04 descontosimples gabarito

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO
DISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS I
PROFESSOR: OZORIO K. MATSUDA
 DESCONTO SIMPLES
 
 Desconto é o abatimento que sofre um título de crédito, quando for pago antes da data de seu vencimento.
 Todo possuidor de títulos de crédito, “nota promissória, duplicata, letra de câmbio”, com prazo determinado, poderá resgatar a importância antes do prazo previsto.
 VALOR NOMINAL: é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento).
 VALOR ATUAL: é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento.
 TEMPO OU PRAZO: é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, então, incluindo o último e não o primeiro.
Assim: Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual..
DESCONTO COMERCIAL ou DESCONTO “POR FORA”:
 
 É o equivalente ao juro simples calculado sobre o valor nominal.
Chamado de: d = valor do desconto comercial (por fora);
 N = valor nominal do título;
 A = valor atual comercial ou valor descontado comercial;
 n = tempo;
 i = taxa de desconto (unitária)
 
Valor do Desconto Comercial - Valor Atual Comercial: ou Valor Descontado Comercial 
 d = N . i . n A = N - d A = N ( 1 - i . n )
Exemplo: Um título de R$ 6.000,00 foi descontado ä taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o vencimento. Determine : a) O Valor do desconto comercial ( d = R$ 189,00) - b) o valor atual comercial ( A = R$ 5.811,00)
N = R$ 6.000,00 ; i = 0,021 a.m. ; n = 45 dias = 1,5 mes ; d = ? ; A = ?
d = N.i.n => d = 6000 . 0,021 . 1,5 => d = 189,00
A = N(1 - in) => A = 6000(1 - 0,021 . 1,5 ) => A = 6000. 0,9685 => A = 5.811,00
TAXA DE JURO EFETIVA
 	A taxa de juro que no período “n” torna o capital “Ä” igual ao montante “N” é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Esta taxa é denominada “TAXA DE JURO EFETIVA ( ij ).
 	M = C ( 1 + ij . n ) Valor do Montante
 	Como C = A e M = N, d
	N = A ( 1 + ij . n ) lembrando que N - A = d ij = ---------
 A . n
Exemplo: Um título de R$ 6.000,00 foi descontado á taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o valor do desconto comercial foi de R$ 189,00, calcule a “taxa de juro efetiva”. ( ij = 0,02168 )
N = R$ 6.000,00 ; i = 0,021 a.m. ; n = 45 dias = 1,5 mes ; d = R$ 189,00 ; ij = ?
ij = d / (A.n) => ij = 189 /(6000-189). 1,5 => ij = 189 / 8716,5 => ij = 0,02168 a.m.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
	Dizemos que dois ou mais capitais diferidos (aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes) são equivalentes em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.
Exemplo.: Quero substituir um título de R$ 6.000,00 vencível em 45 dias, por outro com vencimento em 90 dias. Sabendo que esses títulos podem ser descontados a taxa de 2,1 % ao mês. Determinar o valor nominal do novo título. ( N = R$ 6.201,71 )
N1 = R$ 6.000,00 ; i = 0,021 a.m. ; n = 45 dias = 1,5 mes ; A = ? ; A = N(1- in) 
N2 = ? ; i = 0,021 a.m. ; n = 90 dias = 3 mes
6000(1- 0,021.1,5) = N2(1- 0,021. 3 ) => 5811 = 0,937.N2 => 5811/0,937 = N2 =>
N2 = 6.201,71
DISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS I
(“ DESCONTO SIMPLES”) - EXEMPLOS
DESCONTO RACIONALou DESCONTO “POR DENTRO”:
	Chamamos de Desconto Racional, o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
	dr = Valor do Desconto Racional (por dentro);
	Ar = Valor Atual Racional ou Valor Descontado Racional
 Valor do Desconto Racional Valor Atual Racional:
 N . i . n N
 dr = Ar . i .n ; dr = ------------ Ar = N - dr ; Ar = -----------
 1 + i . n 1 + i . n
Exemplo: Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês faltando 45 dias para o vencimento. Determine: a) o valor do desconto racional ( dr = R$ 183,23 ) - b) o valor atual racional ( Ar = R$ 5.816,77 )
N = R$ 6.000,00 ; i = 0,021 a.m. ; n = 45 dias = 1,5 mes ; dr = ? ; Ar = ?
