Aula3 PL modelagem

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Pesquisa Operacional 
Aula 3 – Modelagem em PL 
 
Prof. Marcelo Musci 
aula@musci.info 
www.musci.info 
 
 
Programação Linear 
Programação Linear: 
 Preocupação em encontrar a melhor solução para 
problemas associados com modelos lineares. 
 
Modelo de Programação Linear: 
Maximização (ou minimização) de uma função objetivo 
linear com relação as variáveis de decisão do modelo. 
Respeitando-se as limitações (restrições) do problema 
expressas por um sistema de equações e inequações 
associadas com as variáveis de decisão do modelo. 
 
Modelagem em PL 
 Razões para o uso da Programação Linear: 
 
1. Grande variedade de situações podem ser 
aproximadas por modelos lineares. 
 
2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a 
solução de modelos lineares. 
 
3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade 
nos dados do modelo. 
 
Modelagem em PL 
 Passos básicos na obtenção de modelos de PL: 
 
1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em 
simbologia algébrica. 
 
2. Identificar as restrições do problema, expressá-las 
como equações ou inequações lineares em termos das 
variáveis de decisão. 
 
3. Identificar o objetivo de interesse no problema, 
representá-lo como função linear em termos das 
variáveis de decisão, que deverá ser maximizada ou 
minimizada. 
 
Modelagem em PL 
 
Construção de modelos não é uma ciência, 
mas uma arte, podendo ser melhorada com a 
prática. 
 
 Exemplos a serem trabalhados: 
 
Determinação do mix de produção 
Problema do alfaiate 
Aluguel de caminhões 
Produção de empresa 
Alimentação diária 
Seleção de mídia para propaganda 
Modelagem em PL 
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Determinação do mix de produção 
 
Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de 
cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos – mão-de-
obra e material. A companhia está considerando a fabricação de 
três modelos e o seu departamento de engenharia forneceu os 
dados a seguir: 
Modelo 
A B C 
Mão-de-obra 
(horas por unidade) 
7 3 6 
Material 
(kg por unidade) 
4 4 5 
Lucro 
($ por unidade) 
4 2 3 
O suprimento de material é 
de 200 kg por dia. A 
disponibilidade diária de 
mão-de-obra é 150 horas. 
Formule um modelo de 
Programação Linear para 
determinar a produção 
diária de cada um dos 
modelos de modo a 
maximizar o lucro total da 
companhia. 
Modelagem em PL 
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Modelo 
Encontrar números XA, XB, XC tais que: 
 
Max L= 4XA + 2XB +3XC 
 
 
Sujeito as restrições: 7XA + 3XB +6XC  150 
 
 4XA + 4XB +5XC  200 
 XA  0, XB 0, XC  0 
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Problema do Alfaiate 
 Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 
metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de 
lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 
1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são 
necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 
metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um 
vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o 
alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? 
 
Modelagem em PL 
 Modelo 
 
 
Modelagem em PL 
Aluguel de caminhões 
 Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de 
dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço 
refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não 
refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados 
e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 
90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros 
cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões 
de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o 
custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o 
do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação 
linear. 
Modelagem em PL 
Modelo 
Uma fábrica precisou transportar 
90 metros cúbicos de produto 
refrigerado e 120 metros cúbicos 
de produto não refrigerado 
Modelagem em PL 
Produção de Empresa 
 
 Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de 
P1 é de 100 reais e o lucro unitário de P2 é de 150 reais. 
 A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 
3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal 
disponível para essas atividades é de 120 horas. 
 As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa 
a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem 
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. 
 Construa o modelo do sistema de produção mensal com objetivo de 
maximizar o lucro da empresa 
 
Modelagem em PL 
Modelo 
Identificação das variáveis de decisão: 
x1 = Quantidade do produto P1 produzido por mês. 
x2 = Quantidade do produto P2 produzido por mês. 
 
Restrições: 
2x1 + 3x2 ≤ 120 
x1 ≤ 40 
x2 ≤30 
x1; x2 ≥ 0 (não negatividade) 
 
Identificação do objetivo: maximização do lucro total 
 
Max L = 100x1 + 150x2 
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Alimentação Diária 
 
 Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de 
um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de 
carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, 
ela disponha dos produtos A e B. 
 Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades 
de carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 
unidades de proteínas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00. 
 Formule o modelo matemático das quantidade que deverão ser 
compradas de cada produto de modo que as exigências da 
alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo? 
 
Modelagem em PL 
Modelo 
Identificação das variáveis de decisão: 
 xa = Quantidade do produto A em kg. 
xb = Quantidade do produto B em kg. 
 
Restrições: 
 3xa + 6xb ≥ 15 
 10xa + 5xb ≥ 20 
 xa , xb ≥ 0 (não negatividade) 
 
Identificação do objetivo: minimização da quantidade 
 
Min Z = 2xa + 3xb 
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Seleção de mídia para propaganda 
 
 Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 
03 diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o 
maior número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou 
em: 
 
TV 
horário 
TV 
horário 
Rádio Revistas 
normal nobre 
Custo 40.000 75.000 30.000 15.000 
Clientes 
Atingidos 
400.000 900.000 500.000 200.000 
Mulheres 
Atingidas 
300.000 400.000 200.000 100.000 
0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda. 
Modelagem em PL 
A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente, 
deseja: 
(1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas; 
(2) Gastar no máximo $ 500.000 com TV; 
(3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV; 
(4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV; 
(5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, 
para cada meio de divulgação. 
 
 Formular um modelo de PL que trate este problema, 
determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada 
meio de comunicação, de modo a atingir o máximo possível de 
clientes. 
 
Modelagem em PL 
Variáveis de decisão: 
 
X1 = nº. de exposições em horário normal na tv. 
X2 = nº. de exposições em horário nobre na tv. 
X3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio 
X4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas. 
Função-objetivo: 
“Maximizar nº. de clientes atingidos” 
Max Z = 400.000X1 + 900.000X2 + 500.000X3 + 200.000X4 
Modelagem emPL 
Restrições: 
Orçamento: 
40.000X1 + 75.000X2 + 30.000X3 + 15.000X4  800.000 
Mulheres atingidas: 
300.000X1 + 400.000X2 + 200.000X3 + 100.000X4  2.000.000 
Gasto com TV 
40.000X1 + 75.000X2  500.000 
Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas 
X1  3, X2  2, 5  X3  10, 5  X4  10 
Não-negatividade 
X1, X2, X3, X4  0. 
Modelagem em PL 
 
 Resolva a lista de exercícios de Modelagem 
 
 Definição de Variáveis 
 Definição de Função objetivo 
 Definição de Restrições