Aula 6 FLAMBAGEM DE COLUNAS (Parte 1)

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Antonio Otto;
Eng. Mecânico
Esp. em Engenharia de Petróleo e Gás
antonio.neves@unis.edu.br
6. FLAMBAGEM DE COLUNAS
Matérias:
Carga crítica
Coluna ideal com apoios de pinos
Colunas com vários tipos de apoio
Projeto de colunas para cargas concêntricas
Projeto de colunas para cargas excêntricas
A flambagem é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças onde a área de
secção transversal é pequena em relação ao seu comprimento), ocorre quando a peça sofre
flexão transversalmente devido à compressão axial.
A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua
estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento.
Este colapso ocorrerá sempre em torno do eixo de menor momento de inércia de sua
seção transversal.
A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do
material, mas sim de seu módulo de Young.
Definição
Alguns elementos podem estar sujeitos a
cargas de compressão e, se forem comprimidos
provocar uma deflexão ou oscilação lateral.
Mais especificamente, elementos estruturais
comprimidos e esbeltos sujeitos a uma força de
compressão axial são denominados colunas, e a
deflexão lateral que ocorre é denominada
flambagem.
Carga crítica
Elevado de KOBE durante o terremoto 
de Kobe em 1995
Carga crítica
A carga axial máxima que uma
coluna pode suportar quando está na
iminência de sofrer flambagem é
denominada carga crítica, Pcr.
Qualquer carga adicional provocará
a flambagem na coluna e, portanto
deflexão lateral
Critérios de estabilidade
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�. �
4
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4
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�. �
4
Equilíbrio Instável
Equilíbrio Estável
Equilíbrio Neutro
A coluna ideal é uma coluna perfeitamente reta antes da carga aplicada, feito de material
homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide da seção transversal.
Considera-se ainda, que o material comportasse de modo linear elástico e a coluna sofre
flambagem ou flexão em um único plano.
Quando analisamos uma coluna não encontramos essa “perfeição”; porém pra cada caso
podemos caracterizar uma equação.
Para as colunas com apoios de pinos (como na imagem), que sejam esbeltas temos a
equação:
Coluna ideal com apoios de pinos
�	
 �
��. 
. �
��
Coluna ideal com apoios de pinos: Carga de Flambagem de Euler
Coluna ideal com apoios de pinos: Carga de Flambagem de Euler
Uma coluna só flambará em 
torno do eixo principal que 
tiver menor momento de 
inércia.
Equação da tensão
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 �
��. 
� ��
�
Onde:
r: menor raio de giração da coluna, determinada por:
� � � �⁄
I: menor momento inércia da área da seção transversal da coluna;
A: relação L/r é chamado de índice de esbeltez, que é uma medida da flexibilidade da
coluna.
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��. 
� ��
�
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 �
��. 200���	. 5,993�10� !
7200 �
� 228,2	$%
1 – Um tubo de aço A-36 (E = 200 GPa), deve ser usado como coluna
presa por pinos na extremidade. Determine a carga axial admissível
máxima que a coluna pode suportar sem sofrer flambagem.
Exercício
� � 5,993�10� !
�	
 �
��. 
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��
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 �
228200
� 75� & 70�
� 100,2	'��
()* � (+ 	 ∴ -	+./0çã3	4+	5/6+*	é	04+./040.
2 - Se a coluna fosse de seção quadrada 75 x 75mm, a carga crítica seria a mesma?
� � 2,637�10� !
�	
 �
��. 200���	. 2,637�10� !
7200 �
� 100,4	$%�	
 �
��. 
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��
Exercício
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 �
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�
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 �
100400
75�
� 17,85	'��
()* � (+ 	 ∴ 9:!-<*3=043.
3 – O elemento estrutural W200 x 46 de aço A-36 deve
ser usado como uma coluna acoplada por pinos.
Determine a maior carga axial que ele pode suportar
antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço
escoe. Adote L = 4 m.
Exercício
�	
 �
��. 200	���	. 15,3�10� !
4000 �
� 1887,6	$%
Da tabela, temos: A = 5890 mm²; Ix = 45,5x106 mm4; Iy = 15,3x106 mm4
�	
 �
��. 
. �
��
�	
 �
�	
�
�	
 �
1187600
5890�
� 320,5	'��
()* � (+ 	 ∴ >+<*3=043! �	?��@�	?�íBC?�	DE�á	G�G�	HI�:
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 �
�	
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250	'�� �
�	
5890�
→ �	
 � 1472,5	$%
Colunas com vários tipos de apoio: Comprimento efetivo
A fórmula de Euler foi desenvolvida para o caso de uma coluna com extremidade
presas por pinos ou livres para girar. Em outras palavras, L na equação representa a
distância sem apoios entre os pontos de momento nulo.
Se a coluna for apoiada de outros modos, então a fórmula de Euler poderá ser usada
para determinar a carga crítica, desde que ‘L’ represente a distância entre pontos de
momento nulo. Essa distância é denominada comprimento efetivo da coluna, Le.
Encontra-se Le via o uso do fator k (fator de comprimento efetivo) multiplicado pelo
comprimento real.