dr = (N.i.n)/(1+i.n) => dr = (6000 . 0,021 . 1,5) /(1 + 0,021. 1,5) => dr = 189/1,0315 => dr = 183,23
Ar = N /(1+in) => Ar = 6000 /(1+0,021 . 1,5) => Ar = 6000 / 1,0315 => Ar= 5.816,77
DISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS I
GABARITO DOS EXERCÍCIOS SOBRE (“ DESCONTO SIMPLES”)
01) Determine o valor do desconto comercial e o valor do desconto racional de uma promissória de R$ 500,00, ä taxa de 36 % ao ano, resgatada 60 dias antes do vencimento. ( d = R$ 30,00 ; dr = R$ 28,30 )
N = R$ 500,00 ; i = 0,36 a.a. = 0,03 a.m. ; n = 60 dias = 2 meses ; d = ? ; dr = ?
d = N.i.n => d = 500 . 0,03 . 2 => d = 30,00
dr = (N.i.n)/(1+ i.n) => dr = (500 . 0,03 . 2)/(1 + 0,03 . 2) => dr = 30/1,06 => dr = 28,30
02) Um título de R$ 350,00 foi descontado faltando 90 dias para o seu vencimento. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 26,25 , calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva. ( i = 0,30 a.a. - ij = 0,3243 a.a. )
N = R$ 350,00 ; d = R$ 26,25 ; n = 90 dias = 3 meses ; i = ? ; ij = ?
d = N.i.n => 26,25 = 350 . i . 3 => 26,25 = 1050.i => 26,25/1050 = i => i = 0,025 a.m. = 0,3 a.a.
ij = d /(A .n) => ij = 26,25/[(350-26,25). 3] => ij = 26,25/ 971,25 => ij = 0,02703 a.m. = 0,3243 a.a.
03) O valor líquido de uma duplicata que foi descontada 60 dias antes do seu vencimento, foi de R$ 2.325,00 , cuja taxa de desconto foi de 42 % ao ano. Determinar valor nominal da duplicata e o valor atual racional. ( N = R$ 2.500,00 - Ar = R$ 2.336,45 )
A = R$ 2.325,00 ; i = 0,42 a.a. = 0,035 a.m. ; n = 60 dias = 2 meses ; N = ? ; Ar = ?
A = N(1- i.n) => 2325 = N(1- 0,035 . 2) => 2325 = 0,93N => 2325/0,93 = N => N = 2.500,00
Ar = N /(1 + i.n) => Ar = 2500/(1 + 0,035 . 2) => Ar = 2500/1,07 => Ar = 2.336,45
04) O valor atual comercial de um título de R$ 460,00 é de R$ 442,75. Sabendo que a taxa bancária de desconto é de 2,5% ao mês, qual o tempo de antecipação? ( n = 1,5 mês ou 45 dias )
N = R$ 460,00 ; A = R$ 442,75 ; i = 0,025 a.m. ; n = ? ; A = N(1 -i.n)
442,75 = 460(1 - 0,025.n) => 442,75/460 = 1 - 0,025n => 0,9625 = 1 - 0,025n => 1 - 0,9625 = 0,025n => 0,0375 = 0,025n => 0,0375/0,025 = n => n = 1,5 mes 
05) Um comerciante descontou um título no valor de R$ 6.490,00 com vencimento para 120 dias, à taxa de 2,0 % ao mês, mais 2 % de taxa administrativa. Qual o valor líquido creditado pelo Banco e o valor atual racional ? ( A = R$ 5.841,00 - Ar = R$ 5.900,00 )
N = R$ 6.490,00 ; i = 0,02 + (0,02/4) = 0,025 a.m. ; n = 120 dias = 4 meses ; A = ? ; Ar = ?
