MA João 21 08 SEI uni IV (ph) (RF)BB

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Unidade IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
Prof. João Giardulli 
Matemática financeira 
Definição: estuda o comportamento do dinheiro ao longo 
do tempo. 
 
Matemática financeira 
Definição: estuda o comportamento do dinheiro ao longo 
do tempo. 
 Valor monetário no tempo (“Time Value Money”). 
 
 
Matemática financeira 
Definição: estuda o comportamento do dinheiro ao longo 
do tempo. 
 Valor monetário no tempo (“Time Value Money”). 
 Variáveis: taxa (i), capital (C) e tempo (n). 
Juros 
Definição: é o valor recebido pela utilização de dinheiro 
emprestado. 
 
Juros 
Definição: é o valor recebido pela utilização de dinheiro 
emprestado. 
Fatores que influenciam os juros: 
 inflação; 
 risco; 
 fatores próprios da natureza humana; 
 lei da oferta e procura; 
 
Juros 
Juros e as religiões 
 3.000 a.C. – Sumérios (grão e prata). 
 O Velho Testamento cristão condena os juros. 
 “Do estrangeiro poderás exigir juros; porém do teu irmão não 
os exigirás, para que o Senhor teu Deus te abençoe em tudo 
a que puseres a mão, na terra à qual vais para a possuíres.” 
 Deuteronômio 23;20 
 
 
 
 
Juros 
Juros e as religiões 
 O Islamismo condena a prática. 
 Na Idade Média, voltam a ser considerados crime. 
 
 
 
 
 
Juros 
Juros e as religiões 
 "Sobre os Juros e Outros Ganhos desonestos.” 
 “Vix pervenit” (“difícil de atingir”) 
(Bento XIV – 1745 DC) 
 
 
 
 
 
 
 
Juros 
Juros e as religiões 
 Tese de que a Reforma Protestante deu um impulso 
ao crescimento econômico. 
 Ideologia Protestante. 
(Lutero – 1517) 
 A Ética Protestante e o Espírito do Capitalismo. 
(Max Weber – 1905) 
 
 
 
 
 
 
Taxa de juros 
Definição: valor percentual a ser pago pelo uso do capital 
emprestado, durante um tempo pré-estipulado. 
 
 
 
 
 
 
Taxa de juros 
Definição: valor percentual a ser pago pelo uso do capital 
emprestado, durante um tempo pré-estipulado. 
 A taxa de juros é o valor produzido em uma unidade 
de tempo e se indica pela letra “i”. 
 
 
 
 
 
 
Taxa de juros 
Definição: valor percentual a ser pago pelo uso do capital 
emprestado, durante um tempo pré-estipulado. 
 A taxa de juros é o valor produzido em uma unidade 
de tempo e se indica pela letra “i”. 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de fluxo de caixa 
Definição: representação gráfica de um conjunto de entradas 
e saída monetárias, identificada temporalmente 
(em função do tempo). 
 
 
 
 
 
Diagrama de fluxo de caixa 
Definição: representação gráfica de um conjunto de entradas 
e saída monetárias, identificada temporalmente 
(em função do tempo). 
 
 
 
 
 
Diagrama de fluxo de caixa 
 A linha horizontal registra a escala de tempo. 
 O ponto zero indica o instante inicial. 
 Os demais pontos representam os demais períodos 
de tempo (datas). 
 dinheiro recebido ⇒ flecha para cima ⇒ valor positivo 
 dinheiro pago ⇒ flecha para baixo ⇒ valor negativo 
 
 
 
Diagrama de fluxo de caixa 
 O prazo da capitalização e a taxa de juros devem ser 
expressos na mesma unidade de tempo. 
 
 
Interatividade 
No fluxo de caixa abaixo, o investimento inicial e o pagamento 
no 3o período são respectivamente de: 
a) 1.000 e 800. 
b) 200 e 800. 
c) 800 e 1.000. 
d) 800 e 200. 
e) 500 e 700. 
 
 
Regime de capitalização simples 
 Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros 
incide somente sobre o capital inicial. Não incide sobre 
os juros acumulados. 
 
