Fenômenos de trânsporte - Cinemática dos fluídos

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Fenômenos de Transporte
ESCOAMENTO EM TUBOS
Na prática o escoamento de fluidos encontra-se usualmente tanto em tubos circulares quanto não circulares. Vejamos alguns exemplos:
◊ a água quente e fria que usamos em nossas casas é bombeada através de tubos;
◊ a água de uma cidade é distribuída por meio de grandes redes de tubulações;
◊ o petróleo e o gás natural são transportados por centenas de quilômetros por grandes tubulações;
◊ o sangue é transportado através das nossas artérias e veias;
◊ a água de arrefecimento de um motor é transportada por mangueiras até os tubos do radiador, onde a mesma é resfriada à medida que escoa e etc.
Fenômenos de Transporte
ESCOAMENTO EM TUBOS
O escoamento do fluido é classificado como externo e interno, dependendo do fluido ser forçado a escoar por uma superfície ou em um conduto. Os escoamentos interno e externo exibem características muito diferentes. 
Iremos estudar apenas o escoamento interno onde o conduto é completamente preenchido com o fluido, e o escoamento é primariamente impulsionado por uma diferença de pressão.
Ele não deve ser confundido com escoamento de canal aberto no qual o conduto é parcialmente preenchido pelo fluido e, portanto, o escoamento é parcialmente limitado por superfícies sólidas, como uma vala de irrigação, e o escoamento é impulsionado apenas pela gravidade.
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ESCOAMENTO EM TUBOS
Iniciamos este estudo com uma descrição física geral do escoamento interno e da camada limite de velocidade, dando sequência com uma discussão do número de Reynolds, adimensional, e de seu significado físico.
Abordando ainda, as características do escoamento dentro de tubos e apresentando as correlações de queda de pressão associadas a ele para escoamentos laminar e turbulento. 
Fenômenos de Transporte
ESCOAMENTO EM TUBOS
O escoamento de um fluido através de tubos ou dutos normalmente é usado em diversas aplicações. Devemos prestar uma atenção particular ao atrito, que está diretamente relacionado à queda de pressão e à perda de carga durante o escoamento através de tubos e dutos.
Um sistema típico de tubulação envolve tubos de diâmetros diferentes conectados entre si por diversos acessórios ou cotovelos para transportar o fluido, válvulas para controlar a vazão e bombas para pressurizar o fluido. 
Os termos tubo, duto e conduto em geral são usados com o mesmo sentido nas seções de escoamento. 
Em geral, as seções de escoamento de seção transversal circular são chamadas de tubos (particularmente quando o fluido é um líquido), e as seções de escoamento de seção transversal não circular são chamadas de dutos (particularmente quando o fluido é um gás).
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ESCOAMENTO EM TUBOS
Dada essa incerteza, usaremos frases mais descritivas (como um tubo circular ou um duto retangular) sempre que necessário para evitar mal-entendidos. 
O tubos circulares podem suportar grandes diferenças de pressão entre o interior e o exterior sem sofrer nenhuma distorção significativa, mas os não circulares não podem
Dutos retangulares
Tubos circulares
Água 50 atm
Ar 1,2 atm
Fenômenos de Transporte
ESCOAMENTO EM TUBOS
Provavelmente já notamos que a maioria dos fluidos, particularmente os líquidos, são transportados em tubos circulares. Isso acontece porque os tubos com uma seção transversal circular podem suportar grandes diferenças de pressão entre o interior e o exterior sem sofrer distorções significativas. 
Os tubos não circulares geralmente são usados em aplicações como sistemas de aquecimento e refrigeração de prédios, nos quais a diferença de pressão é relativamente pequena, os custos de fabricação e instalação são mais baixos e é limitado.
Embora a teoria do escoamento de fluidos seja razoavelmente bem compreendida, as soluções teóricas são obtidas APENAS para alguns poucos casos simples, COMO O ESCOAMENTO LAMINAR TOTALMENTE desenvolvido em um TUBO CIRCULAR.
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ESCOAMENTO EM TUBOS
Assim, devemos nos basear nos resultados experimentais e nas relações empíricas na maioria dos problemas de escoamento de fluidos em vez de em soluções analíticas fechadas. Observando que os resultados experimentais são obtidos sob condições de laboratório cuidadosamente controladas, e que não existem dois sistemas exatamente iguais, não devemos ser tão ingênuos a ponto de considerar “exatos” os resultados obtidos. 
