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TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 1 Revisão Matemática para Topografia Relações Métricas no Triângulo Retângulo - Teorema de Pitágoras: “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. Exemplo: Essa relação nos mostra, por exemplo, que em um triângulo retângulo, cujos lados medem 5 unidades, 4 unidades e 3 unidades, a área do quadrado construído sobre o maior lado (hipotenusa) é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados (catetos). Essa relação é conhecida como Teorema de Pitágoras. Se construirmos quadrados sobre os lados desse triângulo e considerarmos cada “quadradinho” (menor) como 1 unidade de área, conforme figura abaixo: Assim, o quadrado da medida da hipotenusa (25) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (16) + (9), confirmando o Teorema de Pitágoras. Em outras palavras, a hipotenusa em forma de quadrado é igual à soma dos catetos também, em forma de quadrados. hipotenusa cateto cateto a2 = b2 + c2 TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 2 Outras Relações Métricas no Triângulo Retângulo: Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Exemplo: No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas a, b, c, e h indicadas. Onde: b, c: catetos; h: altura relativa à hipotenusa; a: hipotenusa; m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. b2 = a . n c2 = a . m b . c = a . h h2 = m . n b 2 = an b 2 = 5 . 3,2 b 2 = 16 b = 16 b = 4 cm a = 1,8 + 3,2 a = 5 cm c 2 = am c 2 = 5 . 1,8 c 2 = 9 c = 9 c = 3 cm h 2 = mn h 2 = 1,8 . 3,2 h 2 = 5,76 h = 76,5 h = 2,4 cm TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 3 Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo: Consideremos o triângulo retângulo ABC indicado, a seguir: Seno: É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: sen α = BC AB = hipotenusa da medida )( alfa a oposto cateto do medida α → sen α = a c sen β = BC AC = hipotenusa da medida )( beta a oposto cateto do medida β → sen β = a b Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa. Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: cos α = BC AC = hipotenusa da medida )( alfa a adjacente cateto do medida α → cos α = a b cos β = BC AB = hipotenusa da medida )( beta a adjacente cateto do medida β → cos β = a c Tangente: É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo. Considerando o triângulo retângulo representado acima, temos: tan α = AC AB = )( alfa a adjacente cateto do medida )( alfa a oposto cateto do medida α α → tan α = b c tan β = AB AC = )( beta a adjacente cateto do medida )( beta a oposto cateto do medida β β → tan β = c b Podemos ainda, dizer que: O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento. Ou seja, conforme visto acima, sen α = cos β e sen β = cos α. hipotenusa cateto cateto BC: hipotenusa; BC = a AC: cateto oposto a beta (β); cateto adjacente a alfa (α); AC = b AB: cateto oposto a alfa (α); cateto adjacente a beta (β); AB = c α + β = 90º A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre 180° TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 4 Exemplos: Em um triângulo retângulo um dos ângulos agudos mede 52º e sua hipotenusa mede 10cm. Determine as medidas dos dois catetos desse triângulo. Um avião levanta vôo em (B) e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por uma igreja (A) situada a 2km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26 e tan 15º = 0,27) Determinar a inclinação e o comprimento (L) de uma rampa para interligar dois pisos - subsolo (cota 100) e térreo (cota 105), conforme representado abaixo: A inclinação é igual a tangente e é dada em % Portanto: 0,083 . 100 = 8,3% de inclinação. 