Regime de capitalização simples 
 Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros 
incide somente sobre o capital inicial. Não incide sobre 
os juros acumulados. 
 
Juros simples 
J = C . i . N 
Em que: 
 J é o juros; 
 C é o capital (principal); 
 i é a taxa de juros; 
 N é o número de períodos. 
 
Juros simples 
M = C + J 
Em que: 
 M é o montante; 
 C é o capital (principal); 
 J é o juros. 
 
Juros simples 
M = C . (1 + i . n) 
 
Em que: 
 M é o montante; 
 C é o capital (principal); 
 i é a taxa de juros; 
 n é o número de períodos. 
Aplicações 
 Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês 
durante um trimestre. Pede-se para determinar o valor dos 
juros acumulados nesse período. 
 
Aplicações 
Solução 
C = R$ 80.000,00 
i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. 
n = 3 meses 
J = ? 
J = C i n 
J = 80.000,00. 0,025. 3 
J = R$ 6.000,00 
Aplicações 
 Um negociante tomou um empréstimo, pagando uma taxa 
de juros simples de 18% ao trimestre durante nove meses. 
Ao final desse período, calculou em R$ 270.000,00 o total 
dos juros incorridos na operação. Determinar o valor 
do empréstimo. 
Aplicações 
Solução 
i = 18% a.t. ou 
i = 18% a.t. ÷ 3 = 6% a.m. = 0,06 a.m. 
n = 9 meses 
J = R$ 270.000,00 
C = ? 
J = C i n 
270.000,00 = C 0,06 . 9 
270.000,00 = C 0,54 
C = 500.000,00 
Interatividade 
Uma pessoa fez aplicação de R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao 
mês durante oito meses. Determinar o valor acumulado ao 
final do período. 
a) R$ 20.160,00. 
b) R$ 20.180,00. 
c) R$ 20.200,00. 
d) R$ 20.220,00. 
e) R$ 20.240,00. 
Regime de capitalização composta 
 É aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal 
acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse 
regime de capitalização, a taxa varia exponencialmente em 
função do tempo. 
Regime de capitalização composta 
 É aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal 
acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse 
regime de capitalização, a taxa varia exponencialmente em 
função do tempo. 
Juros simples x juros compostos 
Regime de capitalização composta 
M = C (1 + i)n 
 
J = M – C 
Em que: 
 M é o montante; 
 C é o capital (principal); 
 i é a taxa de juros; 
 n é o número de períodos. 
 
Aplicações 
 Calcule o montante acumulado pela aplicação de um capital 
de R$ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa 
de 3,5% ao mês. 
Aplicações 
Solução 
C = R$ 6.000,00 
n = 1 ano = 12 meses 
i = 3,5 % a.m. = 0,035 a.m. 
M = ? 
Como M = C (1 + i)n, temos: 
M = 6.000 (1 + 0,035)12 
M = 6.000 (1,035)12 
M = 6.000.1,5111 = 9.066,41 
Portanto, o montante é R$ 9.066,41. 
 
Aplicações 
 Determinar o valor atual de um contrato de R$ 30.000,00 com 
vencimento para quatro meses e por meio de uma taxa de 
juros de 3% ao mês, capitalizados mensalmente. 
 
Aplicações 
Solução 
M = R$ 30.000,00 
t = 4 meses 
i = 3 % a.m. = 0,03 
C = ? 
Como M = C (1 + i)n, temos: 
30.000 = C (1 + 0,03)4 
C = 30.000 ÷ 1,034 
C = 26.654,82 
Logo, o valor atual do contrato é: R$ 26.654,82. 
Valor presente e valor futuro 
Fonte: Livro-texto. 
Valor presente e valor futuro 
Fonte: Livro-texto. 
Interatividade 
Uma loja financia um bem, no valor de R$ 4.200,00, sem entrada, 
para pagamento em uma única prestação de R$ 4.866,61 no final 
de cinco meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 
a) 2,99 % a.m. 
b) 3,01 % a.m. 
c) 3,99 % a.m. 
d) 4,01 % a.m. 
e) 4,99 % a.m. 
 
