TECNICAS DE INTEGRACAO

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INSTITUTO DE ESTUDOS SUPERIORES DA AMAZÔNIA 
CÁLCULO 1 
Prof. Dr. Irazel Soares 
 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 Até agora determinamos 𝑓 𝑥 𝑑𝑥   utilizando as regras de derivação e algumas propriedades das 
derivadas. Entretanto, o cálculo de uma primitiva pode não ser uma tarefa simples ou imediata. Nestes casos, 
algumas técnicas são requeridas, a fim de determinarmos a integral. 
 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUÇÃO SIMPLES 
 
 Seja a expressão [ ( )]. '( )g f x f x dx∫ . Através da substituição: ( )u f x= e 
' '( ) '( )duu f x ou f x
dx
= = , ou ainda, '( )du f x dx= , vem: 
 𝑔 𝑓 𝑥 . 𝑓' 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = ℎ 𝑢 + 𝑐 = ℎ 𝑓 𝑥 + 𝑐 admitindo que se conhece ( )g u du∫ . 
 
IMPORTANTE! 
 
 O método da substituição de variável exige a identificação de u e 'u ou u e du na integral dada. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
I. Calcular as seguintes integrais indefinidas: 
 
01) 
1 dx
n x+∫
 
02) 2 1x −∫ .2x dx 
03) 2.sectgxe∫ x dx 
04) ( )cos ln .x∫
1 dx
x
 
05) 4 .cossen x∫ x dx 
06) 2.sectgx∫ x dx 
07) cos7x∫ dx 
08) ( )43 21 .x x dx−∫ 
09) 3cos x∫ dx 
10) 2sec 5x dx∫ 
11) cot x dx∫ 
12) 2 33 1x x dx−∫ 
13) ax b dx−∫ 
14) . cossen x x dx∫ 
15) 21
x dx
x+∫
 
2 
 
16) 41
x dx
x+∫
 
17) 21
t
t
e dt
e+∫
 
18)
2
sec .
1 sec
x tg x
x−
∫ 
19) 5xa dx∫ 
 
20) .x xa e dx∫ 
21) 3
cos x sen x dx
sen x
+
∫ 
22) sec x dx∫ 
23) 2tg x dx∫ 
24) 2
1
1 4
dx
x+∫
 
25) 2
3 1cos . dx
x x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ 
26) ( )2cottg g dθ θ θ+∫ 
27)
1 cos
senx dx
x−∫
 
28)
( )
( )
1
cos
senx
dx
x x
+
−∫
 
39)
( )
( )
2
2
t
t
e
dt
e t
+
+
∫ 
30)
1
. ln
dx
x x∫
 
31)
( )
3
1 .
dx
x x+∫
 
 
 
RESPOSTAS 
 
01) ln n x C+ + 
02) ( )322 13 x C− + 
03) tg xe C+ 
04) ( )lnsen x C+ 
05) 
5
5
sen x C+ 
06) 
2
2
tg x C+ 
07) 
1 .sec7
7
x C+ 
08) 
( )53 1
15
x
C
−
+ 
09) 
3
3
sen xsen x C− + 
10) 
1. 5
5
tg x C+ 
11) ln sen x C+ 
12) 3 3
2 ( 1)
3
x C− + 
13) ( )32 . , 0
3
ax b C a
a
− + ≠ 
14) 
2
2
sen x C+ 
15) 2
1 .ln
2
l x C+ + 
16) 2
1 .
2
arctg x C+ 
17) tarctg e C+ 
18) )(secarcsen x C+ 
19) P
5
5. ln
xa C
a
+ 
3 
 
20) 
( )
ln
xae
C
ae
+ 
21) 2
1 cot
2.
g x C
sen x
− − + 
22) ln sec x tg x C+ + 
23) tg x x C− + 
24) ( )1. 2
2
arctg x C+ 
25) 
1 3.
3
sen C
x
⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
26) cottg g Cθ θ− + 
27) 2 1 cos x C− + 
28) ln cosx x C− + 
29) ln 2te t C+ + 
30) ln ln x C+ 
31) 6. ln 1 x C+ + 
 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
 Um método de integração muito útil é a integração por partes. Este depende da fórmula para o 
diferencial de um produto: 
 
 𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢            𝑜𝑢            𝑢𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢(1) 
 
 
integrando em ambos os membros de (1), temos 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢    (2) 
 
 A fórmula (2) é chamada de fórmula para integração por partes. Esta fórmula expressa a integral 𝑢𝑑𝑣 
em termos de outra integral, 𝑣𝑑𝑢. Para uma escolha apropriada de 𝑢    𝑒    𝑑𝑣 pode ser mais fácil integrar a 
segunda integral do que a primeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
EXERCÍCIOS 
Calcule as seguintes integrais 
 
