Provas 2013.2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO 
ESCOLA POLITÉCNICA DE ENGENHARIA 
CÁLCULO 3 
1º Exercício Escolar 
 
1º) A menor e maior distância do ponto (3, 1,−1) a esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 4 são , aproximadamente: 
a) 2,5 e 4,87 b) 2,56 e 4,84 c) 2,04 e 5, 08 d) 1,32 e 5,32 e) NDR 
Como 𝑑2 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 1)2 temos: 
 𝑤 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 1)2 + 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4). Logo, 
 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6; 𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 2𝑦 + 2𝜆𝑦 − 2; 𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 2𝑧 + 2𝜆𝑧 + 2; 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4. Daí: 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 6
2+2𝜆
; 2𝑦 + 2𝜆𝑦 − 2 = 0 ⇒ 𝑦 = 2
2+2𝜆
; 2𝑧 + 2𝜆𝑧 + 2 = 0 ⇒ 𝑧 = −2
2+2𝜆
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4 = 0 ⇒ � 62 + 2𝜆�2 + � 22 + 2𝜆�2 + � −22 + 2𝜆�2 = 4 ⇒ � 𝜆 = 0.658𝜆 = −2.658 
𝑥 = 1,809 𝑜𝑢 − 1,809 ∴ 𝑦 = 0,603 𝑜𝑢 − 0,603 ∴ 𝑧 = −0,658 𝑜𝑢 − 2,658 ⇒ 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 1,32 𝑒 𝑑𝑚á𝑥 = 5,32 
2º) Se 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), então a derivada direcional no ponto (1,3,2) na direção do vetor 
𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 vale: 
a) 1,454 b) 0,462 c) 0,278 d) -1,225 e) NDR 
∇𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dx , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dy , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dz � = (𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), 𝑧𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧),𝑦𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)) 
𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 ⇒ 𝑢 = (0,408; 0,816; −0,408) 
𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇𝑓(1,3,2) ∙ 𝑢 = (−0,279; 1,92; 2,881) ⋅ (0,408; 0,816; −0,408) = 0,278 
3º) Chama-se de diferencial total a soma das derivadas parciais de uma função, ou seja, 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑦. 
Desta forma, podemos dizer que a derivada total da função 𝑧 = 𝑥𝑒𝑥𝑦 é: 
a) 𝑑𝑧 = (𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
b) 𝑑𝑧 = (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
c) 𝑑𝑧 = (𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
d) 𝑑𝑧 = (𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
e) NDR 
𝑥𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 ∴ 𝑥𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦
= 𝑥2𝑒𝑥𝑦 ⇒ 𝑑𝑧 = (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
4º) Uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) é dita harmônica se 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
+ 𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 0. Verifique as alternativas abaixo e marque a 
incorreta: 
a) a função 𝑓(𝑥,𝑦) = ln (�𝑥2 + 𝑦2) é harmônica 
b) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦 é harmônica 
c) a função 𝑓(𝑥,𝑦) = tan−1 𝑦
𝑥
 é harmônica 
d) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥 é harmônica 
e) Nenhumas funções das analisadas são harmônicas 
𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
+ 𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
= 2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥2(𝑥2 + 𝑦2)2 − 2𝑦2(𝑥2 + 𝑦2)2 
𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh 𝑦
𝜕𝑥2
= 0 
𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
= 2𝑦
𝑥3 �
𝑦2
𝑥2 + 1� − 2𝑦
3
𝑥5 �
𝑦2
𝑥2 + 1�2 − 2𝑦𝑥3 �𝑦2𝑥2 + 1�2 
𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
= 0 
 
1d 2c 3b 4ace 
UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO 
ESCOLA POLITÉCNICA DE ENGENHARIA 
CÁLCULO 3 
1º Exercício Escolar 
 
