Alguns Resultados sobre Números Perfeitos e suas Conjecturas (Teoria Elementar dos Números)

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XX Semana de Iniciac¸a˜o Cient´ıfica
III Encontro de Po´s-Graduac¸a˜o da Urca
Universidade Regional do Cariri
23 a 27 de outubro de 2017
NU´MEROS PERFEITOS
Paulo Vicente Correia de Moura1, Paulo Ce´sar Cavalcante de Oliveira2
Resumo
Diz-se que n e´ um nu´mero perfeito se a soma dos divisores de n exeto o mesmo, e´ igual a n onde sera´
denotado no seguinte trabalho a func¸a˜o σ(n) que representara´ a soma dos divisores de n, ou seja n pode
ser expresso por σ(n)−n = n⇒ σ(n) = 2n . Existem resultados que nos auxiliam no estudo desse assunto
voltado para area de teoria dos nu´meros,como um grande problema a se resolver e´ a forma geral para os
nu´meros perfeitos. Ha´ registros no livro IX Elementos de Euclides uma resoluc¸a˜o parcial. Ele mostrou
que se 1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2k−1 = p onde p e´ um nu´mero primo, enta˜o 2k−1 · p e´ um nu´mero perfeito
(necessariamente par). Esse e´ um dos resultados mais importantes para diversas proposic¸oes e lemas que
temos nos dias de hoje, a partir deste resultado pode-se verificar que todo nu´mero perfeito e´ da forma
2k−1 · p onde p e´ primo da forma ak− 1, e aprofundando ainda mais podemos mostrar que ak− 1 e´ primo
somente se a = 2 e p for primo onde a > 0, k > 1.Na Gre´cia antiga se conheciam somente quatro nu´meros
perfeitos P1 = 6, P2 = 28, P3 = 496, P4 = 8128, com isso Nicoˆmaco cojecturava que ”O n-ene´simo nu´mero
perfeito Pn conte´m exatamente n d´ıgitos.”e tambe´m que ”Os nu´meros perfeitos pares terminam sempre
em 6 ou 8, de forma alternada”a primeira afirmac¸a˜o de Nicoˆmaco pode-se ser verifficada simplismente
com um contra exemplo ja´ que nao existe nu`mero perfeito de 5 d´ıgito e hoje sabemos que p5 = 33550336
e em sua segunda afirmac¸a˜o temos q pro´ximo nu´mero perfeito P6 = 8589869056, que embora termine em
seis nao se alterna como era afirmado por Nicoˆmaco, que sera verificado mais rigirosamente no trabalho
a ser apresentado.
Palavras-Chave: Nu´meros Perfeitos, Func¸a˜o Sigma, Nu´mero Primo.
PERFECT NUMBERS
Abstract
It is said that n is a perfect number if the sum of the divisors of n exits the same, is equal to n
where the function σ(n) will be denoted in the following work. that will represent the sum of the divisors
of n, that is n can be expressed by σ(n) − n = n ⇒ σ(n) = 2n.There are results that help us in the
study of this subject for the area of number theory, as a big problem to solve is the general form for
the perfect numbers.There are records in Euclid’s book IX Elements a partial resolution.He showed that
1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2k− 1 = p where p is a prime number, then 2k − 1p is a perfect (necessarily even)
number.This is one of the most important results for several propositions and lemmas that we have today,
from this result we can verify that every perfect number is of the form 2k−1· where p is prime of the
form ak−1, and further investigating we can show that ak−1 is prime only if a = 2 and textit p is prime
where a > 0, k > 1 In ancient Greece only four perfect numbers were known P1 = 6, P2 = 28, P3 = 496,
P4 = 8128, with which Nicomache cojected that ”The n -nth perfect number Pn contains exactly n
digits.”and also that ”Perfect even numbers always end up in 6 or 8, alternately”the first statement of
Nicomachus can be verified simply with a counter example since there is no perfect number of 5 digit
and today we know that p5 = 33550336 and in his second statement we have the next perfect number
P6 = 8589869056, which although it ends in six does not alternate as was stated by Nicomachus, which
will be more rigorously verified in the work to be presented.
Keyword: Perfect Numbers, Sigma Function, Prime Number.
1 Introduc¸a˜o
Neste trabalho iremos abordar um assunto muito curioso e mı´stico voltado para a´rea de Teoria dos
Nu´meros que sa˜o os Nu´meros Perfeitos.Os Nu´meros perfeiro sa˜o nu´meros que possuem uma
caracter´ıstica muito incomum em que, a soma de seus divisores exeto ele pro´prio e´ igual a ele mesmo,
como o 6 e o 28.Os Nu´meros Perfeitos sa˜o Nu´meros de extrema raridade onde podemos ver isso ao
1acadeˆmico de matema´tica
2Professor do Curso de Matema´tica - Orientador
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procurar o 5◦ nu´mero perfeito que esta na casa dos 8 d´ıgitos, atualmente se conhecem 49 nu´meros
perfeitos sendo o maior deles o 49◦ ou P49 = 274207280 · (274207281?1). Um Gigantesco nu´mero
perfeito com com mais de 44 milho˜es de d´ıgitos. Ainda na˜o se conhecem nenhum nu´mero perfeito
ı´mpar, onde se conjecturam as duas principais. ”Todos os Nu´meros perfeitos sa˜o pares?”, ”Existem
infinitos nu´meros perfeitos?”que sa˜o dois problemas que se encontram em aberto e teorioa dos nu´meros.