Um erro de 10% (ou mais) nos fatores de atrito calculados usando as relações estudadas é a “regra” e não a “exceção”.
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Regimes ou movimentos variado e permanente
Regime permanente é aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto com o passar do tempo. Note-se que as propriedades do fluido podem variar de ponto para ponto, desde que não haja variações com o tempo.
Isso significa que, apesar de um certo fluido estar em movimento, a configuração de suas propriedades em qualquer instante permanece a mesma. Um exemplo prático disso será o escoamento pela tubulação do tanque, visto na figura baixo, desde que o nível dele seja mantido constante. 
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Regime Permanente ou Estacionário 
• As propriedades dos fluidos não variam com o tempo, num mesmo ponto.
 
• Podem variar de um ponto para outro. 
● A qtdade de água que entra em 1 é a mesma que sai em 2, e as propriedades do fluido, como v, ρ, p,… em cada ponto são as mesmas em qualquer instante, mas de um ponto para outro podem variar. 
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Regime Permanente ou Estacionário 
Nesse tanque, a quantidade de água que entra em (1) é idêntica à quantidade de água que sai por (2), nessas condições, a configuração de todas as propriedades do fluido, como velocidade, massa específica, pressão etc. , será, em cada ponto, a mesma em qualquer instante. Note-se que em cada ponto a velocidade, por exemplo, é diferente, assim como a pressão o será, pela lei de Stevin. 
Regime variado é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos ou regiões de pontos variam com o passar do tempo. Se no exemplo da figura anterior não houver fornecimento de água por (1), o regime será variado em todos os pontos.
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Regimes ou movimentos variado e permanente
Denomina-se reservatório de grandes dimensões, um reservatório do qual se extrai ou no qual se admite fluido, mas, devido à sua dimensão transversal muito extensa, o nível não varia sensivelmente com o passar do tempo. 
Em um reservatório de grande dimensões, o nível mantém-se aproximadamente constante com o passar do tempo, de forma que o regime pode ser considerado aproximadamente permanente.
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A figura abaixo mostra um reservatório de grandes dimensões, em que, apesar de haver uma descarga do fluido, o nível não varia sensivelmente com o passar do tempo, e o regime pode ser considerado permanente.
Regimes ou movimentos variado e permanente
Fenômenos de Transporte
Regimes ou movimentos variado e permanente
A figura abaixo mostra um reservatório em que a seção transversal é relativamente pequena em face da descarga do fluido. Isso faz com que o nível dele varie sensivelmente com o passar do tempo, havendo uma variação sensível da configuração do sistema, caracterizando um regime variado.
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Para definir esses dois tipos de escoamentos, recorre-se à experiência de Reynolds (1883), que demonstrou a sua existência.
Seja, por exemplo, um reservatório que contém água. Um tubo transparente é ligado ao reservatório e, no fim deste, uma válvula permite a variação da velocidade de descarga da água. No eixo do tubo é injetado um líquido corante do qual se deseja observar o comportamento, conforme a figura abaixo.
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Nota-se que ao abrir pouco a válvula, portanto para pequenas velocidades de descarga, forma-se um filete reto e contínuo de fluido colorido no eixo do tubo (3). Ao abrir mais a válvula(5), o filete começa a apresentar ondulações e finalmentedesaparece a uma distância do ponto de injeção. Nesse último caso, como o nível (2) continua descendo, conclui-se que o fluido colorido é injetado, mas, devido a movimentos transversais do escoamento, é totalmente diluído na água do tubo (3). Esses fatos denotam a existência de dois tipos de escoamentos separados por um escoamento de transição. 
Fenômenos de Transporte
No primeiro caso, em que é observável o filete colorido reto e contínuo, conclui-se que as partículas viajam sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas concêntricas, entre as quais não há troca macroscópica de partículas.
No segundo caso, as partículas apresentam velocidades transversais importantes, já que o filete desaparece pela diluição de suas partículas no volume de água.
Escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas individualizadas, sem troca de massa entre elas.
Escoamento turbulento é aquele em que as partículas apresentam um movimento aleatório macroscópico, isto é, a velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto do fluido.
