revolução gerado. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do disco circular 
8ª Questão: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2, o eixo 𝑥 e as retas 𝑥 = 1 e 𝑥 = 2 
sofrem uma rotação em torno do eixo 𝑥. Encontre o volume do sólido de revolução 
gerado. 
Solução: Esse é um exercício de aplicação direta da expressão do volume. 
𝑉 = 𝜋. 𝑓 𝑥 2
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
𝑉 = 𝜋. 𝑥2 2
2
1
 𝑑𝑥 = 𝜋. 𝑥4
2
1
 𝑑𝑥 = 𝜋.
𝑥5
5
 
1
2
= 𝜋.
32
5
−
1
5
=
31
5
𝜋 
 
Portanto, o volume do sólido de revolução é 
31
5
𝜋 unidades cúbicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do anel circular 
Definição: Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏- e admitamos 
que 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 em ,𝑎, 𝑏-. Então, se 𝑉 unidades cúbicas é o volume 
do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo 𝑥, da região limitada 
pelas curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 e 𝑦 = 𝑔 𝑥 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, 
𝑽 = 𝝅. * 𝒇 𝒙 𝟐
𝒃
𝒂
− 𝒈 𝒙 𝟐+ 𝒅𝒙 
9ª Questão: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo 𝑥, da 
região limitada pela parábola 𝑦 = 𝑥2 + 1 e a reta 𝑦 = 𝑥 + 3 
Solução: Como, pela definição (2), temos 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 necessitamos 
escolher, adequadamente as funções 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 . Além disso, encontrar os 
limites de integração. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do anel circular 
9ª Questão: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo 𝑥, da 
região limitada pela parábola 𝑦 = 𝑥2 + 1 e a reta 𝑦 = 𝑥 + 3 
Solução: Como, pela definição (2), temos 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 
necessitamos escolher, adequadamente as funções 𝑓 𝑥 e 
𝑔 𝑥 . Além disso, encontrar os limites de integração. 
- Escolha das funções: faça o esboço do gráfico e 
identifique qual a função é a maior e, consequentemente, 
a menor. 
 
- limites de integração: faça 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 e encontre os 
pontos de interseção entre elas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do anel circular 
9ª Questão: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo 𝑥, da 
região limitada pela parábola 𝑦 = 𝑥2 + 1 e a reta 𝑦 = 𝑥 + 3 
Solução: Como, pela definição (2), temos 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 
necessitamos escolher, adequadamente as funções 𝑓 𝑥 e 
𝑔 𝑥 . Além disso, encontrar os limites de integração. 
- Escolha das funções: faça o esboço do gráfico e 
identifique qual a função é a maior e, consequentemente, 
a menor. 
 
- limites de integração: faça 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 e encontre os 
pontos de interseção entre elas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do anel circular 
9ª Questão: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo 𝑥, da 
região limitada pela parábola 𝑦 = 𝑥2 + 1 e a reta 𝑦 = 𝑥 + 3 
Solução: Feito isso você perceberá que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3, 
𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1, 𝑎 = −1 e 𝑏 = 2. Dessa forma, temos: 
𝑉 = 𝜋. * 𝑓 𝑥 2
𝑏
𝑎
− 𝑔 𝑥 2+ 𝑑𝑥 
𝑉 = 𝜋. * 𝑥 + 3 2
2
;1
− 𝑥2 + 1 2+ 𝑑𝑥 = 
𝑉 = 𝜋. −𝑥4 − 𝑥2 + 6𝑥 + 8
2
;1
 𝑑𝑥 = 
117
5
𝜋 
Portanto, o volume do sólido de revolução é 
117
5
𝜋 unidades cúbicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do invólucro cilíndrico 
10ª Questão: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2, o eixo 𝑥 e a reta 𝑥 = 2 sofre uma 
rotação em torno do eixo dos 𝑦. Encontre o volume do sólido gerado. 
Definição: Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo fechado ,𝑎, 𝑏-, onde 𝑎 ≥ 0. 
Admitamos que 𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 em ,𝑎, 𝑏-. Se 𝑅 for a região limitada pelas 
curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 , o eixo 𝑥 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, se 𝑆 for o sólido de revolução 
obtido pela rotação, em torno do eixo 𝑦, e se 𝑉 for o número de unidades cúbicas no 
volume de 𝑆, então 
𝑽 = 𝟐𝝅. 𝒙. 𝒇 𝒙
𝒃
𝒂
 𝒅𝒙 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Cálculo de Volumes - Método do invólucro cilíndrico 
10ª Questão: A região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2, o eixo 𝑥 e a reta 𝑥 = 2 sofre uma 
rotação em torno do eixo dos 𝑦. Encontre o volume do sólido gerado. 
Solução: Esse é um exercício de aplicação direta da expressão do volume. 
𝑉 = 2𝜋. 𝑥. 𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
𝑉 = 2𝜋. 𝑥. 𝑥2
2
0
 𝑑𝑥 = 2𝜋. 𝑥3
2
0
 𝑑𝑥 = 8𝜋 
 