01) .x sen x dx∫ 
02) (3 7). cosx x dx+∫ 
03) (2 1). xx e dx−∫ 
04) ( )3 1 .cos 5x x dx− +∫ 
05) 1 3(2 3). xx e dx−−∫ 
06) x ln x dx∫ 
07) x sen x dx∫ 
08) 2 xx e dx∫ 
09) xe sen x dx∫ 
10) 3sec x dx∫ 
11) ln x dx∫ 
 
12) 2secx x dx∫ 
 
13) arc sen x dx∫ 
14) x arc tg x dx∫ 
15) cosxe x dx∫ 
 
16)
3
21
x dx
x−
∫ 
 
17) 5sec x dx∫ 
 
18) 
3
0
3 cossen x x dx
π
∫ 
 
RESPOSTAS 
 
01) . cosx x sen x c− + + 
02)( )3 7 3 cosx sen x x c− + + 
03) (2 3)xe x c− + 
04)
5( 3 1). 5 3 cos5
25
x sen x x− + −
 
05) 1 3
2 7
3 9
xx e c−⎛ ⎞− + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
06)
1 1
2 22 4x In x x C− + 
07) cosx x sen x C− + + 
08) 2 2 2x x xx e xe e C− + + 
09)2 cosx x xe sen x dx e x e sen x C= − + +∫ 
10)
1 1
3 2 2sec sec secxdx xtg ln x tg x C= + + +∫ 
11) (ln 1)x x C− + 
12) ln cosxtgx x C+ + 
13) 1 21xsen x x C− + − + 
14) 1 2
1 1( 1)
2 2
tg x x x C− + − + 
15) 
1 (cos )
2
xe x sen x C+ + 
16) 
3
22 2 221 (1 )
3
x x x C− − − − + 
17) 
31 3sec [sec ln sec ]
4 8
x tg x x tgx x tgx C+ + + +
 
18) 
9
16
 
 
 
 
5 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
Uma função H é racional se H(x)=P(x)/Q(x), onde P(x) e Q(x) são polinômios. 
 
Se o grau[f(x)]<grau[g(x)] a função racional é dita própria 
Se o grau[f(x)]>grau[g(x)] a função racional é dita imprópria 
Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional 
própria. 
Toda fração racional própria pode ser expressa como uma soma de frações simples(frações parciais). 
 
CASO 1- FATORES LINEARES DISTINTOS: 
 A cada fator linear da forma ax+b que aparece uma vez no denominador de uma fração própria, 
corresponde uma fração parcial da forma A/ax+b, onde A é uma constante a ser determinada. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
01. Calcule: 𝑑𝑥𝑥! − 4 
 
 
02. Calcule: 𝑑𝑥𝑥! − 5𝑥 + 6 
 
03. Calcule: (𝑥 + 1)𝑑𝑥𝑥!+𝑥! − 6𝑥 
 
 
CASO 2- FATORES LINEARES REPETIDOS: A cada fator linear da forma ax+b que aparece n vezes no 
denominador de uma fração racional própria corresponde uma soma de n frações parciais da forma: 
 𝐴!𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐴!(𝑎𝑥 + 𝑏)! +⋯+ 𝐴!(𝑎𝑥 + 𝑏)!  
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
I. Calcule: 
 01) 3𝑥 + 5 𝑑𝑥𝑥! − 𝑥! − 𝑥 + 1 
 02)   (𝑥! − 1)𝑑𝑥𝑥!(𝑥 − 2)! 
6 
 
03)   𝑥!𝑑𝑥𝑥! + 𝑥 − 6 
 04)     5𝑥 − 2𝑥! − 4 𝑑𝑥 
 05)     4𝑥 − 2𝑥! − 𝑥! − 2𝑥 𝑑𝑥 
 06)     6𝑥! − 2𝑥 − 14𝑥! − 𝑥 𝑑𝑥 
 07)     𝑥! + 𝑥 + 2𝑥! − 1 𝑑𝑥 
 08)     𝑑𝑥𝑥! + 3𝑥! 
 09)     3𝑥! − 𝑥 + 1𝑥! − 𝑥! 𝑑𝑥 
 10)   𝑑𝑥(𝑥 + 2)! 
 11)   𝑥 − 3𝑥! + 𝑥! 𝑑𝑥!! 
 12)   𝑥 − 22𝑥! + 7𝑥 + 3𝑑𝑥!! 
 
 13)   𝑥! − 4𝑥 + 3𝑥(𝑥 + 1)! 𝑑𝑥!!