Fenômenos de Transporte
O escoamento laminar é o menos comum na prática, mas pode ser visualizado num filete de água de uma torneira pouco aberta ou no início da trajetória seguida pela fumaça de um cigarro, já que a uma certa distância dele notam-se movimentos transversais. Reynolds, verificou que o fato de o movimento ser laminar ou turbulento depende do valor do número adimensional dado por:
Essa expressão se chama número de Reynolds e mostra que o tipo de escoamento depende do conjunto de grandezas v, D e ν, e não somente de cada uma delas.
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Reynolds verificou que, no caso de tubos, seriam observados os seguintes valores:
 Re ≤ 2.300 Escoamento laminar
2.300< Re < 4000 Escoamento de transição
 Re ≥ 4000 Escoamento turbulento
Note-se que o movimento turbulento é variado por natureza, devido às flutuações da velocidade em cada ponto. Pode-se, no entanto, muitas vezes, considerá-lo permanente, adotando em cada ponto a média das velocidades em relação ao tempo. Esse fato é comprovado na prática, já que somente aparelhos muito sensíveis conseguem indicar as flutuações dos valores das propriedades em cada ponto.
O seu significado físico é um quociente entre as forças de inércia e as forças de viscosidade. 
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Número de Reynolds (Re) 
O nº de Re no qual o escoamento torna-se turbulento é chamado de nº Re crítico, esse valor é diferente para geometrias e condições de escoamento diferentes.
- Escoamento interno em tubo circular, Re = 2300;
 Escoamento interno em tubo não circular, Re baseia-se no diâmetro hidráulico, Dh
Dh = 4Ac/p 
Onde Ac é a área da seção transversal do tubo e p é seu perímetro molhado.
O Dh é definido de forma que se reduza ao diâmetro comum D para tubos circulares
Dh = 4Ac/p = 4(πD2/4)/ πd = D
Fenômenos de Transporte
Número de Reynolds (Re) 
• O número de Reynolds é um número adimensional usado para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície. 
• É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões. 
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Segundo a ABNT
• Por exemplo, no caso de escoamento num tubo, v é velocidade média do escoamento e D é igual ao diâmetro do tubo. Podemos convencionar que: 
– Re ≤ 2300 caracteriza escoamento laminar, 
– 2300 ≤ Re ≤ 4000 caracteriza uma região de transição,
 
– Re ≥ 4000 caracteriza o escoamento turbulento. 
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Importância do Número de Reynolds 
• É a possibilidade de se avaliar a estabilidade do fluxo podendo obter uma indicação se o escoamento flui de forma laminar ou turbulenta. 
• O número de Reynolds constitui a base do comportamento de sistemas reais, pelo uso de modelos reduzidos. 
• Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds, for o mesmo para ambos. 
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Número de Reynolds em Perfis Aerodinâmicos 
• Para aplicações em perfis aerodinâmicos, o número de Reynolds pode ser expresso em função da corda média aerodinâmica do perfil. 
• ρ = massa específica do fluido 
• μ = viscosidade dinâmica do fluido 
• v = velocidade do escoamento 
• = a corda média aerodinâmica do perfil. 
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Número de Reynolds capaz de gerar Sustentação 
• Em asas de aviões: 
– Re < 1x107 = regime laminar 
– Re > 1x107 = regime turbulento 
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EXERCÍCIOS
01) Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e massa específica relativa igual a 0,91 escoando num tubo de 25 mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds e classifique quanto ao regime de escoamento. 
02) Suponha que o fluido possua viscosidade dinâmica de 0,41 N.s/m2 e massa específica relativa de 0,88. Determine se o escoamento é laminar ou turbulento dentro dos critérios de Reynolds quando o escoamento acontece em uma tubulação de ½ polegada de diâmetro interno, com uma velocidade de magnitude igual a 10,82 m/s. Considere a densidade da água 1000kg/m3. 
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A maioria dos aparelhos, devido ao fato de apresentarem uma certa inércia na medição, indicará um valor permanente em cada ponto que corresponderá exatamente à media citada anteriormente, vejamos a figura abaixo.
Assim, mesmo que o escoamento seja turbulento, poderá, em geral, ser admitido como permanente em média nas aplicações.
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Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos. Note-se que a equação de uma trajetória será função do ponto inicial, que individualiza a partícula, e do tempo. Uma visualização da trajetória será obtida por meio de uma fotografia, com tempo longo de exposição, de um flutuante colorido colocado num fluido em movimento.
