Aula 3 e 4

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Conjuntos clássicos
Faculdade Estácio de Sá
Curso de Engenharia de Produção
Professor: Tarcisio Costa Brum
Conjuntos clássicos
• Terminologia de conjuntos clássicos (também denominados conjuntos 
Crisp):
• Z={...,-2,-1,0,1,2,...} Conjunto dos números inteiros
• N={1,2,3,...} Conjunto dos números naturais
• 𝑁0={0,1,2,...} Conjunto dos números não negativos inteiros
• R= {...,-2,-1/4,0,1,2/3,...} Conjunto dos números reais
• 𝑅+={0,1,2/3,2,...} Conjunto dos números reais não negativos
• [a , b]; (a , b]; [a , b); (a , b)
• X ϵ A (X pertence ao conjunto A) ou X A (X não pertence ao conjunto A)
• A={} (Conjunto vazio)
Intervalos Reais: Subconjuntos
• Um time de futebol é um conjunto; 
Teoria de conjuntos
Teoria de conjuntos
• Um time de futebol é um conjunto; cada 
jogador do time é um elemento desse 
conjunto.
Conjuntos clássicos
• Há três formas de definir um conjunto de elementos pertencentes a 
algum conjunto X:
• Pela nomeação de todos os seus elementos
• A = {𝑎1, 𝑎2,..., 𝑎𝑛}
• Por uma propriedade satisfeita pelos elementos (regra):
• A= {x|P(x)}
• Por um função, usualmente denominada função característica, que declara 
quais elementos de X membros do dado conjunto:
• 𝑋𝐴 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ 𝐴
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝐴
• A função característica mapeia os elementos de X para elementos do 
conjunto {0,1}, formalmente expresso por:
• 𝑋𝐴: X → {0,1}
(a)A = {x | x é país da 
Europa} 
o conjunto A é formado 
por todos os países da 
Europa
Teoria de conjuntos
Conjuntos clássicos
• Um conjunto de elementos os quais são conjuntos é denominado 
família de conjuntos, definido como:
• {𝐴𝑖|𝑖 ϵ 𝐼} e A = {𝐴1, 𝐴2,..., 𝐴𝑛}
• Se todo elemento de A for também elemento de B (se x ϵ A implica x 
ϵ B) então:
• A ≥ B
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, e todo conjunto é 
subconjunto de um conjunto universal.
• Se A ≥ B e B ≥ A então A=B e, caso contrário
• A ≠ B
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A:
com nenhum elemento: 
com um elemento: {1}, {2}
com dois elementos: {1,2}
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao 
conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. 
P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, 
{m, n, p}}
Conjuntos clássicos
• Se A ≥ B e A ≠ B então B contém pelo menos 1 elemento que não é 
elemento de A, denota-se por:
• A ᴄ B
• O complemento relativo de A ao conjunto B representa os elementos 
contidos em B e que não elementos em A
• B-A = {x| x ϵ B e x A}
• Se B for um conjunto universal, então o complemento de A é denotado por 𝐴
• Pergunta: Qual o complemento do conjunto universal?
• Conjunto vazio 𝑈 = ou 𝑈={ }
• Pergunta: Seja A ={a,r,t,e} e B = {r,e,t,a}, A=B, A ᴄ B?
• Sim, não importa a ordem dos elementos.
• Não, A ≥ B pois todos elementos de A estão em B (vice-versa). 
Não é Subconjunto
Para indicar que um conjunto A não é subconjunto 
de B, escreve-se:
A  B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B  A 
( lê-se “B não contém A”)
Exemplo:
(a) {a, b, c}  {a, b, d}
Subconjuntos
{2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5}  {9, 6}
{2, 8}  {2, 8}
Pertinência e Inclusão
1 – A relação de inclusão () é usada exclusivamente 
para relacionar um subconjunto B com um conjunto A 
que contém B: B  A.
2 – A relação de pertinência () é usada 
exclusivamente para relacionar um elemento x 
com um conjunto A que possui x como 
elemento: x  A.
