controlePID ParteI

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Sistemas de controle
FONTE: ftp://ftp.runnet.ru/BOOKS/(Delmar)%20Modern%20Control%20Technology--Components%20&%20Systems%20(2nd%20Ed.).pdf - Capítulo 1.
Controlador: A “inteligência” do sistema  é usualmente eletrônica.
Atuador: Dispositivo eletromecânico  recebe sinal do controlador e o converte em alguma ação física. Ex: motor elétrico, um elemento de aquecimento (de um forno industrial, por exemplo).
Fisicamente, um sistema de controle é um conjunto de componentes e circuitos conectados entre si para realizar uma determinada tarefa. Cada componente do sistema converte energia de uma forma para outra. (Por exemplo: sensor de temperatura  graus para volts; motor  volts para revoluções por minuto. 
Para descrever o desempenho do sistema de controle como um todo, devemos ter uma linguagem comum para que possamos calcular os efeitos combinados dos diferentes componentes do sistema.  Função de transferência.
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Exemplo de um sistema de malha aberta. O atuador é um motor que movimenta um braço robótico. Neste caso, o processo é o movimento do braço e a variável de controle é a posição angular do braço. Testes anteriores mostraram que o motor rotaciona o braço a 5o/seg na tensão nominal. Assuma que o controlador é instruído a mover o braço de 0o a 30o. Conhecendo as características do processo, o controlador envia um pulso de potência de 6 seg ao motor. Se este motor estiver funcionando adequadamente, ele irá rotacionar exatamente 30o nos 6 segundos. Em dias mais frios, no entanto, o óleo lubrificante é mais viscoso, e o motor rotaciona apenas 25o nos 6 segundos. O resultado é um erro de 5o. O controlador não tem como saber que o resultado apresenta um erro e nada pode fazer para corrigi-lo.
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Sistema a malha fechada
O controlador atua de forma a minimizar este sinal de erro (erro nulo  saída  entrada de referência).
Utilizando uma estratégia de controle, o controlador minimiza este erro.
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Como um exemplo de um sistema de controle de malha fechada, considere novamente o braço robótico em repouso em 0 o. Nesta configuração um potenciômetro foi conectado diretamente ao eixo do motor. À medida que o eixo rotaciona, a resistência do potenciômetro se modifica. O valor de resistência é convertido para tensão e realimentada ao controlador.  Para comandar o braço para 30 o, uma tensão de referência correspondente a 30 o é enviada ao controlador. Como o braço encontra-se em repouso em 0 o, o sinal de erro “pula” para 30 o. Imediatamente, o controlador começa a acionar o motor na direção de reduzir o erro. À medida que o braço aproxima-se de um deslocamento de 30 o, o controlador desacelera o motor. Quando o braço atinge os 30 o, o motor pára. Se em um instante de tempo posterior uma força externa movesse o braço para além (ou aquém) dos 30 o, um sinal de erro reapareceria, e o motor novamente direcionaria o braço para a posição de 30 o.
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Função de transferência
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Função de transferência
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Sistema a malha fechada
Controlador  um circuito analógico ou digital que recebe dados de sensores, toma uma decisão e envia os comandos apropriados ao atuador.
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Sistema de controle de processos e servomecanismo
FONTE: ftp://ftp.runnet.ru/BOOKS/(Delmar)%20Modern%20Control%20Technology--Components%20&%20Systems%20(2nd%20Ed.).pdf - Capítulo 11.
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Sistema de controle de processos e servomecanismo
Sistema de controle de processos: controlador  manter um ponto de referência estacionário mesmo na presença de distúrbios. (ex: manutenção de uma temperatura constante no forno quer a porta esteja aberta ou fechada.
Servomecanismo: controlador  fazer com que a variável controlada siga um conjunto de pontos em movimento. (ex: mover um braço robótico de uma posição a outra).
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Critérios de desempenho
Critérios de desempenho: diferentes parâmetros mensuráveis que indicam se o sistema de controle é satisfatório ou não, e o quanto.
Estes critérios são divididos em parâmetros transitórios (que variam no tempo) e parâmetros de estado estacionário ou de regime (que não variam no tempo).
Critérios transitórios: tempo de subida, sobressinal, tempo de estabilização etc.
Critérios de regime: erro de regime (ess).
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Ação de controle de duas posições ou liga-desliga (on-off)
Estratégia de controle de malha fechada mais simples.
Atuador: atua na variável controlada com plena força ou sem força alguma.
Ex: sistema de aquecimento controlado termostaticamente.
Tcyc: período de ciclo. Quanto mais estreito o intervalo entre as duas posições, maior é a freqüência de ciclo.