2 Objetivo
Neste trabalho pretendemos apresentar um pouco sobre o que foi desenvolvido a respeito de nu´meros
perfeitos.
3 Metodologia
Para que iniciemos o assunto em questa˜o, e´ imprescind´ıvel que conhec¸amos a func¸a˜o σ(n) e alguns dos
resultados a seu respeito. Na˜o faremos as demonstrac¸o˜es das definic¸o˜es e teoremas aqui apresentados, ja´
que o assunto a ser tratado aqui sa˜o os Nu´meros Perfeitos.
Definic¸a˜o 1. Dado um nu´mero n � Z+, denotamos σ(n) a soma de todos os divisores de n.
Exemplo 1: A seguir vejamos alguns exemplos a respeito da Definic¸a˜o 1.
σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 .
σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 .
σ(3) = 1 + 3 = 4 .
Definic¸a˜o 2. Uma func¸a˜o aritme´tica f e´ multiplicativa se
f(nm) = f(n) · f(m)
sempre que mdc(m,n) = 1.
Exemplo 2: Vejamos uma aplicac¸a˜o simples, para uma verificac¸a˜o da definic¸a˜o 2
σ(21) = 1 + 3 + 7 + 21 = 32 ,
mas perceba que 21 = 3 · 7 e mdc(3,7)=1 enta˜o pela definic¸a˜o 2
σ(21) = σ(3 · 7) = σ(3) · σ(7) = (1 + 3) · (1 + 7) = 4 · 8 = 32 .
Teorema 1. A func¸a˜o σ, e´ uma func¸a˜o multiplicativa.
Demonstrac¸a˜o: ver [?], Teorema 6.3. �
4 Resultados
Definic¸a˜o 3. Um nu´mero n e´ perfeito se n for igual a soma de todos os seus divisores positivos, com
excec¸a˜o do pro´prio n.
Sabendo que a func¸a˜o σ(n) indica a soma de todos os divisores de n onde cada um deles e´
menor que o pro´prio n temos que:
σ(n)− n = n⇒ σ(n) = 2n .
Se isso ocorrer dizemos que n e´ um nu´mero perfeito.
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Exemplo 3: Temos que 6 e´ um nu´mero perfeito, pois σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 · 6. Mas, o nu´mero
4 na˜o o e´, uma vez que σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7 6= 8.
Na gre´cia antiga os nu´meros perfeitos possu´ıam um significado mais religioso do que
matema´tico para muitos filo´sofos.
Nicoˆmaco listou em seu livro Introductio Arithmetica (cerca de 100 d.C) a lista de todos os
quatros nu´meros perfeitos conhecidos pelos gregos daquela e´poca, a` saber,
P1 = 6 P2 = 28 P3 = 496 P4 = 8128 .
Com base nesses quatros nu´meros conhecidos na e´poca, Nicoˆmaco conjecturava que:
1. O n-ene´simo nu´mero perfeito Pn conte´m exatamente n d´ıgitos.
2. Os nu´meros perfeitos pares terminam sempre em 6 ou 8, de forma alternada.
Hoje sabemos que ambas as afirmac¸o˜es esta˜o erradas. Primeiramente, nem todo n-e´simo
nu´mero perfeito possui n d´ıgitos, por exemplo P5 = 33550336, o que contraria a afirmac¸a˜o (1). Ale´m
disso, embora o u´ltimo d´ıgito de P5 seja 6, o sexto nu´mero perfeito P6 e´ 8589869056, o que contraria a
afirmac¸a˜o (2).
Diante do que ja´ foi apresentado vemos o qua˜o raro sa˜o os nu´meros perfeitos. Ainda na˜o se
sabe se o conjunto dos nu´meros perfeitos e´ finito ou infinito, um grande problema a se resolver e´ a
forma geral para os nu´meros perfeitos. Ha´ registros no livro IX Elementos de Euclidesuma resoluc¸a˜o
parcial. Ele mostrou que se
1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2k−1 = p ,
onde p e´ um nu´mero primo, enta˜o 2k−1 · p e´ um nu´mero perfeito (necessariamente par). Por exemplo,
1 + 2 + 4 = 7, que e´ primo, logo 4 · 7 = 28 e´ um nu´mero perfeito.
Euclides faz o uso da soma dos termos de uma progressa˜o geome´trica, a` saber,
1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2k−1 = 2k − 1 ,
que e´ encontrada em diversos textos de Pita´goras, e pode ser interpretada da seguinte maneira: Se
2k − 1 e´ primo (k > 1), enta˜o n = 2k−1(2k − 1) e´ um nu´mero perfeito. A partir daqui podemos enunciar
o primeiro teorema.