100 105 60 m L tan α = .. .. adjcat opocat tan α = 60 5 tan α = 0,083 tan -1 0,083 = 4,74° L 2 = 5 2 + 60 2 L 2 = 25 + 3600 L 2 = 3625 L = 3625 L = 60,21 m TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 5 Determinar a altura de um telhado com inclinação de 20% e seu comprimento (L): Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Como não pode efetuar diretamente essa medida, ele procede da seguinte maneira: 1º) do ponto (A), situado numa das margens, ele avista o topo (D), de um morro na margem oposta, sob um ângulo de 60º com a horizontal; 2º) afastando-se 12m, em linha reta, até o ponto (B), ele observa o topo do morro segundo um ângulo de 53º com a horizontal. Com estes dados, que medida, em metros, ele achou para a largura do rio? E qual a altura do morro? Uma pessoa observa que em um determinado horário um edifício projeta uma sombra no chão, cuja distância da base do edifício e o final da sombra são 88 m e o ângulo formado nesse ponto, entre o chão e o topo do edifício, 35°. Determine a altura do edifício: 20m L h inclinação = 20% = 100 20 = 0,20 inclinação = tangente = 0,20 tan α = .. .. adjcat opocat 0,20 = 10 h h = 0,20 . 10 h = 2 m L 2 = 2 2 + 10 2 ⇒ L2 = 4 + 100 ⇒ L = 104 L = 10,2 m A altura do morro é: y = 1,73 . x ⇒ y = 1,73 . 39,9 ⇒ y = 69,03m 35° 88 m h = ? tan α = .. .. adjcat opocat ⇒ tan 35° = 88 h ⇒ 0,700 = 88 h ⇒ h = 0,700 . 88 ⇒ h = 61,6 m TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULAPROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 6 Relações trigonométricas num triângulo qualquer: Lei dos senos: Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Exemplo: Um barco de pescadores (A) emite um sinal de socorro que é recebido por dois radioamadores, (B) e (C), distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos CBA ˆ e BCA ˆ medem, respectivamente, 64º e 50º, determine qual radioamador se encontra mais próximo do barco e a qual distância ele está do barco. Lei dos cossenos: Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 7 Exemplo: Calcule a distância dos pontos A e B, entre os quais há uma montanha, sabendo que suas distâncias a um ponto fixo M são de 300 m e 380 m, respectivamente. A medida do ângulo BMA ˆ é igual a 47°. Área de um triângulo qualquer: A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois de seus lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. Consideremos dois casos: 1. O triângulo ABC da figura ao lado é acutângulo. Sabemos que a área (A) é dada por: A = 2 h . a (I) Do triângulo retângulo AHC: sen γ = b h ⇒ h = b . sen γ (II) Substituindo (II) em (I), temos: A = 2 )sen . (b . a γ ⇒ A = 2 sen . b . a γ 2. O triângulo ABC da figura abaixo é obtusângulo. Sabemos que a área A é dada por: A = 2 h . a (I) Do triângulo retângulo AHC, vem: sen (180° - γ) = b h ⇒ h = b . sen γ (II) sen γ Substituindo (I) em (II), temos: A = 2 )sen . (b . a γ ⇒ A = 2 sen . b . a γ c 2 = a 2 + b 2 - 2 . a . b . cos α c 2 = 300 2 + 380 2 - 2 . 300 . 380 . cos 47° c 2 = 90000 + 144400 - 228000 . 0,68 c 2 = 234400 - 155040 c 2 = 79360 c = 79360 c = 281,71 m c = ? a = 300 m b = 380 m TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 8 Se fizéssemos os cálculos anteriores em função de sen α ou sen β, chegaríamos à mesma conclusão: A = 2 sen . c . b α e A = 2 sen . c . a β Exemplo: Num triângulo ABC, dois lados medem 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo de 60°. Calcule a área do triângulo ABC. Área das principais figuras planas: A = 2 sen . c . b α A = 2 60sen . 10 . 6 ° A = 25,98 cm 2 TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 9 EXERCÍCIOS: 1. Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triângulo retângulo de catetos 7,5m e 10m. (a=12,5m; h=6m; m=4,5m; n=8m) 2. No triângulo ABC, representado ao lado, sabendo-se que c = 7m e h = 5,6m, calcule a, b, m e n: (a≈11,67m; b=9,33m; m=4,20m; n≈7,47m) 3. Encontre a medida da altura de um trapézio retângulo sabendo que suas bases e o lado oblíquo medem, respectivamente, 10m, 15m e 13m. (h=12m) 4. Encontre os valores de x e y em cada caso: (x=5m; y=12m) (x=3m; y=5m) (x=17m; y=8m) 5. Durante um treinamento, dois maratonistas partem de uma mesma cidade em direção reta; um em sentido leste e outro em sentido norte. Determine a distância que os separa após 2h, sabendo que as velocidades dos atletas são de 20 km/h e 25 km/h, respectivamente. (d=64km) 6. Examine o triângulo retângulo da figura abaixo e calcule o valor destas razões: 7. Determine o valor de seno, cosseno e tangente de α e de β no triângulo PQR, representado ao lado. (senα=0,923; cosα=0,385; tanα=2,4; senβ=0,385; cosβ=0,923; tanβ=0,417) 8. No triangulo retângulo ABC abaixo, calcule os valores de a e c. (a=10cm; c=8,66cm) 9. Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 160m e vê o ponto de chegada a um ângulo de 60°, conforme figura ao lado. Calcule a componente horizontal (x) da distância aproximada em que ele está desse ponto de chegada. (x≈276,8m) a) sen α (0,60) b) cos α (0,80) c) tan α (0,75) d) sen β (0,80) e) cos β (0,60) f) tan β (1,33) TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 10 10. Num triângulo retângulo ABC, cos Bˆ = 13 5 . Determine o valor da tan Cˆ . (0,4167) 11. Calcule Bˆ e Cˆ no triângulo da figura ao lado. 12. Uma pessoa de 1,64m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo de 30° com a horizontal. Conhecendo a distância de 6m do observador até a árvore, calcule a altura da árvore. (5,10m) 13. Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo de 45m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60°. A que distância o barco está da plataforma? (≈25,97m) 14. Na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 36,4%. Sabendo-se que o plano inclinado do telhado tem 6m e que até a laje a casa tem 3m de altura, determine a que altura está o ponto mais alto do telhado. (≈5,05m) 15. Na figura ao lado, determine o valor de AB. (75) 16. Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano horizontal, onde apresenta 30m de comprimento e 4m de elevação. Determine a inclinação e o ângulo (α) dessa rampa. (i= 13,45%; α=7,66°) 17. De um ponto A, no solo, visam-se a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30° e 45°, respectivamente. Se o bastão mede 4m de comprimento, a altura da colina é igual à? (≈5,46m) 18. Um coqueiro tem 6m de altura e seu topo é visto dos pontos A e B, sob ângulos de 45° e 30°, como representa a figura ao lado. Se esses pontos estão alinhados com a base do coqueiro, quantos metros aproximadamente A dista de B? (≈16,4m) (B=30°; C=60°) 50 TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 11 19. Num levantamento topográfico, o topógrafo precisa determinar a altura de uma montanha. Instalado o aparelho (teodolito) num ponto situado em terreno plano, o topo da montanha é vista sob um ângulo de 44°. Afastando-se o aparelho mais 120m do ponto inicial, seu topo passa a ser visto sob um ângulo de 39°. Desprezando-se a altura do aparelho, qual a altura da montanha? (≈602m) 20. Para medir a altura de um poste, foi usada uma vassoura de 1,5m, verificando-seque, no momento em que ambos estavam em posição vertical em relação ao terreno, a vassoura projetava uma sombra de 2m e o poste, de 16m. Qual a altura do poste? (12m) 21. Um rio de largura igual a 60m, cuja velocidade da correnteza é Vx = 8,65m/s, é atravessado por um barco, de velocidade Vy = 5m/s, perpendicular às margens do rio, conforme a figura abaixo. Determine: a) a velocidade resultante Vr; (≈10m/s) b) ângulo α do movimento em relação à perpendicular da correnteza; (α=60°) c) a distância CB do ponto de chegada em relação ao ponto onde o barco chegaria caso