1º) A menor e maior distância do ponto (3, 1, 1) a esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 4 são , aproximadamente: 
a) 2,5 e 4,87 b) 2,56 e 4,84 c) 2,04 e 5, 08 d) 1,32 e 5,32 e) NDR 
Como 𝑑2 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 1)2 temos: 
 𝑤 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 1)2 + 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4). Logo, 
 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6; 𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 2𝑦 + 2𝜆𝑦 − 2; 𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 2𝑧 + 2𝜆𝑧 − 2; 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4. Daí: 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 6
2+2𝜆
; 2𝑦 + 2𝜆𝑦 − 2 = 0 ⇒ 𝑦 = 2
2+2𝜆
; 2𝑧 + 2𝜆𝑧 − 2 = 0 ⇒ 𝑧 = 2
2+2𝜆
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4 = 0 ⇒ � 62 + 2𝜆�2 + � 22 + 2𝜆�2 + � 22 + 2𝜆�2 = 4 ⇒ � 𝜆 = 0.658𝜆 = −2.658 
𝑥 = 1,809 𝑜𝑢 − 1,809 ∴ 𝑦 = 0,603 𝑜𝑢 − 0,603 ∴ 𝑧 = 0,603 𝑜𝑢 − 0,603 ⇒ 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2,04 𝑒 𝑑𝑚á𝑥 = 5,08 
2º) Se 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), então a derivada direcional no ponto (1,3,2) na direção do vetor 
𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 vale: 
a) 1,454 b) 0,462 c) 0,278 d) -1,225 e) NDR 
∇𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dx , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dy , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dz � = (𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), 𝑧𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧),𝑦𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)) 
𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 ⇒ 𝑢 = (0,408; 0,816; −0,408) 
𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇𝑓(1,3,2) ∙ 𝑢 = (−0,279; 1,92; 2,881) ⋅ (0,408; 0,816; −0,408) = 0,278 
3º) Chama-se de diferencial total a soma das derivadas parciais de uma função, ou seja, 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑦. 
Desta forma, podemos dizer que a derivada total da função 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 é: 
a) 𝑑𝑧 = (𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
b) 𝑑𝑧 = (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
c) 𝑑𝑧 = (𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
d) 𝑑𝑧 = (𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
e) NDR 
𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2𝑒𝑥𝑦 ∴ 𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦
= 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 ⇒ 𝑑𝑧 = (𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
4º) Uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) é dita harmônica se 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
+ 𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 0. Verifique as alternativas abaixo e marque a 
incorreta: 
a) a função 𝑓(𝑥,𝑦) = ln (�𝑥2 + 𝑦2) é harmônica 
b) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦 é harmônica 
c) a função 𝑓(𝑥,𝑦) = tan−1 𝑦
𝑥
 é harmônica 
d) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥 é harmônica 
e) Nenhumas funções das analisadas são harmônicas 
𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
+ 𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
= 2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥2(𝑥2 + 𝑦2)2 − 2𝑦2(𝑥2 + 𝑦2)2 
𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh 𝑦
𝜕𝑥2
= 0 
 
𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
= 2𝑦
𝑥3 �
𝑦2
𝑥2 + 1� − 2𝑦
3
𝑥5 �
𝑦2
𝑥2 + 1�2 − 2𝑦𝑥3 �𝑦2𝑥2 + 1�2 
𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
= 0 
 
1c 2c 3a 4ace 
 
 
UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO 
ESCOLA POLITÉCNICA DE ENGENHARIA 
CÁLCULO 3 
1º Exercício Escolar 
 
1º) A menor e maior distância do ponto (3,−1, 1) a esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 4 são , aproximadamente: 
a) 2,5 e 4,87 b) 2,56 e 4,84 c) 2,04 e 5, 08 d) 1,32 e 5,32 e) NDR 
Como 𝑑2 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 1)2 temos: 
 𝑤 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 1)2 + 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4). Logo, 
 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6; 𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 2𝑦 + 2𝜆𝑦 + 2; 𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 2𝑧 + 2𝜆𝑧 − 2; 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4. Daí: 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 6
2+2𝜆
; 2𝑦 + 2𝜆𝑦 + 2 = 0 ⇒ 𝑦 = −2
2+2𝜆
; 2𝑧 + 2𝜆𝑧 − 2 = 0 ⇒ 𝑧 = 2
2+2𝜆
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4 = 0 ⇒ � 62 + 2𝜆�2 + � −22 + 2𝜆�2 + � 22 + 2𝜆�2 = 4 ⇒ � 𝜆 = 0.658𝜆 = −2.658 
𝑥 = 1,809 𝑜𝑢 − 1,809 ∴ 𝑦 = −0,603 𝑜𝑢 0,603 ∴ 𝑧 = 0,603 𝑜𝑢 − 0,603 ⇒ 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2,56 𝑒 𝑑𝑚á𝑥 = 4,84 
2º) Se 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), então a derivada direcional no ponto (1,3,1) na direção do vetor 
𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 vale: 
a) 1,454 b) 0,462 c) 0,278 d) -1,225 e) NDR 
∇𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dx , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dy , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dz � = (𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), 𝑧𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧),𝑦𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)) 
𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 ⇒ 𝑢 = (0,408; 0,816; −0,408) 
𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇𝑓(1,3,1) ∙ 𝑢 = (0,141; −0,99;−2,97) ⋅ (0,408; 0,816; −0,408) = 0,462 
3º) Chama-se de diferencial total a soma das derivadas parciais de uma função, ou seja, 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑦. 
Desta forma, podemos dizer que a derivada total da função 𝑧 = 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 é: 
a) 𝑑𝑧 = (𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
b) 𝑑𝑧 = (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
c) 𝑑𝑧 = (𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
d) 𝑑𝑧 = (𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
e) NDR 
𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑦 ∴ 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦
= 𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2𝑒𝑥𝑦 ⇒ 𝑑𝑧 = (𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
4º) Uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) é dita harmônica se 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
+ 𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 0. Verifique as alternativas abaixo e marque a 
incorreta: 
a) a função 𝑓(𝑥,𝑦) = ln (�𝑥2 + 𝑦2) é harmônica 
b) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦 é harmônica 
c) a função 𝑓(𝑥,𝑦)= tan−1 𝑦
𝑥
 é harmônica 
d) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥 é harmônica 
e) Nenhumas funções das analisadas são harmônicas 
𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
+ 𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
= 2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥2(𝑥2 + 𝑦2)2 − 2𝑦2(𝑥2 + 𝑦2)2 
𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh 𝑦
𝜕𝑥2
= 0 
 
𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
= 2𝑦
𝑥3 �
𝑦2
𝑥2 + 1� − 2𝑦
3
𝑥5 �
𝑦2
𝑥2 + 1�2 − 2𝑦𝑥3 �𝑦2𝑥2 + 1�2 
𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
= 0 
 
1b 2b 3d 4ace 
UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO 
ESCOLA POLITÉCNICA DE ENGENHARIA 
CÁLCULO 3 
1º Exercício Escolar 
 
1º) A menor e maior distância do ponto (3, 2, 2) a esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 4 são , aproximadamente: 
a) 2,5 e 4,87 b) 2,56 e 4,84 c) 2,04 e 5, 08 d) 1,32 e 5,32 e) NDR 
Como 𝑑2 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 2)2 temos: 
 𝑤 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 2)2 + 𝜆(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4). Logo, 
 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6; 𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 2𝑦 + 2𝜆𝑦 − 4; 𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 2𝑧 + 2𝜆𝑧 − 4; 𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4. Daí: 2𝑥 + 2𝜆𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 6
2+2𝜆
; 2𝑦 + 2𝜆𝑦 − 4 = 0 ⇒ 𝑦 = 4
2+2𝜆
; 2𝑧 + 2𝜆𝑧 − 4 = 0 ⇒ 𝑧 = 4
2+2𝜆
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4 = 0 ⇒ � 62 + 2𝜆�2 + � 42 + 2𝜆�2 + � 42 + 2𝜆�2 = 4 ⇒ � 𝜆 = 1,062𝜆 = −3,062 
𝑥 = 1,455 𝑜𝑢 − 1,455 ∴ 𝑦 = 0,97 𝑜𝑢 − 0,97 ∴ 𝑧 = 0,97 𝑜𝑢 − 0,97 ⇒ 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2,50 𝑒 𝑑𝑚á𝑥 = 4,87 
2º) Se 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), então a derivada direcional no ponto (1,3,0) na direção do vetor 𝑣 = 𝑖 +2𝑗 − 𝑘 vale: 
a) 1,454 b) 0,462 c) 0,278 d) -1,225 e) NDR 
∇𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) = �d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dx , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dy , d𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)dz � = (𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), 𝑧𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧),𝑦𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)) 
𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 ⇒ 𝑢 = (0,408; 0,816; −0,408) 
𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇𝑓(1,3,0) ∙ 𝑢 = (0; 0; 3) ⋅ (0,408; 0,816; −0,408) = −1,225 
3º) Chama-se de diferencial total a soma das derivadas parciais de uma função, ou seja, 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑦. 
Desta forma, podemos dizer que a derivada total da função 𝑧 = 4𝑥𝑒𝑥𝑦 é: 
a) 𝑑𝑧 = (𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
b) 𝑑𝑧 = (𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
c) 𝑑𝑧 = (𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
d) 𝑑𝑧 = (𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑦𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
e) NDR 
4𝑥𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑒𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 ∴ 4𝑥𝑒𝑥𝑦
𝑑𝑦
= 4𝑥2𝑒𝑥𝑦 ⇒ 𝑑𝑧 = (4𝑒𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥2𝑒𝑥𝑦)𝑑𝑦 
4º) Uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) é dita harmônica se 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
+ 𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 0. Verifique as alternativas abaixo e marque a 
incorreta: 
a) a função 𝑓(𝑥,𝑦) = ln (�𝑥2 + 𝑦2) é harmônica 
b) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦 é harmônica 
c) a função 𝑓(𝑥,𝑦) = tan−1 𝑦
𝑥
 é harmônica 
d) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥 é harmônica 
e) Nenhumas funções das analisadas são harmônicas 
𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
+ 𝜕2ln (�𝑥2 + 𝑦2)
𝜕𝑥2
= 2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥2(𝑥2 + 𝑦2)2 − 2𝑦2(𝑥2 + 𝑦2)2 
𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh𝑦
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 cos 𝑥 sinh𝑦 + sin 𝑥 cosh 𝑦
𝜕𝑥2
= 0 
 
𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2 tan−1 𝑦𝑥
𝜕𝑥2
= 2𝑦
𝑥3 �
𝑦2
𝑥2 + 1� − 2𝑦
3
𝑥5 �
𝑦2
𝑥2 + 1�2 − 2𝑦𝑥3 �𝑦2𝑥2 + 1�2 
𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
+ 𝜕2e−x cos 𝑦 + 𝑒−𝑦 cos 𝑥
𝜕𝑥2
= 0 
 
 
1a 2d 3e 4ace