(a) {3}{3,4} (l) 0N*
(b) 0{0,1,2} (n) 2/3R
(c){5,6}{0,1,2,5,6} (o) 4/5Z
(d) 0 (p) 
(e) {a} (q) 2{x/xé par}
(f) {1}{{1},} (r) 1,5R
(g){{2,3},{5,4}} (s) {x/xé impar}{3,5}
(h) 0 (t){}
(i){{1},{2}} (u) {}
(j){0,2} (v){0}
(k) N*N (x) 𝑋= (X universal)
Verdadeiro ou Falso?
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
Operações em conjuntos clássicos
• A união dos conjuntos 
A e B contém todos os 
elementos 
pertencentes a A e OU
B ou a ambos.
• A ꓴ B = {x| x ϵ A ou x ϵ
B}
• A interseção dos 
conjuntos A e B contém 
todos os elementos 
pertencentes a A E B.
• A ꓵ B ={x| x ϵ A e x ϵ B}
Comutatividade A ꓴ B =B ꓴ A 
Associatividade (A ꓴ B) ꓴ C= A ꓴ (B ꓴ C) 
Distributividade A ꓵ (B ꓴ C) = (A ꓵ B) U (A ꓵ C) 
Idempotência A U A = A
Absorção A U (A ꓵ B) = A
Identidade A U  = A / A ꓵ X = A
Lei de contradição A ꓵ 𝐴 = 
2. Diagramas de Venn
Teoria de conjuntos
Elementos de um conjunto são representados por 
pontos interiores a uma região plana, limitada por 
uma linha fechada simples.
A B
• 1
• 2
• 3
• 4
• a
• e
• i
• o
• u
• x
Produto cartesiano
• Se A e B são dois conjuntos, o 
produto cartesiano de A e B, 
representado por AxB, é o conjunto 
de todos os pares onde o primeiro 
elemento pertence a A e segundo 
pertence a B.
• A x B ={‹a,b›|a ϵ A e b ϵ B}
• Seja A = {1,2,3} e B = {3,4,5} então
• A x B = {(1,3); (1,4); (1,5); (2,3); (2,4); 
(2,5); (3,3); (3,4); (3,5)}
Produto cartesiano
• Um importante e frequentemente conjunto universal utilizado é o 
conjunto de todos os pontos no espaço vetorial Euclidiano de n 
dimensões, denotado por 𝑅𝑛.
• O espaço euclidiano n-dimensional (n ϵ N), é o produto cartesiano de n fatores 
iguais a R: 𝑅𝑛 = RxRxR...xR.
• Se n=1, R¹=R é a reta. Se n=2, R² é o plano. Se R³ o espaço euclidiano é 
tridimensional (Volume).
• Um vetor no espaço euclidiano é escrito na forma:
• X = (𝑥1, 𝑥2,..., 𝑥𝑛); Y = (𝑦1, 𝑦2,..., 𝑦𝑛)
• X+Y=(𝑥1+𝑦1, 𝑥2+𝑦2,..., 𝑥𝑛+𝑦𝑛)
Produto cartesiano
• Conjuntos definidos em termos de 𝑅𝑛, em muitos casos, necessitam 
possuir a propriedade de convexidade.
• Um conjunto A em 𝑅𝑛 é dito convexo se, e somente se, para todo par de 
pontos
• r=‹𝑟𝑖|i ϵ N› e s=‹𝑠𝑖|i ϵ N› 
• No conjunto A e para ꓯ α ϵ [0,1], o ponto
• t=‹ α 𝑟𝑖 + (1 − α) 𝑠𝑖| i ϵ N›, também pertence ao conjunto A.
• Em outras palavras, o par de pontos r,s que pertence ao conjunto A possui um 
segmento de reta também contido em A, ligando os dois pontos.
Conjuntos convexos e não convexos
Produto cartesiano
• Considere o conjunto A =[0,2] U [3,5]
• Seja r=1, s=4 e α=0.4. Temos que, t=α 𝑟𝑖 + (1 − α) 𝑠𝑖
• t=0.4*1+0.6*4=2.8
• Como t=2.8  A, o conjunto A é não convexo.