Geralmente, uma elevada taxa de ciclo não é desejada devido a desgates nos motores e chaves.
Este tipo de controle tem aplicações limitadas, normalmente em sistemas de variação lenta em que seja aceitável à variável de controle mover-se continuamente entre os dois pontos limite.
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Ação de controle de três posições 
Sobe-desliga-desce; quente-desliga-frio; para frente - desliga - para trás etc.
Exemplo: plataforma de extração de petróleo no mar
Estratégia de controle simples, de aplicação limitada. 
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Ação de controle proporcional 
Vamos considerar agora estratégias de controle mais sofisticadas, que requerem controladores “espertos” que utilizam amplificadores operacionais ou um microprocessador. 
A primeira e mais básica ação de controle é o controle proporcional.
 O atuador aplica uma força corretiva que é proporcional ao erro.
Saída do controlador devido ao controle proporcional (isto é, a força corretiva)
Constante proporcional para o sistema ou ganho.
Erro do sistema.
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Ação de controle proporcional - exemplo
Assuma que o braço robótico acionado por um motor esteja inicialmente em repouso em 0 o. A seguir, o sistema recebeu a instrução de se mover para uma nova posição em 30 o. O ganho do sistema é Kp = 2 N.m /o. Descreva como o controlador responde a esta situação.
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Ação de controle proporcional - exemplo
Inicialmente o braço robótico encontra-se em repouso em 0 o (variável do processo – PV – process variable). Assim que o ponto de referência (set point – SP) é modificado para 30 o, o sinal de erro resultante é de 30 o. 
Usando o valor de Kp = 2 N.m /o, o torque inicial de restauração gerado pelo sistema será de: 
 O motor seria inicialmente comandado a gerar um torque de 60Nm, causando uma elevação rápida do braço.
 À medida que o braço continua a se elevar, a saída do controlador para o motor diminui (por que?)
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Ação de controle proporcional - exemplo
Quando o braço chega no deslocamento de 10 o:
 Redução do torque do motor  desaceleração do braço.
Quando o braço chega em 25 o:
Quando o braço atinge os 30 o:
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Ação de controle proporcional - exemplo
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Ação de controle proporcional - características
 O sistema é bidirecional  o torque será aplicado na direção necessária à redução do erro.
 Por exemplo, quando o braço foi comandado para mover-se para 30 o, o controlador gerou um sinal para o motor correspondente a um torque de 60Nm. Se, mais tarde, o motor fosse comandado para retornar aos 0 o, um erro negativo seria gerado:
 O controle é simples.
 No entanto, há um problema fundamental neste tipo de controle  Erro estacionário.
 Em sistemas práticos, um controle proporcional não consegue levar a variável controlada a zero porque, à medida que a carga se aproxima da posição desejada, a força de correção cai a quase zero. Esta pequena força pode não ser suficiente para vencer o atrito, e a carga pára antes de atingir a posição desejada.
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Ação de controle proporcional - erro de regime
 O atrito, sempre presente em sistemas mecânicos, é uma força não-linear que se opõe à carga aplicada. Uma carga em repouso só entrará em movimento após vencer a força de atrito.
 Considere um modelo em molas de um sistema de controle
proporcional.
 A carga encontra-se em uma superfície com atrito, no centro de um sistema de um sistema de referência, no qual é conectado a duas molas.
 Quando o sistema de referência move-se rapidamente para a direita (caso b), inicialmente as forças restauradoras das molas (F = – k x) movem a carga para à direita. À medida que a carga aproxima-se da nova posição central, a força restauradura diminui (x é menor) e, antes da carga atingir a nova posição de referência, a força de atrito vence a força restauradora e a carga pára (caso c).
 O erro de regime é a distância entre o ponto em que a carga parou e o novo ponto de referência. Esta região nos dois lados do ponto de referência, em que a força das molas é incapaz de precisamente posicionar a variável controlada, é chamada de banda ou zona morta (dead band ou dead zone).
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Ação de controle proporcional - erro de regime
 O que pode ser feito para diminuir o erro em regime?
Exemplo: Um sistema de controle de posição possui um ganho Kp de 2 Nm/º e age contra um torque de atrito constante de 6 Nm. Qual é o tamanho da zona morta?
Solução: Para vencer o atrito, o sistema deve comandar o motor a gerar um torque de 6 Nm. Como a entrada do controlador é o sinal de erro, precisamos achar o valor do erro que resulta em uma saída de 6 Nm. 
 Com um erro de 3o em cada lado do ponto de referência zona morta = 6o. 
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Ação de controle proporcional - erro de regime
 Aumentar Kp.