Juro exato e juro comercial 
 Pelo tempo exato: utilizando-se efetivamente do calendário do 
ano civil (365 dias). O juro apurado dessa maneira denomina-
se juro exato. 
 Pelo ano comercial: o qual admite o mês com trinta dias e o 
ano com 360 dias. Tem-se, por esse critério, a apuração do 
denominado juro comercial ou ordinário. 
Juro exato e juro comercial 
Exemplo: 
12% a.a. equivale,pelos critérios enunciados, à taxa diária de: 
 juro exato: 12/365 = 0,032877% ao dia; 
 juro comercial: 12/360 = 0,033333% ao dia. 
Taxa equivalente 
Definição: é aquela que produz o mesmo montante que outra 
operação, com períodos de capitalização diferentes da taxa original. 
 
Ou 
 
Definição: duas taxas i1 e i2 são equivalentes se aplicadas ao 
mesmo capital C durante o mesmo período de tempo, por meio 
de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo 
montante final. 
 
Taxa equivalente 
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. 
O montante M ao final do período de um ano será igual a: 
M = C(1 + i a)
1. 
 
Taxa equivalente 
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. 
O montante M ao final do período de um ano será igual a: 
M = C(1 + i a)
1. 
 
Considere agora, o mesmo capital C aplicado por doze meses 
a uma taxa mensal im. 
O montante M’ ao final do período de doze meses será igual a 
M’ = C(1 + im)12. 
Taxa equivalente 
 
 
 
 
 
M = M’ 
Taxa equivalente 
 
C(1 + ia)
1 = C(1 + im)
12 
 
Então, 
 
1 + ia = (1 + im)
12 
 
Aplicações 
Qual é a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 
 
Solução 
Em um ano, temos doze meses, então: 
1 + ia =(1 + im)
12 
1 + ia = (1,005)12 
ia = 0,0617 = 6,17% a.a. 
Logo, 0,5% ao mês equivale a 6,17% ao ano. 
 
Aplicações 
Qual é a taxa mensal equivalente a 6% ao trimestre? 
 
Solução 
Em um trimestre, temos três meses, então: 
1 + iT = (1 + iM)
3 
1 + 0, 06 = (1 + iM)
3 
1, 06 = (1 + iM)
3 
(1,06 )(1/3) = 1+iM 
1, 0196 = 1 + iM 
i = 0,0196 = 1,96% ao mês 
Logo, 6% a.t. equivalem a 1,96% a.m. 
 
Observações 
Nomenclatura na HP-12C 
 Montante – Valor Futuro ou FV 
 Capital – Valor Presente ou PV 
 Parcela – Pagamento ou PMT 
 Juro – j (não muda) 
 Tempo – n (não muda) 
Interatividade 
Qual é a taxa mensal equivalente aos 12,5% ao ano determinada 
pelo COPOM para a taxa SELIC? 
a) 0,95 % a.m. 
b) 0,96 % a.m. 
c) 0,97 % a.m. 
d) 0,98 % a.m. 
e) 0,99 % a.m. 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Matemática financeira
	Matemática financeira
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	Juros
	Juros
	Juros
	Juros
	Juros
	Juros
	Taxa de juros
	Taxa de juros
	Taxa de juros
	Diagrama de fluxo de caixa
	Diagrama de fluxo de caixa
	Diagrama de fluxo de caixa
	Diagrama de fluxo de caixa
	Interatividade 
	Resposta
	Regime de capitalização simples
	Regime de capitalização simples
	Juros simples
	Juros simples
	Juros simples
	Aplicações
	Aplicações
	Aplicações
	Aplicações
	Interatividade
	Resposta
	Regime de capitalização composta
	Regime de capitalização composta
	Juros simples x juros compostos
	Regime de capitalização composta
	Aplicações
	Aplicações
	Aplicações
	Aplicações
	Valor presente e valor futuro
	Valor presente e valor futuro
	Interatividade
	Resposta
	Resposta
	Juro exato e juro comercial
	Juro exato e juro comercial
	Taxa equivalente
	Taxa equivalente
	Taxa equivalente
	Taxa equivalente
	Taxa equivalente
	Aplicações
	Aplicações
	Observações
	Interatividade
	Resposta
	Resposta
	Slide Number 57