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Linha de corrente é a linha tangente aos vetores da velocidade de diferentes partículas no mesmo instante. Nota-se que, na equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um certo instante. 
A visualização pode ser feita lançando, por exemplo, serragem em diversos pontos do escoamento e tirando em seguida uma fotografia instantânea. A serragem irá, num pequeno intervalo de tempo, apresentar um curto espaço percorrido que representará o vetor velocidade no ponto.
A linha de corrente será obtida traçando-se na fotografia a linha tangente aos traços de serragem, vejamos a figura.
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As linhas de corrente e as trajetórias coincidem geometricamente no regime permanente. Tubo de corente é a superfície de forma tubular formada pelas linhas de corrente que se apoiam numa linha geométrica fechada qualquer.
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Propriedades dos tubos de corrente
Os tubos de corrente são fixos quando o regime é permanente.
Os tubos de corrente são impermeáveis à passagem de massa, isto é, existe passagem de partículas de fluido através do tubo de corrente.
A propriedade (a) é óbvia, já que, quando o regime é permanente, não há variação da configuração do fluido e de suas propriedades. A propriedade (b) pode ser verificada por absurdo, supondo que uma partícula cruze o tubo de corrente. Para que isso ocorresse, seria necessário que o vetor da velocidade fosse oblíquo em relação ao tubo de corrente, o que não pode acontecer, pois ele é formado de linhas de corrente que, por definição, são tangentes aos vetores da velocidade.
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Essa propriedade é muito importante, pois em regime permanente garante que as partículas de fluido que entram de um lado do tubo de corrente deverão sair do outro, não havendo adição nem subtração de partículas através do tubo. A sua utilidade será vista nas equações básicas de mecânica dos fluidos.
Regimede Escoamento quanto ao número de coordenadas 
• Escoamento Uni, Bi e Tridimensionais: 
• Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional dependendo do número de coordenadas espaciais requeridas na especificação do campo de velocidades. 
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Regime de Escoamento quanto ao número de coordenadas 
Unidimensional 
Bidimensional 
Tridimensional 
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O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido. Para que isso aconteça, é necessário que as propriedades sejam constantes em cada seção.
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Observa-se que em cada seção a velocidade é a mesma, em qualquer ponto, sendo suficiente fornecer o seu valor em função da coordenada x para obter sua variação ao longo do escoamento. Diz-se, nesse caso, que o escoamento é uniforme nas seções.
Já na figura abaixo, observa-se um escoamento bidimensional, em que a variação da velocidade é função das duas coordenadas x e y. Nesse escoamento, o diagrama de velocidade repete-se identicamente em planos paralelos ao plano x,y.
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O escoamento no espaço tridimensional fica: 
Nota-se que, com o aumento do número de dimensões, as equações se complicam e é conveniente, sempre que possível, descrever o escoamento de forma unidimensional conforme um critério que será apresentado mais a frente.
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Tipos de Regime de Escoamento quanto à variação de tempo 
• Regime Permanente ou Estacionário 
• Regime Variado ou Não Estacionário 
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Campo de velocidade
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Observa-se a determinação do campo de velocidade em um ponto.
A velocidade instantânea do fluido no ponto C, é igual à velocidade instantânea do volume infinitesimal δV que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão.
O campo de velocidade, , é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa representação do campo de velocidades é dada por:
=
(x, y, z, t)
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Campo de velocidade
O vetor velocidade, , pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de velocidade pode ser escrito como:
= 
u
+
+
v
w
Onde:
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Exercícios
01)
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● Escoamento é uni bi ou tridimensional?
Resolução questão 01
● Regime permanente ou não permanente?
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Resolução questão 01
● Determinar o ponto de estagnação:
● Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m
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Resolução questão 01
● Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m
02) Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
Resolução questão 02
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03) Dado o vetor velocidade 
– a) Verifique se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. 
– b) Verifique se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. 
– c) Determinar a magnitude da velocidade em y=1 e z=2m. 
Resolução questão 03
a)
b)
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Resolução questão 03
ui = 0
vj = -y3-4z
wk = 3y2z 
v
=
= 
= 10,82 m/s 
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A vazão em volume pode ser definida facilmente pela figura a seguir.
