Conjuntos Fuzzy e Funções de Pertinência

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Funções de pertinência e 
exercícios de fixação
Faculdade Estácio de Sá
Curso de Engenharia de Produção
Professor: Tarcisio Costa Brum
Conjuntos difusos
• Considere o conjunto dos números próximos de 1
• P={...(-2,0),(-1,1/3),(0,2/3),(1,1),(2,2/3),(3,1/3),(4,0)...}
𝑢(𝑥)𝑃 =
0 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4
𝑥 + 2
3
𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ 1
|4 − 𝑥|
3
𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 4
Conjuntos difusos
Conceitos de números fuzzy
• Quando um intervalo é definido a partir de um número R, este 
intervalo é chamado de subconjunto de R.
• Por exemplo, se um intervalo A = [𝑎1, 𝑎3], onde 𝑎1, 𝑎3 ϵ R e 𝑎1 < 𝑎3
• Pode ser interpretado como um tipo de conjunto, que por sua vez 
pode ser expresso por uma função de pertinência. 
Conceitos de números fuzzy
Conceitos de números fuzzy
• O número fuzzy é um caso especial de conjunto fuzzy que define um 
intervalo fuzzy nos números reais.
• Para um número real cujo valor preciso não é conhecido com 
exatidão, este número é definido através de um intervalo fuzzy.
• Um intervalo fuzzy geralmente é expresso por dois pontos extremos 
(valor mínimo e máximo) e um ponto médio (valor mais possível).
Conceitos de números fuzzy
Número fuzzy triangular
• O número fuzzy triangular é o 
mais utilizado
• É representado por três pontos 
A = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) ,sendo esta 
representação interpretada 
como um função de pertinência
• É utilizado quando o parâmetro 
em análise possui uma faixa de 
variação e um único ponto de 
possibilidade de ocorrência.
Número fuzzy triangular
• Exemplo: Seja o número fuzzy triangular A = (-5,-1,1)
Exercício1
Dado os conjuntos A=[-2,8], B=[1,7[ e C=]2,12[ . Determine o conjunto 
formado com a condição dada (AUB)∩C.
a)[2,7]
b)[1,7]
c)[-2,8]
d)]2,8]
e)[1,12]
Exercício2
Se os conjuntos pertencentes aos números dos reais A = { -2< x < 5} e B 
= {x < 2}, determine o intervalo que representa a interseção entre os 
conjuntos A e B.
a){x>5}
b){x<2}
c){2>x<5}
d){-2<x<2}
e){x<2}
Exercício3
Seja dado os conjuntos A=[-3,1[ , B=[1,3] e C=]0,3]. Determine o 
conjunto complementar de C em relação a AUB.
a)[-3,3]
b)[-3,0[
c)[0,3]
d)]0,3]
e)[-3,0]
Exercício4
• Se A ⊂ B e B = {11, 33, 15, {10,2}}, então A∪B é
a){11,33,15}
b) Conjunto vazio
c){11,33,15,{10,2}}
d){10,2}
e){10}
Conjunto diferença
• A subtração ou diferença entre dois conjuntos é mais uma operação 
entre conjuntos onde podemos definir A – B (A menos B), 
corresponde ao conjunto dos elementos de A que não são elementos 
de B.
• A – B = {x|x ϵ A e x  B}
Exercício5
Sejam os conjuntos numéricos A = {7, 24, 8,12,14}; B = {5,10,15, 20, 25} 
e C = {1, 7, 13,19, 20} e ∅ o conjunto vazio. O correto é:
a) B∩C = Conjunto Vazio
b) A - C = {7}
c) (A - C) ∩ (B - C) = Conjunto Vazio
d) A∪C = {5, 10,15, 20 }
e) A - B = Conjunto Vazio
Exercício6
Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, qual 
o conjunto resultante S = (A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C) ?:
a) {a,b,c,e}
b) {a,c,e}
c) A
d) {b,c,d,e}
e) {b,d,e}
Exercício7
Dados os conjuntos A = {solda, rebite, prego, parafuso, martelo}, B = 
{solda, prego, martelo, alicate}. O resultado de A - B e B - A é, 
respectivamente
a) Rebite,parafuso e alicate
b) Alicate e alicate
c) Solda,Prego,Martelo e rebite,parafuso
d) Vazio e martelo,solda
e) Martelo,prego e solda
Exercício8
Dados os conjuntos A = {1,4,5,7,9,10}, B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Os 
elementos que compõe a área destacada em azul na figura são:
a) A U B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
b) A ∩ B ={4,5,7,9,10}
c) A + B ={1,2,3,4,5,6,8}
d) (A ∩ B)’ ={1,2,3,6,8}
e) (A U B) – (A ∩ B) = {1,2,3,5,6,8}
BA
Exercício9
Dado os números fuzzy triangulares A(-3,1,2) e B(-1,1,4). Qual o 
intervalo que representa o suporte da união de A e B.
a) [-1,2]
b) [-3,2]
c) ]-1,4]
d) [-3,4]
e) [2,4[
Exercício10
Dado o número fuzzy triangular A(-3,1,2), determine sua função de 
pertinência, dado que a pertinência é máxima no ponto 𝑎2 = 1
𝜇(𝑥)𝐴 =
0 𝑠𝑒 𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 2
𝑥 + 3
4
𝑠𝑒 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1
2 − 𝑥 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
Exercício11
Calcule 𝑢𝑐´(𝑥)𝜇𝑐 𝑥 =
1
1 + 5 𝑥 − 2 ²
Exercício12
a) núcleo - largura - suporte – altura
b) altura - núcleo - largura – suporte
c) altura - largura - suporte – núcleo
d) suporte - núcleo - largura – altura
e) núcleo - largura - altura – suporte
a b c d
Exercício13
Considerar o conjunto universo X = {a, b, c, d, e} e os conjuntos Fuzzy A
= {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} e B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}.
Determine o conjunto Fuzzy C considerando que C = A ∩ B:
a) C = {0.3/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
b) C = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0.1/d, 0.4/e}
c) C = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.5/e}
d) C = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
e) C = {0.2/a, 0.9/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
Exercício14
Dado o número fuzzy triangular A(a1,a2,a3), mostre que a
representação triangular é da forma:
Solução: Utilize equações da reta e semelhança de
triângulos e mostre que cada intervalo da função de
pertinência é uma reta.