 No modelo do sistema de referência com molas  molas com constante de mola maior (molas mais rígidas). 
 F = – k x , x : erro.  maior força restauradora.
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Ação de controle proporcional - erro de regime
 No entanto, elevados valores de Kp podem levar à instabilidade (lembram-se dos exemplos de LGR?).  Um aumento de Kp sem limites não é uma boa estratégia de controle.
 Matematicamente: determine o erro de regime de um sistema com realimentação unitária para uma entrada degrau unitário, onde o sistema é constituído por um controlador proporcional e um processo com dois pólos, p1 e p2, com p1 e p2  0.
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Ação de controle proporcional - erro de regime
 ess para uma entrada degrau unitário:
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Ação de controle proporcional - exemplo
 Controlador analógico : operadores operacionais para fornecerem o ganho e o processamento de sinais necessários.
 Exemplo: sistema de controle de fluxo.
 O controlador deve manter o fluxo de um líquido pelo cano a uma taxa de 6 gal/min. O sistema consiste em: (1) uma válvula de controle de fluxo operada eletronicamente; (2) um sensor de fluxo; (3) o controlador analógico.
 A válvula é operada com um sinal de 0 – 5V (0V: completamente fechada; 5V: completamente aberta).
 O sensor de fluxo fornece um sinal de saída de 0 – 5V, que corresponde a 0 – 10 gal/min.
 O sistema é projetado de modo que uma variação da tensão do sensor de 2,5V (50% de seu intervalo de operação) faça com que a válvula varie de complemamente fechada para completamente aberta. 
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Ação de controle proporcional - exemplo
 Circuito do controlador analógico : Três amp. ops.
 O primeiro amp. op (U1): amplificador diferencial de ganho 1  Realiza a subtração do sinal de realimentação do sensor do sinal de referência para gerar o sinal de erro. Para manter uma taxa de fluxo de 6 gal/min, o sinal de referência deve ser de 3V:
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Ação de controle proporcional - exemplo
 Circuito do controlador analógico : amp. ops. U2 e U3
 A saída de U1 (sinal de erro) é conectada na porta inversora do segundo amp. op (U2): amplificador inversor, cujo objetivo é fornecer o ganho proporcional Kp. (R f / R i = 2).
 O potenciômetro RB pode adicionar uma tensão DC (bias) ao sinal de erro, se necessário.
 A saída de U2 deve ser invertida para que o sinal de saída do controlador seja positiva  amp. op. U3 : inversor de ganho unitário.
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Ação de controle integral 
A introdução de um controle integral em um sistema de controle pode reduzir o erro de regime a zero. 
O controle integral gera uma força corretiva que é proporcional à soma de todos os erros passados multiplicada pelo tempo:
 Para um valor de erro constante, o valor de e(t)t irá aumentar com o passar do tempo, fazendo com que a força corretiva vá aumentando. Eventualmente, a força corretiva terá um valor grande o suficiente para vencer o atrito e modificar a variável controlada na direção de eliminar o erro.
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Ação de controle integral 
Usando a notação do Ogata: 
 Em um controlador com ação de controle integral, o valor da saída do controlador m(t) é variado em uma taxa proporcional ao sinal erro atuante e(t). Isto é:
onde Ki é uma constante ajustável.
Se o valor de e(t) é dobrado, então o valor de m(t) varia duas vezes mais rápido. Para erro atuante nulo, o valor de m(t) permanece estacionário.
 G(s)H(s): tipo 1  erro nulo a uma entrada degrau.
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Ação de controle integral - exemplo
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Ação de controle integral - exemplo
Considere o caso em que o braço robótico possui um erro de regime de posição de 2° devido ao atrito (figura 11.15(a) ).
À medida que o tempo passa, o erro permanece em 2°. A figura 11.15(b) mostra como o torque restaurador devido ao controle integral aumenta com o tempo. A magnitude do torque restaurador em qualquer instante de tempo é proporcional à área sob a curva de erro. 
Por exemplo, após 2 seg a área sob a curva de erro é 4 ° · s (área = 2°  2 seg na figura 11.15(a) ).  Assumindo que Kp = 1 Nm/° e KI = 1/seg  Kp  KI = 1 Nm/° · s, e o torque restaurador devido ao controle integral é de 4 Nm = 1 (Nm/° · s)  4 (°· s) = Kp KI  (área sob a curva).
Depois de 5 seg, aproximadamente, o torque restaurador é grande o suficiente para vencer o torque de atrito e move o braço os últimos 2° e remove o erro. Ao zerar o erro, a área sob a curva (a) deixa de crescer, então o torque também não cresce. Mas ele continua constante em 10 Nm (apenas não varia mais).
