AP2 CL1 2016.2 Gabarito (1)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP2 – CA´LCULO 1 – 19/11/2016
Questa˜o 1 [1 ponto]
Se f(x) = (x2 − 1)arccos(2x− 1), calcule f ′(x).
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = (x2 − 1)′arccos(2x− 1) + (x2 − 1) (arccos(2x− 1))′ =
= 2x arccos(2x− 1)− 2(x
2 − 1)√
1− (2x− 1)2 =
= 2x arccos(2x− 1)− 2(x
2 − 1)√
1− (4x2 − 4x+ 1) =
= 2x arccos(2x− 1)− 2(x
2 − 1)√
4x− 4x2 =
= 2x arccos(2x− 1) + 1− x
2
√
x− x2
Questa˜o 2 [1 ponto]
Se f(x) = (x+ 1)arctg(x), determine a derivada de f no ponto de abscissa x = 1.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = (x+ 1)′ arctg(x) + (x+ 1) (arctg(x))′ =
= arctg(x) +
x+ 1
1 + x2
f ′(1) = arctg(1) +
2
1 + 1
=
pi
4
+ 1.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Se f(x) =
4− 4cos(x2)
x2 cos(x+ pi)
, utilize a Regra de L’Hoˆpital para calcular lim
x→0
f(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que lim
x→0
4−4cos(x2) = lim
x→0
x2 cos(x+pi) = 0. Logo, podemos aplicar a Regra de L’Hoˆpital :
lim
x→0
4− 4cos(x2)
x2 cos(x+ pi)
= lim
x→0
8x sen(x2)
2x cos(x+ pi)− x2 sen(x+ pi) .
Como lim
x→0
8x sen(x2) = lim
x→0
2x cos(x + pi) − x2 sen(x + pi) = 0, temos que aplicar a Regra de
L’Hoˆpital novamente. Da´ı, obtemos:
limx→0
8x sen(x2)
2x cos(x+ pi)− x2 sen(x+ pi) = limx→0
8 sen(x2) + 16x2 cos(x2)
2cos(x+ pi)− 4x sen(x+ pi)− x2 cos(x+ pi) .
Logo,
lim
x→0
4− 4cos(x2)
x2 cos(x+ pi)
= lim
x→0
8x sen(x2)
2x cos(x+ pi)− x2 sen(x+ pi) =
0
−2 = 0.
CA´LCULO 1 AP2 2
Questa˜o 4 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
x4
4
+
x3
3
− 3x
2
2
. Determine os intervalos onde o gra´fico de f tem
concavidade voltada para cima, onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para baixo e, se
existirem, os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′(x) = x3 + x2 − 3x e f ′′(x) = 3x2 + 2x − 3 =, para todo x ∈ R. Da´ı, escrevendo
x1 =
−1−√10
3
e x2 =
−1 +√10
3
, temos que
• f ′′(x) > 0 ⇔ 3x2 + 2x− 3 > 0 ⇔ x < x1 ou x > x2;
• f ′′(x) < 0 ⇔ 3x2 + 2x− 3 < 0 ⇔ x1 < x < x2.
Portanto, o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo (−∞, x1) ∪ (x2,+∞) e
tem concavidade voltada para baixo no intervalo (x1, x2).
Como existem f ′(x1) e f ′(x2), o gra´fico de f possui reta tangente em (x1, f(x1)) e em (x2, f(x2)) e
muda de concavidade em x1 e x2, conclu´ımos que os pontos (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) sa˜o os pontos
de inflexa˜o do gra´fico de f .
Questa˜o 5 [2 pontos]
Um retaˆngulo esta´ sendo expandido de tal forma que seu comprimento e´ sempre o dobro de sua
altura. Sabendo que a taxa de expansa˜o do per´ımetro do retaˆngulo e´ 3 cm/min, determine a taxa
de variac¸a˜o de sua a´rea quando esta e´ de 24 cm2.
Soluc¸a˜o: Sejam x a largura e y a altura do retaˆngulo, de acordo com a figura abaixo:
Sabemos que x = 2y. Se denotarmos seu per´ımetro por P , temos:
P = 2x+ 2y.
Assim, obtemos uma relac¸a˜o do per´ımetro em func¸a˜o da altura:
P = 4y + 2y = 6y.
Portanto, a equac¸a˜o que relaciona as taxas de crescimento e´
dP
dt
= 6
dy
dt
.
Como
dP
dt
= 3, temos que
dy
dt
=
3
6
=
1
2
.
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CA´LCULO 1 AP2 3
Agora, a a´rea:
A = xy = 2y2.
Derivando esta equac¸a˜o em relac¸a˜o a t, obtemos:
dA
dt
= 4y
dy
dt
.
Precisamos descobrir a altura y no instante em que a a´rea e´ 24 cm2. Para isso, devemos resolver
a equac¸a˜o 2y2 = 24. Da´ı, y = 2
√
3.(Devido ao contexto do problema, descartamos a soluc¸a˜o
negativa, uma vez que estamos interpretando y como um comprimento.) Agora, para descobrir a
taxa de variac¸a˜o da a´rea nesse momento, usamos a equac¸a˜o acima:
dA
dt
∣∣∣
y=2
√
3
= 4 (2
√
3)
1
2
= 4
√
3.
Questa˜o 6 [2 pontos]
Uma indu´stria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a a´rea
total da superf´ıcie do tambor e´ fixada em 36pi dm2, determine o volume ma´ximo que esse tambor
pode ter.
Soluc¸a˜o:
Sejam h a altura do tambor e r o raio de sua base, conforme a figura abaixo:
Se A denota a a´rea total da superf´ıcie do tambor, enta˜o A = 36pi = 2pir2+2pirh. Da´ı, h =
18− r2
r
.
Por outro lado, se V = V (r) denota o volume do tambor, enta˜o
V = V (r) = pir2h = pir2
(18− r2
r
)
= (18r − r3)pi.
Da´ı,
V ′(r) = (18− 3r2)pi = 0 ⇒ r =
√
6.
Ainda,
V ′′(r) = −6pir ⇒ V ′′(
√
6) = −6
√
6pi < 0.
Logo, o volume ma´ximo que esse tambor pode ter e´ quando r =
√
6. Neste caso, h =
12√
6
e,
portanto,
V = V (
√
6) = pi(
√
6)2
12√
6
=
72pi√
6
= 12pi
√
6.
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