EXERCICIOS DE CALCULO II LISTA 3 (1)

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II 
 
COMPRIMENTO DE ARCO E ÁREA DE SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO 
 
Comprimento de Arco de uma Curva y = f(x). 
Teorema 1. Se uma função f e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [a, b], então o 
comprimento L do arco da curva y = f(x) do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)) será dado por 
 
 
 
 
 
Teorema 2. Se uma função g e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [c, d], então 
o comprimento L do arco da curva x = g(y) do ponto (g(c), c) ao ponto (g(d), d) será dado por 
 
 
 
 
Comprimento de Arco de uma Curva Paramétrica. 
Teorema. Se uma curva C for definida parametricamente por x = f(t) e y = g(t) para t em 
[a, b], onde são contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b] e C é percorrida 
exatamente uma vez quando t varia de a até b, então o comprimento L de C será dado por 
 
 
 
 
Área de Superfície de Revolução em torno do eixo x. 
Teorema. Se uma função f e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [a, b], com 
f(x) 0 para todo x em [a, b], então a área S da superfície de revolução gerada pela rotação da 
curva y = f(x), em torno do eixo x, será dada por 
 
 
 
 
Área de Superfície de Revolução em torno do eixo y. 
Teorema. Se uma função g e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [c, d], com 
g(y) 0 para todo y em [c, d], então a área S da superfície de revolução gerada pela rotação da 
curva x = g(y), em torno do eixo y, será dada por 
 
 
 
 
Área de Superfície de Revolução para Curva Parametrizada 
Teorema. Se uma curva C for definida parametricamente por x = f(t) e y = g(t) para t em 
[a, b], onde são contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b] e C é percorrida 
exatamente uma vez quando t varia de a até b, então a área das superfícies de revolução 
geradas pela rotação da curva C em torno dos eixos coordenados será calculada como 
segue: 
1. Rotação em torno do eixo x (y ). 
 
 
 
 
2. Rotação em torno do eixo y (x 0). 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Calcular o comprimento do arco de cada curva dada, no intervalo indicado. 
 f) 6xy = y4 + 3, de y = 1 a y = 2 
 
 
 
 3 g) y = 
 
 
 , de x = 1 a x = 4 
 h) 
 
 
 
 no 1º quadrante de x = 
 
 
 a x = 1 
 
 
 
 
 
 
 i) y = 
 
 
 dt, de x = 0 a x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 j) 9y² = x(x – 3)², no 1º quadrante de x = 1 a x = 3 
 
02. Calcular o comprimento do arco de cada curva paramétrica, no intervalo 
 indicado, sem eliminar o parâmetro. 
a) x = (1 + t)², y = (1 + t)³; 0 f) x = at – a , y = a – a ; 0 
b) x = 1 – t, y = 2 + 3t ; 
 
 
 g) x = t³, y = 
 
 
 0 
 
 
 
 h) x = 8 + 8t , y = 8 - 8t ; 
 0 
 
 
 
 i) x = 2sen³t, y = 2cos³t; 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 j) x = 2(1 – sent), y = 2(1 – cost); 0 
 
03. Encontrar a área de superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo indicado, no 
intervalo dado. 
a) y = 7x, 0 ; eixo x h) y = 4 , 
 
 
 4; eixo x. 
b) y = , 1 ; eixo x i) x = , 1 , eixo y. 
c) y = , -1 ; eixo x j) y² = 8x, 1 eixo x. 
d) x = 
 1 ; eixo x k) x = 
 
 
 , 0 ; eixo y. 
e) x = 9y + 1, 0 ; eixo y l) x = 2 , 0 
 
 
, eixo y. 
f) x = y³, 0 ; eixo y m) y = 1 ; eixo x 
g) x = , -2 ; eixo y n) x = , -1 ; eixo y 
 
04. Calcular a área da superfície gerada quando a curva paramétrica dada gira em torno do eixo 
indicado, no intervalo dado, sem eliminar o parâmetro. 
a) x = , y = r ; 0 ; eixo x 
b) x = r(t - ), y = r(1 - ); 0 ; eixo x 
c) x = , y =2 + ; 0 ; eixo x 
d) x = 
 
 
 , y = 2 ; 0 ; eixo y 
e) x = t + y = 
 
 
 - ; eixo y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 f) 
 
 
 g) 
 
 
 h) 
 
 
 i) 2 j) 
 
 
 
02. a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) d) 4 e)
 
 
 f) 8ª g) 7 h) i) 3 j) 4 
03. a) b)
 
 
 c) 8 d) 
 
 
 
 e) f) 
 
 
 g) h) 
 
 
 
 h) 
 
 
 i) 
 
 
 j) 
 
 
 
 k) 
 
 
 l) 
 
 
 m) 
 
 
 n) 
 
 
 
04. a) 4 b)
 
 
 c) 8 d) 
 
 
 e)