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Ação de controle integral - características
Apesar de eliminar o problema do erro em regime, o controlador integral reduz a estabilidade do sistema.  o controle integral tende a introduzir um sobressinal ao sistema (por que?), que pode levar a oscilações.
Veja, por exemplo, os gráficos da figura 11.17. 
Todos os sistemas mecânicos possuem atrito, e o atrito é não-linear (é necessário uma força maior para vencer o atrito do que para manter um objeto em movimento contra a força de atrito).
No tempo t = 0, o sistema da figura acabou de se mover para uma nova posição e parou, deixando um erro de regime. A força restauradora é igual à contribuição do controle proporcional mais a força crescente do controle integral. Durante um certo intervalo, o objeto não se mexe, mas finalmente a força restauradora combinada vence o atrito e o objeto consegue se movimentar. Uma vez em movimento, a força de atrito imediatamente cai, deixando uma “sobra” de força, a qual acelera o objeto. Esta “sobra” pode fazer com que ele tenha um sobressinal, e o processo reinicia-se do outro lado.
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Ação de controle integral - características
O sistema proporcional-integral não possui meios (além da força de atrito) para frear o objeto antes que ele atinja o novo ponto de referência. O sistema produz um sobressinal antes que qualquer frenagem ativa seja aplicada.
Portanto, a adição de uma ação de controle integral soluciona um dos problemas, o erro em regime, mas cria outros: sobressinal e menor estabilidade. Além disso, a resposta de uma realimentação integral é relativamente lenta uma vez que a área erro  tempo leva um certo tempo para atingir um valor apropriado.
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Ação de controle derivativa 
Uma solução para o problema do sobressinal é a introdução de um controle derivativo. Pode-se dizer que o controle derivativo “aplica o freio”, desacelerando a variável de controle logo antes que ela atinja seu valor apropriado.
A contribuição de um controle derivativo pode ser expresso por:
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Ação de controle derivativa 
A figura 11.18 mostra como um sistema de controle de posição com realimentação derivativa responde a uma mudança no sinal de referência.
11.18(a): mostra a posição real e a posição desejada da variável de controle.
11.18(b): mostra o erro de posição (E).
11.18(c): mostra a saída do controle derivativo.
Assuma que a variável de controle está inicialmente em 0o. No tempo A, o sinal de referência move-se rapidamente para 30o. Devido à inércia, o objeto leva um certo tempo até que adquira velocidade. Observe que o errro de posição (E) está aumentando (inclinação positiva) durante este período de tempo (de A para B). 
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Ação de controle derivativa 
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Ação de controle derivativa 
Assim, o controle derivativo, que é proporcional à inclinação do gráfico do erro, irá gerar uma saída positiva, que irá ajudar o objeto a se mover. À medida que a variável de controle aproxima o objeto do valor da posição de referência (de B para C), o erro na posição decresce (inclinação negativa)  o controle derivativo aplica uma força negativa que atua como um freio, ajudando a desacelerar o objeto.
Para sistemas de controle de processos, em que o sinal de referência é um valor fixo, o controle derivativo ajuda o sistema a responder mais rapidamente a mudanças na carga.
Por exemplo, considere um controlador que mantém um nível constante de um líquido em um tanque. Se há uma queda brusca no nível do líquido (curva de erro com inclinação positiva), o controle derivativo responde abrindo a válvula de entrada de um valor maior do que o que seria obtido apenas com um controle proporcional.
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Ação de controle derivativa 
A seguir, quando o nível estiver quase com o seu valor de referência e o erro estiver decrescendo (curva de erro com inclinação positiva, o controle derivativo auxilia no fechamento mais rápido da válvula.
O controle derivativo melhora o desempenho do sistema de duas formas. (1) Em primeiro lugar, ele fornece um acréscimo de força no início de uma mudança para promover uma ação mais rápida. (2) Em segundo lugar, ele fornece uma frenagem quando o objeto estiver próximo do novo ponto de referência. Esta ação de frenagem ajuda a diminuir o sobressinal e também tende a reduzir o erro em regime.
A influência do controle derivativo no sistema é proporcional a KD. Como o controle derivativo melhora em geral a resposta do sistema, quando maior KD, melhor?
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Ação de controle derivativa 
Não. Uma realimentação derivativa muito elevada irá aumentar o tempo de resposta do sistema e amplificar qualquer ruído que possa estar presente.
Observação importante: o controle derivativo não tem influência na acurácia do sistema, apenas no tempo de resposta; portanto, ele nunca é utilizado sozinho.