Teorema 2. Se 2k − 1 e´ primo (k > 1), enta˜o n = 2k−1(2k − 1) e´ um nu´mero perfeito, e todo nu´mero
perfeito e´ dessa forma.
Demonstrac¸a˜o: Seja p = 2k − 1 um nu´mero primo, consideremos o inteiro n = 2k−1p, admitindo que
mdc(2k−1; p) = 1 e lembrando que a func¸a˜o σ(n) e´ multiplicativa temos que
σ(n) = σ(2k−1p)
= σ(2k−1)σ(p).
Temos que σ(2k−1) = 2k − 1 e note que os divisores de um nu´mero primo p sa˜o p e 1, enta˜o
σ(p) = p+ 1, segue que
σ(2k−1)σ(p) = (2k − 1)(p+ 1) = (2k − 1)2k = 2n ,
donde conclu´ımos que n e´ perfeito.
Agora, suponhamos que n e´ um nu´mero par da forma n = 2k−1m, onde m e´ um nu´mero ı´mpar
e k > 1, com isso podemos assumir que mdc(2k−1;m) = 1 logo,
σ(n) = σ(2k−1m) = σ(2k−1)σ(m) = (2k − 1)σ(m) .
Para que n seja perfeito, precisamos que σ(n) = 2(2k−1m) = 2km. Juntando as igualdades obtidas
temos
2km = (2k − 1)σ(m) , (1)
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logo, (2k − 1)|2km mas, como mdc(2k − 1; 2k) = 1 enta˜o temos que (2k − 1)|m da´ı, podemos escrever
m = (2k − 1)λ, substituindo este valor de m em (??), teremos
2k(2k − 1)λ = (2k − 1)σ(m)
2kλ = σ(m).
Como m e λ sa˜o divisores de m e λ < m temos 2kλ = σ(m) ≥ m+ λ = 2km, logo σ(m) = m+ λ ja´ que
m possui somente dois divisores conhecidos, podemos afirmar que m e´ primo e λ = 1, ou seja
m = (2k − 1)λ = 2k − 1 e´ um nu´mero primo. �
Da demonstrac¸a˜o do Teorema ?? podemos extrair o seguinte lema:
Lema 3. se ak − 1 = p, onde p e´ um primo ı´mpar (a > 0, k > 1), enta˜o a = 2 e k e´ primo.
Demonstrac¸a˜o: Observe que
ak − 1 = (a− 1)︸ ︷︷ ︸
I
(ak−1 + ak−2 + ...+ a+ 1)︸ ︷︷ ︸
II
,
se ak − 1 e´ primo enta˜o, I = 1 ou II = 1, mas perceba que se II = 1 teremos uma soma de nu´meros
positivos dando igual a zero, o que e´ imposs´ıvel enta˜o I=1, o que acarreta em a = 2. Agora usando o
resultado anterior provemos que k e´ primo.
Suponhamos que k seja um nu´mero composto, enta˜o podemos escrever k = xy, com
(x > 1, y > 1) enta˜o,
2k − 1 = (2x)y − 1 = (2x − 1)(2x(y−1) + 2x(y−2) + ...+ 2x + 1) ,
olhando mais atentamente, pode-se ver claramente que qualquer fator a direita e´ maior que 1, o que
contradiz o fato de 2k − 1 ser primo, pela contradic¸a˜o obtida podemos concluir que k e´ primo. �
Iremos provar agora que todo nu´mero perfeito par n, sempre termina em d´ıgito 6 ou 8.
Teorema 4. Um nu´mero perfeito par n termina no d´ıgito 6 ou 8.
Demonstrac¸a˜o: Para provar o teorema ?? devemos verificar que n ≡ 6(mod10) e n ≡ 8(mod10).
Como n e´ um nu´mero perfeito par pelo Teorema ?? temos que n = 2k−1(2k − 1), e pelo Lema ??, k
tambe´m deve ser primo. Se k = 2, enta˜o n = 6, e confirmamos o resultado, fac¸amos enta˜o a
demonstrac¸a˜o para k > 2, dividindo-a em duas partes: para k = 4m+ 1 e k = 4m+ 3.
Se k = 4m+ 1, Temos
n = 24m(24m+1 − 1)
= 28m+1 − 24m = 2 · 162m − 16m
Por induc¸a˜o, temos que 16t ≡ 6(mod10) para todo t ∈ Z+, dessa congrueˆncia tiramos que
2 · 162m − 16m ≡ 2 · 6− 6 ≡ 6(mod10)
2 · 162m − 16m ≡ 6 ≡ 6(mod10)
2 · 162m − 16m ≡ 6(mod10)
Fac¸amos agora para o caso em que k = 4m+ 3,
n = 24m+2(24m+3 − 1) = 28m+5 − 24m+2 = 2 · 162m+1 − 4 · 16m ,
mas como 16t ≡ 6(mod10), temos
2 · 162m+1 − 4 · 16m ≡ 2 · 6− 4· ≡ −12 ≡ 8(mod10) .
�
Refereˆncias
[1] Burton, D. M., Teoria Elementar dos Nu´meros, LTC, 2016.
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