Pode-se então dizer que a torneira enche 20 L em 10s ou que a vazão em volume da torneira é 20L/10s = 2 L/s.
Define-se vazão em volume Q como o volume de fluido que atravessa uma certa seção do escoamento por unidade de tempo.
e etc.
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Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade do fluido
Suponha-se o fluido em movimento. No intervalo de tempo t, o fluido se desloca através da seção de área A a uma distância s. O volume de fluido que atravessa a seção de área A no intervalo de tempo t é V = sA. Logo, a vazão será
Logo: Q = vA
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Velocidade (v) [m/s] 
• A velocidade é um parâmetro de fundamental importância no projeto de bombas e na determinação das tubulações. 
• Quanto sai de fluido por um tubo de secção A? 
• Depende da vazão 
• Depende da velocidade de escoamento e da área da seção transversal do tubo 
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Velocidade e Vazão 
• Suponha que o fluido se movimente. 
• No instante t, o fluido se desloca através da área A, a uma distância d. 
• Volume do fluido deslocado: 
• Volume do fluido deslocado: 
• Volume do fluido deslocado: 
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Vazão Volumétrica (Q ou QV) [m³/s] 
• Vazão volumétrica é definida como sendo o volume de fluído que atravessa por uma determinada secção por unidade de tempo. 
• A vazão (Q) pode ser calculada pela integração do perfil de velocidade sobre a área transversal do escoamento. 
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Vazão Mássica ou Descarga (Qm) [kg/s] 
• Vazão mássica é a massa de fluido que atravessa uma determinada seção por unidade de tempo. 
• A vazão (Qm) pode ser calculada pela integração do perfil de velocidade sobre a área transversal do escoamento e massa específica. 
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Exercícios 
01) Água flui por um tubo de 1 polegada de diâmetro interno. A viscosidade cinemática da água é 9,3x10-7m2/s. Determinar a maior vazão possível em que o fluxo ainda seja laminar, segundo Reynolds. 
02) Um gás (γ = 5 N/m3) escoa em regime permanente com uma vazão de 5 kg/s pela seção A de um conduto retangular de seção constante de 0,5 m por 1m. Em uma seção B, o peso específico do gás é 10 N/m3. Qual será a velocidade média do escoamento nas seções A e B? R – 15 m/s
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Velocidade Não Uniforme na Seção 
• Na maioria dos casos, o escoamento não é uniforme, a velocidade pode variar em cada ponto. 
• Adotamos um dA com v 
• A vazão na seção 
• Define-se como velocidade média na seção uniforme: 
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Exercício 
O esquema a seguir corresponde à seção longitudinal de um canal de 25 cm de largura. Admitindo escoamento bidimensional e sendo o diagrama de velocidades dado por v = 30y-y2(y em cm e v em cm/s), bem como o fluido de peso específico 0,9N/L e viscosidade cinemática 7x10-5 m2/s e g = 10m/s2, determinar: 
A) o gradiente de velocidade para y = 2cm 
B) a máxima tensão de cisalhamento na seção (Pa) 
C) a velocidade média na seção 
D) a vazão em massa na seção 
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Equação da Continuidade 
• Se considerarmos Q1 como a vazão na entrada do tubo e Q2, a vazão na saída. 
• Se considerarmos um fluido incompressível 
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Exercício 
Um gás escoa no trecho de tubulação da figura. Na seção 1, tem-se A1 = 20 cm2, ρ1 = 4 kg/m3 e v1 = 30 m/s. Na seção 2, A2 = 10 cm2, ρ2 = 12 kg/m3. Qual é a velocidade na seção 2? 
Fenômenos de Transporte
01) Um gás flui em um duto quadrado. A velocidade medida em um ponto onde o duto tem 1 m de lado é de 8 m/s, tendo o gás massa específica (para esta particular situação) de 1,09 kg/m3. Num segundo ponto, o tamanho do duto é 25 m2 e a velocidade 2 m/s. Determine a vazão mássica e a massa específica do fluido nesse segundo ponto. 
Exercícios 
02) A tubulação de aço para a alimentação de uma usina hidrelétrica deve fornecer 1200 litros/s. Determinar o diâmetro da tubulação de modo que a velocidade da água não ultrapasse 1,9 m/s. 
Fenômenos de Transporte
Exercícios 
03) Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros, sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3 m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a 30 mm.
04) Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 1200 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente.