Portanto, o volume do sólido de revolução é 8𝜋 unidades cúbicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Integral definida 
Comprimento de arco 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Comprimento de Arco 
Teorema: Se a função 𝑓(𝑥) e sua derivada 𝑓′(𝑥) são contínuas no intervalo 
fechado ,𝑎, 𝑏-, então, o comprimento da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) do ponto (𝑎 , 𝑓 𝑎 ) ao 
ponto (𝑏, 𝑓 𝑏 ) é dado por 
𝐿 = 1 + 𝑓′ 𝑥 2
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
Teorema: Se a função 𝐹(𝑦) e sua derivada 𝐹′(𝑦) são contínuas no intervalo 
fechado ,𝑐, 𝑑-, então, o comprimento da curva 𝑥 = 𝐹(𝑦) do ponto (𝐹(𝑐) , 𝑐) ao 
ponto (𝐹(𝑑), 𝑑) é dado por 
𝐿 =1 + 𝐹′ 𝑦 2
𝑑
𝑐
 𝑑𝑦 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Comprimento de Arco 
11ª Questão: Encontre o comprimento do arco da curva 𝑦 = 𝑥
2
3 (gráfico ao lado) do 
ponto (1, 1) a (8, 4), usando: 
a) o teorema para a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 
b) o teorema para a curva 𝑥 = 𝐹 𝑦 . 
Solução: Para resolver o problema do teorema para 
a curva 𝐲 = 𝐟 𝒙 , item a, basta aplicar diretamente o 
teorema para a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 
Primeiro vamos encontrar a derivada da função 𝑦 = 𝑥
2
3 
𝑓′ 𝑥 = 
2
3
. (𝑥
2
3;1) =
2
3
. 𝑥;
1
3 =
2
3𝑥
1
3
 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Comprimento de Arco 
11ª Questão: Encontre o comprimento do arco da curva 𝑦 = 𝑥
2
3 (gráfico ao lado) do 
ponto (1, 1) a (8, 4), usando: 
a) o teorema para a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 
b) o teorema para a curva 𝑥 = 𝐹 𝑦 . 
Solução: 𝑓′ 𝑥 =
2
3𝑥
1
3
 
𝐿 = 1 +
2
3𝑥
1
3
2
8
1
 𝑑𝑥 = 1 +
4
9𝑥
2
3
8
1
 𝑑𝑥 = 
9𝑥
2
3 + 4
9𝑥
2
3
8
1
 𝑑𝑥 = 
1
3
.
9𝑥
2
3 + 4
𝑥
1
3
8
1
 𝑑𝑥 
O segundo passo é substituir a expressão da derivada 
da função, 𝑓′ 𝑥 , na fórmula/expressão usada para 
calcular o comprimento de uma curva. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Comprimento de Arco 
11ª Questão: Encontre o comprimento do arco da curva 
𝑦 = 𝑥
2
3 (gráfico ao lado) do ponto (1, 1) a (8, 4), usando: 
a) o teorema para a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 
b) o teorema para a curva 𝑥 = 𝐹 𝑦 . 
Solução: 
𝐿 = 
1
3
.
9𝑥
2
3 + 4
𝑥
1
3
8
1
 𝑑𝑥 =
1
3
 9𝑥
2
3 + 4
8
1
𝑑𝑥
𝑥
1
3
=
1
18
 𝑢
40
13
𝑑𝑢 =
1
18
2
3
𝑢
3
2 
13
40
≈ 7,6 
Para resolver essa integral, vamos fazer a substituição 𝑢 = 9𝑥
2
3 + 4 
e, dessa forma, temos que 𝑑𝑢 = 6𝑥; 
1
3 𝑑𝑥, ou ainda, 
𝑑𝑢
6
=
𝑑𝑥
𝑥
 
1
3
 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Comprimento de Arco 
11ª Questão: Encontre o comprimento do arco da curva 𝑦 = 𝑥
2
3 (gráfico ao lado) do 
ponto (1, 1) a (8, 4), usando: 
a) o teorema para a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 
b) o teorema para a curva 𝑥 = 𝐹 𝑦 . 
Solução: Para resolver o problema do teorema para 
a curva 𝒙 = 𝑭 𝒚 , item b, basta aplicar diretamente o 
teorema para a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 
Primeiro, como 𝑦 = 𝑥
2
3, precisamos escrever a expressão em função de 
𝑦, ou seja, 𝑥 = 𝑦
3
2. Colocando 𝐹(𝑦) = 𝑦
3
2, temos 𝐹′(𝑦) =
3
2
𝑦
1
2 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Integração 
Comprimento de Arco 
11ª Questão: Encontre o comprimento do arco da curva 𝑦 = 𝑥
2
3 (gráfico ao lado) do 
ponto (1, 1) a (8, 4), usando: 
a) o teorema para a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 
b) o teorema para a curva 𝑥 = 𝐹 𝑦 . 
Solução: 𝐹′(𝑦) =
3
2
𝑦
1
2 
𝐿 = 1 +
3
2
𝑦
1
2
24
1
 𝑑𝑦 = 1 +
9
4
𝑦
4
1
 𝑑𝑦 = 
4 + 9𝑦
4
4
1
 𝑑𝑦 =
1
2
 . 4 + 9𝑦
4
1
 𝑑𝑦 
O segundo passo é substituir a expressão da derivada 
da função, 𝐹′ 𝑦 , na fórmula/expressão usada para 
calcular o comprimento de uma curva 
Fazendo 𝑢 = 4 + 9𝑦 e 𝑑𝑢 = 9 𝑑𝑦. 
Então, 
𝐿 = 
1
27
 𝑢
3
2
40
13
 𝑑𝑢 ≈ 7,6