A= N(1 - i.n) => A= 6490(1 - 0,025 . 4) => A = 6490.0,9 => A = 5.841,00
Ar = N/(1 + i.n) => Ar = 6490/(1 + 0,025 . 4) => Ar = 6490/1,1 => Ar = 5.900,00
06) Ao pagar um título de R$ 660,00, com antecipação de 60 dias, receboum desconto de R$ 39,60. Determinar a taxa de desconto e o valor do desconto racional. (i = 0,03 a.m.; dr= R$ 37,36 )
N = R$ 660,00 ; n = 60 dias = 2 meses ; d = R$ 39,60 ; i = ? ; dr = ?
d = N.i.n => 39,6 = 660 . i . 2 => 39,6 = 1320i => 39,6/1200 = i => i = 0,03 a.m.
dr = (N.i.n)/(1 + i.n) => dr = (660 . 0,03 . 2)/(1 + 0,03 . 2) => dr = 39,6/1,06 => dr = 37,36
07) Uma duplicata no valor de R$ 860,00, foi resgatada 90 dias antes do seu vencimento por R$ 769,70. Sabendo que a taxa de desconto foi de 3,5% ao mês, determinar a taxa de juro efetiva. (ij= 0,0391 a.m.)
N = R$ 860,00 ; A= R$ 769,70 ; i = 0,035 a.m. ; n = 90 dias = 3 meses ; ij = d /(A .n)
ij = (860 - 769,70)/(769,70 . 3) => ij = 90,3/2309,1 => ij = 0,0391 a.m.
08) Calcule o tempo de antecipação de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é duas vezes o valor do desconto, a taxa de 24 % ao ano. ( n = 25 meses )
N = 2.d ; i = 0,24 a.a. = 0,02 a.m. ; n = ? ; d = N.i.n
d = 2d . 0,02 . n => d/2d = 0,02n => 0,5 = 0,02n => 0,5/0,02 = n => n = 25 meses
09) Um comerciante descontou uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o líquido creditado p/o comerciante foi de R$ 268,50, qual o valor da promissória ? ( N = R$ 300,00 )
A = R$ 268,50 ; i = 0,03 a.m. + 0,015/3 = 0,035 a.m. ; n = 90 dias = 3 meses ; N = ?
A = N(1 - i.n) => 268,5 = N(1 - 0,035 . 3) => 268,5 = 0,895N => 268,5/0,895 = N => N = 300,00
DISCIPLINA: MÉTODOS E MEDIDAS I
GABARITO DOS EXERCÍCIOS SOBRE (“ DESCONTO SIMPLES”)
10) Sou portador de duas promissórias: Uma no valor de R$ 600,00, vencível em 150 dias e outra, no valor de R$ 400,00, vencível em 120 dias. Pretendendo descontá-las dentro de 75 dias, qual o valor líquido a ser recebido, à taxa de desconto de 3,5% ao mês? ( A = R$ 926,50 )
N1 = R$ 600,00 ; i = 0,035 a.m. ; n = 150 - 75 = 75 dias = 2,5 meses ; A = ?
N2 = R$ 400,00 ; i = 0,035 a.m. ; n = 120 - 75 = 45 dias = 1,5 mes ; A = ? ; A = N(1 - i.n)
A = 600(1 - 0,035 . 2,5) + 400(1 - 0,035 . 1,5) => A = 600 . 0,9125 + 400 . 0,9475 =>
A = 547,5 + 379 => A = 926,50
11) Calcule o valor nominal de um título com vencimento para 195 dias, sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional, à taxa de 3 % ao mês, é de R$ 636,40. ( N = R$ 20.000,00 )
d - dr = R$ 636,40 ; i = 0,03 a.m. ; n = 195 dias = 6,5 meses ; N = ?
