AP2 CL1 2016.1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP2 – CA´LCULO 1 – 29/05/2016
Questa˜o 1 [1 ponto]
Se f(x) = arccotg
( x+ 1
x4 + 1
)
, calcule f ′(x).
Soluc¸a˜o:
f ′(x) =
−1
1 +
( x+ 1
x4 + 1
)2 · ( x+ 1x4 + 1)′ =
[ −(x4 + 1)2
(x4 + 1)2 + (x+ 1)2
]
·
[
(x4 + 1)− (x+ 1)(4x3)
(x4 + 1)2
]
=
=
[ −(x4 + 1)2
(x4 + 1)2 + (x+ 1)2
]
·
[−3x4 − 4x3 + 1
(x4 + 1)2
]
=
3x4 + 4x3 − 1
(x4 + 1)2 + (x+ 1)2
.
Questa˜o 2 [1 ponto]
Se g(x) = x2 arcsen(x5 − x) , calcule g′(x).
Soluc¸a˜o:
g′(x) = 2x ·arcsen(x5−x)+x2 · 1√
1− (x5 − x)2 · (5x
4−1) = 2x arcsen(x5−x)+ 5x
6 − x2√
1− (x5 − x)2 .
Questa˜o 3 [2 pontos]
Seja f(x) =
cos(x)− 1
x2 cos(x)
. Utilize a Regra de L’Hoˆpital para calcular lim
x→0
f(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que lim
x→0
cos(x)− 1 = lim
x→0
x2 cos(x) = 0. Logo, podemos aplicar a Regra de L’Hoˆpital :
lim
x→0
cos(x)− 1
x2 cos(x)
= lim
x→0
−sen(x)
2x cos(x)− x2 sen(x) .
Como lim
x→0
−sen(x) = lim
x→0
2x cos(x) − x2 sen(x) = 0, temos que aplicar a Regra de L’Hoˆpital
novamente. Da´ı, obtemos:
lim
x→0
−sen(x)
2x cos(x)− x2 sen(x) = limx→0
−cos(x)
2 cos(x)− 2x sen(x)− 2x sen(x)− x2 cos(x) = −
1
2
.
Questa˜o 4 [1 ponto]
Suponha que as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa sa˜o satisfeitas pela func¸a˜o f . Se f(−1) = 4
e f ′(−1) = 3
5
, determine (f−1)′(4).
Soluc¸a˜o:
Pelo Teorema da Func¸a˜o Inversa, temos que:
CA´LCULO 1 AP1 2
(f−1)′(4) = (f−1)′(f(−1)) = 1
f ′(−1) =
5
3
.
Questa˜o 5 [1 ponto]
Considere a func¸a˜o f(x) = x3 + 6x2 − 1. Determine, se existirem, os intervalos onde f e´ crescente
e onde f e´ decrescente.
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′(x) = 3x2 + 12x, para todo x ∈ R. Logo,
• f ′(x) > 0 ⇔ 3x2 + 12x > 0 ⇔ x < −4 ou x > 0;
• f ′(x) < 0 ⇔ 3x2 + 12x < 0 ⇔ −4 < x < 0.
Assim, f e´ crescente nos intervalos (−∞,−4) e (0,+∞) e e´ decrescente no intervalo (−4, 0).
Questa˜o 6 [1 ponto]
Considere a func¸a˜o f(x) = x3 + 6x2 − 1. Determine, se existirem, os intervalos onde o gra´fico de f
tem concavidade voltada para cima e onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para baixo.
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′′(x) = 6x+ 12, para todo x ∈ R. Da´ı,
• f ′′(x) > 0 ⇔ 6x+ 12 > 0 ⇔ x > −2;
• f ′′(x) < 0 ⇔ 6x+ 12 < 0 ⇔ x < −2.
Portanto, o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo (−2,+∞) e tem concavidade
voltada para baixo no intervalo (−∞,−2).
Questa˜o 7 [1 ponto]
Considere a func¸a˜o f(x) = x3 + 6x2 − 1. Determine, se existirem, os pontos de inflexa˜o do gra´fico
de f .
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′(−2) = −12 e, da´ı, o gra´fico de f possui reta tangente em (−2, f(−2)). Por outro
lado, temos que f ′′(x) < 0 se x ∈ (−∞,−2) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (−2,+∞). Portanto, o ponto
(−2, f(−2)) = (−2, 15) e´ o u´nico ponto de inflexa˜o do gra´fico de f .
Questa˜o 8 [2,0 pontos]
Para produzir semanalmente x unidades de uma determinada pec¸a do sistema de freios de um
automo´vel, uma fa´brica de autopec¸as tem C(x) = 50x + 300 reais de custo. Se a demanda por x
unidades semanais e´ de x+15P = 950, onde P reais e´ o prec¸o por unidade, determine o nu´mero de
pec¸as que devem ser produzidas semanalmente para se obter o lucro ma´ximo. Lembre-se: o lucro L
e´ igual a receita R(=unidade x prec¸o) menos o custo C, isto e´, L(x) = R(x)− C(x).
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
A func¸a˜o prec¸o por unidade ao se demandar x unidades por semana e´ P (x) =
950− x
15
, com
x ∈ [0, 950], pois x e P (x) na˜o podem ser negativos. Assim, a receita ao se vender x unidades por
semana e´
R(x) = xP (x) = x
(950− x
15
)
=
950x− x2
15
.
Sendo o lucro igual a receita menos o custo, segue que o lucro e´ dado pela func¸a˜o
L(x) = R(x)− C(x) = 950x− x
2
15
− (50x+ 300) = 950x− x
2
15
− 50x− 300.
Como o lucro ma´ximo em (0, 950) ocorre em x tal que L′(x) = 0 e L′′(x) < 0, calculamos:
L′(x) =
200− 2x
15
e L′′(x) = − 2
15
.
Da´ı, L′(x) = 0 se x = 100 e L′′(100) = − 2
15
. Logo, para obter lucro ma´ximo, a fa´brica de autopec¸as
devera´ produzir 100 pec¸as por semana.
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