Fenômenos de Transporte
05) Um tubo despeja água em um reservatório com umavazão de 20 l/s e um outro despeja um líquido de massa específica igual a 800 kg/m3 com uma vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 30 cm2. Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e calcule também qual é a velocidade de saída.
Exercícios 
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Energias associadas a um Fluido 
• Baseado no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma equação que permitirá fazer o balanço de energias em um fluido: 
– Energia potencial (EP); 
– Energia cinética (EC);
 
– Energia de pressão (Epr). 
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Energia Potencial (Ep) 
• É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da gravidade em relação à um plano horizontal de referência. 
• Essa energia é medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema. 
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Energia Cinética (Ec) 
• É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. 
• Seja um sistema de massa m e velocidade v. 
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Energia de Pressão (Epr) 
• Essa energia corresponde ao trabalho das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido. 
• Admitindo que a pressão seja uniforme na seção: 
• No intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar dx, sob a ação da força F, produzindo um trabalho: 
• ou 
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Energia Mecânica Total do Fluido (E) 
• Desconsiderando as energias térmicas e levando em consideração apenas efeitos mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será: 
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Considerações 
• Regime permanente. 
– Em um mesmo ponto, as características do fluido não variam. 
• Não há máquinas no trecho de escoamento.
 
– Fornecem ou retiram energia do fluido. 
• Não há perdas por atrito. 
• Seções uniformes. 
• Fluido incompressível. 
– Massa específica constante. 
• Sem trocas de calor. 
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O Fluido em movimento 
• Após um intervalo de tempo dt, a massa infinitesimal dm1 atravessa a área 1 e penetra no trecho 2, acrescentando energia: 
• Na seção 2, a massa dm2, escoa para fora, levando sua energia: 
Fenômenos de Transporte
O Fluido em movimento 
• Como não há máquinas, não há variação de energia: 
Fenômenos de Transporte
O Fluido em movimento 
• Como o fluido é incompressível 
• Como o regime é permanente 
Fenômenos de Transporte
Equação de Bernoulli 
• Dividindo a equação por g: 
• Peso específico: 
• Equação de Bernoulli permite relacionar cotas, velocidades e pressões entre duas seções do escoamento do fluido. 
• H = energia total por unidade de peso, 
cuja unidade é o metro. 
Fenômenos de Transporte
EXERCÍCIO
Fenômenos de Transporte
EXEMPLO
 Água escoa em regime permanente no Venturi da Figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é de 20 cm2, enquanto que a garganta (2) é de 10 cm2. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio está ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na Figura. Qual a vazão de água (em l/s) que escoa pelo Venturi? 
Fenômenos de Transporte
Solução para o exemplo anterior (equação de Bernoulli) 
• Os centro de massa estão na mesma altura: 
• Logo, h1 = h2 
Fenômenos de Transporte
Solução (Teorema de Stevin) 
Fenômenos de Transporte
Solução (retornando à Bernoulli) 
Fenômenos de Transporte
Solução (Equação da Vazão) 
• Como 1000 litros = 1m3, a vazão é de 5,7 L/s 
Fenômenos de Transporte
EXERCÍCIOS
01) Em um conduto de 175 mm de diâmetro a vazão é de 3300 litros de água por minuto. Sabendo que a pressão num ponto do conduto é de 20 N/cm2, calcule o valor da energia total por unidade de peso, estando o plano de referência a 8 m abaixo do ponto considerado. 
02) A água circula pela tubulação, onde D1 = 200 mm e D2 = 100 mm. À tubulação está ligado um manômetro de mercúrio. Admitindo que não haja perdas de energia entre (1) e (2), determinar: 
• A) A diferença de pressão entre (1) e (2). 
• B) A vazão. 
Fenômenos de Transporte
Aplicação da Eq. De Bernoulli 
• Teorema de Torricelli: 
• Admitindo que a SL seja cte.
 
• O orifício à profundidade h, escoa um líquido de peso específico . Sejam:
 
– A = área da seção transversal do recipiente. 
– a = área do orifício.
 
• Para o caso em que A > 10 a. 
– A velocidade pode ser considerada nula na SL, na qual atua a pressão atmosférica. 
Fenômenos de Transporte
Teorema de Torricelli 
Fenômenos de Transporte
EXERCÍCIOS
01) Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de grandes dimensões.