d = N.i.n ; dr = (N.i.n)/(1 + i.n)
636,4 = (N . 0,03 . 6,5) - (N . 0,03 . 6,5)/(1 + 0,03 . 6,5) => 636,4 = 0,195N - (0,195N/1,195) =>
636,4 = 0,195N - 0,16318N => 636,4 = 0,03182N => 636,4/0,03182 = N => N = 20.000,00
12) Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 6.000,00 para 90 dias, e outro de R$ 3.652,17 para 120 dias. Desejando substitui-los por um único título com vencimento para 5 meses, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa de desconto de 24 % ao ano permaneça inalterada. ( N = R$ 10.000,00 )
N1 = R$ 6.000,00 ; i = 0,24 a.a. = 0,02 a.m. ; n = 90 dias = 3 meses 
N2 = R$ 3.652,17 ; i = 0,24 a.a. = 0,02 a.m. ; n = 120 dias = 4 meses ; A = N(1 - i.n)
N3 = ? ; i = 0,24 a.a. = 0,02 a.m. ; n = 5 meses
6000(1 - 0,02 . 3) + 3652,17(1 - 0,02 . 4) = N3(1 - 0,02 . 5) => 6000 . 0,94 + 3652,17 . 0,92 = 0,9N3 =>
5640 + 3360 = 0,9N3 => 9000 = 0,9N3 => 9000/0,9 = N3 => N3 = 10.000,00
13) Um comerciante contraiu uma dívida de R$ 4.687,50 para ser paga com dois títulos de mesmo valor, vencíveis dentro de 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto é de 2,5 % ao mês, calcule qual deverá ser o valor nominal de cada título. ( N = R$ 2.500,00 )
A = R$ 4.687,50 ; i = 0,025 a.m. ; n1 = 60 dias = 2 meses ; n2 = 90 dias = 3 meses ; N1 = N2 = ?
A = N(1 - i.n) => 4687,50 = N1(1 - 0,025 . 2) + N2(1 - 0,025 . 3) => 4687,5 = 0,95N1 + 0,925N2 =>
4687,50 = 1,875N => 4687,5/1,875 = N => N = 2.500,00
14) Um micro empresário tem três títulos, de R$ 400,00, R$ 2.000,00 e R$ 1.800,00 descontados em um banco e com vencimentos para 90, 150 e 180 dias, respectivamente. Desejando substitui-los por dois outros de valores nominais iguais para 60 e 120 dias, calcule o valo nominal comum, supondo que a taxa de desconto seja de 2 % ao mês para as transações desse tipo. ( N = R$ 2.000,00 )
N1 = R$ 400,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 90 dias = 3 meses
N2 = R$ 2.000,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 150 dias = 5 meses
N3 = R$ 1.800,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 180 dias = 6 meses ; A = N(1 - i.n)
N4 = ? ; i = 0,02 a.m. ; n = 60 dias = 2 meses
N5 = ? ; i = 0,02 a.m. ; n = 120 dias = 4 meses => N4 = N5
[400(1-0,02.3) + 2000(1-0,02.5) + 1800(1 - 0,02.6)] = [N4(1-0,02.2) + N5(1-0,02.4)]
[(4000.0,94) + (2000.0,9) + (1800.0,88)] =( 0,96N4 + 0,92 N5 )
( 376 + 1800 + 1584) = 1,88N => 3760 = 1,88N => 3760/1,88 = N => N = 2.000,00
15) Tenho três títulos, cujos valores são de R$ 3.000,00 , R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00 com vencimentos, respectivamente, para 60, 90 e 120 dias, que foram substituídos por dois outros de R$ 6.622,00 cada um, vencíveis em 150 e 210 dias. Calcule a taxa de desconto, sabendo que é a mesma para qualquer transação. ( i = 0,03 a.m. )
N1 = R$ 3.000,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 60 dias = 2 meses
N2 = R$ 4.000,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 90 dias = 3 meses
N3 = R$ 5.000,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 120 dias = 4 meses ; A = N(1 - i.n)
N4 = R$ 6.622,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 150 dias = 5 meses
N5 = R$ 6.622,00 ; i = 0,02 a.m. ; n = 210 dias = 7 meses => N4 = N5
3000(1- i.2) + 4000(1- i.3) + 5000(1- i.4) = 6622(1- i.5) + 6622(1- i.7)
3000 - 6000.i + 4000 - 12000.i + 5000 - 20000.i = 6622 - 33110.i + 6622 - 46354.i =>
12000 - 38000.i = 13244 - 79464.i => 13244 - 12000 = 79464i - 38000i =>
1244 = 41464i => 1244/41464 = i => i = 0,03 a.m.