não houvesse correnteza. (≈103,8m) 22. Para medir a largura AC de um rio, um homem usou o seguinte procedimento: marcou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de modo que o ângulo CBA ˆ fosse de 60°; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ângulo DBC ˆ fosse de 90°. Medindo AD = 40m, calculou a largura do rio. Determine essa largura. (≈120m) 23. De dois observatórios, localizados em dois pontos x e y da superfície da Terra, é possível enxergar um balão meteorológico (B), sob ângulos de 45° e 60°, conforme é mostrado na figura ao lado. Desprezando-se a curvatura da Terra e sabendo-se que 30km separam x e y, qual a altura do balão? (≈19m) 24. Para construir uma ponte sobre o rio, conforme figura ao lado, um engenheiro fez as seguintes medidas: segmento AB = 30m, ângulo CAB ˆ = 105° e ângulo ABC ˆ = 30°. Com base nas medidas levantadas, determine o comprimento AC da ponte. (≈21,2m) TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 12 25. Um observador está no ponto A e quer saber a distância entre A e P, que é o ponto onde se localiza uma árvore do outro lado de um rio, conforme figura ao lado. O observador se locomove de A para B, de onde pode ver também o ponto P. Qual a distância de A a P, sabendo-se que a distância de A a B é de 2km, a medida do ângulo PAB ˆ é igual a 120° e a medida do ângulo PBA ˆ é igual a 45°? (≈5,46 km) 26. Uma ponte deve ser construída sobre o rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura ao lado. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está e, medem-se os ângulos ABC ˆ = 57° e BCA ˆ = 59°. Sabendo-se que BC mede 30m, indique a distância AB. (≈28,6m) 27. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60°. Se a ideia é bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de tubulação serão necessários? (70m) 28. Os pontos A, B e C indicados na figura representam três cidades. Um ônibus percorre em linha reta 32km para ir de A até B, e 45km de B até C. Se o ônibus pudesse ir em linha reta de A até C, quantos kilômetros a menos ele percorreria nessa viagem? (4,5 km) 29. Considere que, na figura ao lado, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros. Qual a distância BD? (40cm) 30. Dois terrenos, T1 e T2, têm frentes para a rua R e fundos para a rua S, como mostra a figura abaixo. O lado BC do terreno mede 30m e é paralelo ao lado DE do terreno T2. A frente AC do terreno T1 mede 50 m e o fundo BD do terreno T2 mede 35m. Determine: a) as medidas do fundo AB do terreno T1; (70m) b) as medidas da frente CE do terreno T2; (25m) c) as medidas do lado DE do terreno T2. (45m) TOPOGRAFIA - NOTAS DE AULA PROF. LUCIANO ARQUITETURA E URBANISMO 13 31. O terreno ABCDE representado pela figura abaixo está a venda por R$1360,00 o metro quadrado. Qual o valor total do terreno? (R$ 2.200.724,80) 32. Calcule a medida do ângulo Cˆ no triângulo ABC, cuja área vale 159,54m2. (80°) 33. Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais de metragem a ladrilhar. Qual a metragem de ladrilhos que se deve comprar? (26,40 m2) 34. Um quarto possui 7m de comprimento, 3m de largura e 3m de altura, tendo uma porta de 1m por 2m e uma janela quadrada de 1 de lado. Deseja-se pintar as quatro paredes internas e o teto do quarto, excetuando-se a janela, a porta e o chão. a) qual a área a ser pintada? (104 m2) b) se um litro de tinta é suficiente para pintar 3m2, quantas latas serão gastas nessa pintura? (34,66 litros) 35. As bases de um trapézio medem 100m e 28m. Se a medida de cada um dos outros lados é 60m, qual a área desse trapézio? (3072 m2) Bibliografia: Santos, Luciano F. Notas de aula de Topografia. Curso Técnico em Construção Civil. Faculdades Oswaldo Cruz. São Paulo. 18 m 18 m 23,14 m C A B
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