Colunas com vários tipos de apoio: fator k
Colunas com vários tipos de apoio: fator k
Com base na generalidade da equação de Euler, podemos processa-la para os demais
tipos de apoios como:
�	
 �
��. 
. �
�. � �
�	
 �
��. 
�. � ��
�
Colunas com vários tipos de apoio: Equações
A relação de K.L/r é denominada índice de esbeltez efetivo.
4 – A coluna de tubo de aço A-36 de 3,6 m tem diâmetro externo de 75 mm e espessura de 6
mm. Determine a carga critica, se considerarmos que suas extremidades estão:
a) Acopladas por pinos
b) Uma extremidade engastada e outra livre
c) Bi-engastada
d) Uma extremidade com pino e a outra engastada
Exercício
Como a inércia e a área são constantes em todos os casos, bem como a equação base, temos:
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��. 
. �
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�� ∗ 200	��� ∗ 248.244,75�	 !
$ ∗ 3600	 �
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4
�MNO
! & �PQO
! � 248.244,75�	 !
� � 414�	 �
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118,7831081
$�
�	
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414�
A) k = 1
�	
 �
118,7831081
1�
� 118,78	$%
�	
 �
118,78	$%	
414�
� 0,0913	��� � 91,3	'��
91,3	'�� � �M ∴ �	
 � 118,78	$%
B) k = 2
�	
 �
118,7831081
2�
� 29,696	$%
�	
 �
29,696	$%	
414�
� 0,0228	��� � 22,8	'��
22,8	'�� � �M ∴ �	
 � 29,696	$%
C) k = 0,5 �	
 �
118,7831081
0,5�
� 475,13	$%
�	
 �
475,13	$%	
414�
� 0,3653	��� � 365,3	'��
365,3	'�� � �M ∴ %ãI	H�DD�!
250	'�� �
�	
414�
→ �	
 � 325154,8396	% � 325,15	$%
D) k = 0,7 �	
 �
118,7831081
0,7�
� 242,415	$%
�	
 �
242,415	$%	
414�
� 0,1864	��� � 186,4	'��
186,4	'�� � �M ∴ �	
 � 242,415	$%
5 - Uma coluna de aço W150 x 24 tem 8,0 m de comprimento
e as extremidades engastadas como mostra a figura. Sua
capacidade de carga é aumentada pelas escoras de reforço em
torno do eixo y-y (fraco). Considerando que essas escoras
estão acopladas por pinos no ponto médio da altura da coluna.
Determine a carga que a coluna pode suportar sem flambagem
e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento.
Considere Eaço = 200 GPa e σe = 410 MPa.
Exercício
Devemos calcular por ambos os eixos, o que suportar menos carga, será o crítico.
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��. 
. �
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R �
��. 200	���. 	13,4�10�	 !
0,5	. 8000	 �
→ �	
R � 1.653,16	$%
�	
S �
��. 200	���. 	1,83�10�	 !
0,7	. 4000	 �
→ �	
S � 460,75	$%
Logo, y-y é o crítico, e como temos a área da seção (tabelada: 3.060,0 mm²); encontramos a
tensão critica:
�	
 �
460,75	$%
3060	 ²
� 0,15057��� ∴ 150,57	'��	
Como esta tensão é menor que a tensão de escoamento (σe = 410 MPa), a flambagem não
ocorrerá antes do escoamento do material, logo, temos que a carga (força) crítica neste
sistema é:
�	
 � 460,75	$% ≅ 460	$%
6 – Refazer o cálculo da tensão crítica, usando a equação:
�	
 �
��. 
�. � ��
�
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 �
��. 200000	'��
0,7.4000 
24,5 �
� � 151,1	'��	
Exercício
7 – Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 5 m e está engastadaem ambas as
extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a
carga crítica.
Exercício
�	
 �
�� ∗ 200���	 ∗ 861.666,667	 !
0,5 ∗ 5000	 �
� 272,2	$%�	
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��. 
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V. WX
12
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V. WX
12
PQO
→
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100 ∗ 50X
12
&
80 ∗ 30X
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→ �N � 861.666,667	 
!
�	
 �
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�
�	
 �
272,2
100 ∗ 50 & 80 ∗ 30
� 0,10469	��� � 104,69	'��
104,69	'�� � �MYZ[\ � 250	'��	 ∴ I$! �H�I]�GI; �	
 � 272,2	$%
�_ � 2.886.666,667	 
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8 – Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 4,5 m e está presa por
pinos em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as
dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica.
Exercício
�	
 �
�� ∗ 200���	 ∗ 13.345.833,33	 !
1 ∗ 4500	 �
� 1.300,919	$%�	
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��. 
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�. � �
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150 ∗ 10X
12
c 2 ∗
10 ∗ 200X
12
� 13.345.833,33	 !
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�
�	
 �
1.300,919
2 ∗ 10 ∗ 200 c 10 ∗ 150
� 0,2365	��� � 236,65	'��
236,65	'�� � �MYZ[\ � 250	'��	 ∴ I$! �H�I]�GI; �	
 � 1.300,919$%