( Aula 4 )Trigonometria e Aplicações

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Trigonometria e aplicações 
	A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. 
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		Algumas aplicações da trigonometria são: 
		- Determinação da altura de um certo prédio. 
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	Os gregos determinaram a medida do raio da 
terra, por um processo muito simples.
	Um engenheiro precisa saber a largura de um 
rio para construir uma ponte, o trabalho dele é 
mais fácil quando ele usa dos recursos
trigonométricos.
	Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa
 saber a altura de uma montanha, o comprimento
de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
	Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.	
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Triângulo Retângulo 
		É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°. 
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		Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. 
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Lados de um triângulo retângulo 
		Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. 
		O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. 
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		Propriedades do triângulo retângulo
		Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
		Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. 
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		Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. 
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o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
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Funções trigonométricas básicas 
		As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos.
		 As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x. 
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Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave
		Existem alguns ângulos do primeiro quadrante para os quais é possível determinar facilmente os valores tomados pelas funções trigonométricas.
		 Para ângulos de outros quadrantes, torna-se necessário efetuar em primeiro lugar uma redução ao primeiro quadrante. 
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Em resumo, temos o seguinte quadro:
		
		Valores do argumento  (radianos)
		
		0
		π/6
		π/4
		π/3
		π/2
		sen
		0
		1/2
		
		
		1
		cos
		1
		
		
		1/2
		0
		tan
		0
		
		1
		
		∞
		cotg
		∞
		
		1
		
		0
		
		0º
		30º
		45º
		60º
		90º
		
		Valores do argumento  (graus)
_974734041.unknown
_974734044.unknown
_998762968.unknown
_998762995.unknown
_974734043.unknown
_974734039.unknown
_974734040.unknown
_974734038.unknown
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Exemplos:
		1) Um vaivém em órbita terrestre descreve um trajeto tipicamente circular a uma altitude de cerca de 300km acima da superfície. Sabendo que o raio da Terra é 6380km, escreva a expressão para a distância do horizonte àquela altitude, e calcule o seu valor.
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Solução:
		Seja R o raio da Terra e h a altitude do vaivém acima da superfície da Terra. Pretende‑se determinar a distância d. 
		O ângulo a é reto porque a reta a que pertence o segmento de comprimento d é perpendicular ao raio da Terra – é tangente à superfície.
		Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
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		2)Determine o seno, o cosseno e a tangente do menor ângulo do triângulo retângulo cujos os catetos medem 9 cm e 12 cm.
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Resolução:
		Primeiro usamos o teorema de pitágoras para descobrir o valor da hipotenusa e depois calculamos os valores do seno , cosseno e da tangente.
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		3) Um avião levanta vôo e sobe fazendo um âmgulo contante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? ( dado: sem 15º = 026 e tg 15º = 0,27).
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Solução
O cálculo da altura é feito pela relação da tag de 15º.
		O cálculo da distância percorrida é feito através do sen15º.
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		4) Num triângulo retângulo um cateto mede mede 15 cm e a hipotenusa 17 cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo.
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Solução:
	Primeiro aplicamos o teorema de pitágoras para achar o valor do outro cateto.
		Depois calculamos os valores do seno, cosseno e da tangente .
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Redução ao primeiro quadrante
		Consideremos o ciclo trigonométrico abaixo:
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Sinal das Funções em cada Quadrante
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Redução ao primeiro quadrante
		O círculo trigonométrico é usualmente dividido segundo regiões denominadas quadrantes, como indicado na figura abaixo.
		 São quatro, e indicam-se de acordo com o sentido do crescimento dos ângulos sentido anti-horário.
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		Assim, iremos descobrir o comportamento das funções trigonométricas nos restantes quadrantes, e compará-lo com os valores tomados pelas funções trigonométricas para ângulos do primeiro quadrante.
		 Na figura vista anteriormente , o 1ºQ corresponde ao intervalo 0 < a < /2, o 2ºQ a /2 < a < , o 3ºQ a  < a < 3/2, e o 4ºQ a 3/2 < a < 2.
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		Para fazer a redução do 2º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:
	
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		Para fazer a redução do 3º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:
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		 Para fazer a redução do 4º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:
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Exercícios:
		1) Calcule o seno e o cosseno dos valores abaixo:
210º
150º
330º
240º
1590º
2460º
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FIM