Exercícios - CVGA

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EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS. 
 
AULA 01.AULA 01.AULA 01.AULA 01. 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029977) 
Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e 
o mesmo comprimento. Sendo os vetores uuuu→→→→ e vvvv→→→→ representados, respectivamente, 
pelos segmentaos orientados AB^AB^AB^AB^ e CD^CD^CD^CD^ , temos: 
 
 u→ = v→ ⇔ AB^~CB^ 
 u→ = -v→ ⇔ AB^~CB^ 
 u→ = v→ ⇔ BA^~DC^ 
 u→ = -v→ ⇔ AC^~BD^ 
 u→ ≠ v→ ⇔ AB^~CB^ 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309266089) 
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo 
formado pelos vetores u e -v. 
 
 125o 
 110o 
 120o 
 130o 
 60o 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309266090) 
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo 
formado pelos vetores -u e v. 
 
 120O 
 100O 
 110O 
 60O 
 80O 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309251453) 
Determinar o valor de a para que o vetor u=ae1+2e2+3e3 seja combinação linear dos vetores 
v=e1+4e2+5e3 e w=2e1+e3. 
 
 2/3 
 3 
 3/4 
 2/5 
 3/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 02.AULA 02.AULA 02.AULA 02. 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309073103) 
Seja o vetor a→=5i→-3j→, encontre seu versor: 
 
 53434i→ +33434j→ 
 5344i→-3344j→ 
 53434i→-33434j→ 
 3434i→-3434j→ 
 5334i→-3334j→ 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309251458) 
Determinar o ângulo formado pelos vetores u=(4,4,0) e v=(0,4,4). 
 
 90° 
 60° 
 120° 
 45° 
 100° 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026121) 
Determine o vetor A→B dado os pontos A(-1, -2, 3) e B(0, 1, 2) 
 
 (0, 1, 2) 
 (-1, 0, 1) 
 (1, 3, -1) 
 (1, 2, 0) 
 (1, 0, 5) 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309094881) 
Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de 
coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais 
pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, 
representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. 
Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada 
no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos 
Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De 
acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os 
vetores AB e BC? 
 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i + 1j 
 AB = 3i - 2j e BC = 4i - 3j 
 AB = 3i + 2j e BC = 4i + 3j 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i - 1j 
 AB = 3i - 2j e BC = 1i + 1j 
 
 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026194) 
Calcular A→C-A→B2, sabendo que os pontos A, B, C e D são os vertices de um paralelogramo e 
que M e N são os pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. 
 
 
 A→M 
 A→N 
 A→D 
 D→M 
 
AULA 03.AULA 03.AULA 03.AULA 03. 
 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026211) 
 
Determinar o valor de t para que os vetores u→=ti→+5j→-k→ e v→=2i→-2j→+2k→ sejam 
ortogonais. 
 
 0 
 2 
 6 
 -6 
 -2 
 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029998) 
 
Na física, se uma força constante F→ desloca um objeto do ponto A para o ponto B , o 
trabalho W realizado por F→, movendo este objeto, é definido como sendo o produto da 
força ao longo da distância percorrida. 
Em termos matemáticos escrevemos: W = ( I F→I cos θ ) I D→ I, onde D→ é o vetor 
deslocamento e θ o ângulo dos dois vetores . Este produto tem um correspondente em 
Cálculo Vetorial. 
Sendo F→ = -2 i→ + 3j→ - k→ , medida em newtons, A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e com a unidade 
de comprimento metro, o trabalho realizado em joules é 
 
 15 
 3 
 7 
 13 
 9 
 
 
 
 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309251871) 
 
Os pontos A(3,-5,1) , B(5,-3,0) , C(-1,3,2) são vértices consecutivos de um paralelogramo. 
Determine as coordenadas do quarto vértice D. 
 
 (-3,0,3) 
 (3,1,3) 
 (-3,1,3) 
 (1,-3,3) 
 (-3,-1,-3) 
 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030006) 
Uma força que move uma caixa sobre um plano horizontal é puxada com força F, 
 representada pelo vetor F→, fazendo ângulo de π3 rd com este plano. A foça efetiva que 
move o carrinho para a frente, na direão horizontal, é a projeção ortogonal de F→ sobre a 
superfície do plano horizontal, na direção positiva do eixo x, isto é, a componente horizontal 
do vetor F→ dada por I F→ I cos θ . 
Sendo F→ = 6i→ + 3j→ + 2k→ a força efetiva, em lb, que move a caixa para a frente é 
 
 7 
 9/2 
 7/2 
 9 
 73/2 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309072910) 
Determinar o valor de n para que o vetor v→=(n,25,45) seja unitário 
 
 n=5 ou n=-5 
 n=1510 ou n=-1510 
 n=55 ou n=-55 (√
V
V
 ou − √
V
V
) 
 n=210 ou n=-210 
 n=510 ou n=-510 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029981) 
Chama-se Produto Escalar de dois vetores u→ = x1i→ + y1j→+ z1k→ e v→ = x2i→ + y2j→+ 
z2k→ denotado por u→.v→ : 
 
 ao número real k dado por k = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 
 ao número real k, dado por: k = x+1x-1 = y+1y-1= z+1z-1 
 ao vetor w→ dado por w→ = (x1 + x2)i→ + (y1 + y2 )j→ + (z1 + z2)k→ 
 ao número real k, dado por : k = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 ao vetor w→ dado por w→ = x1x2i→ + y1y2 j→ + z1z2 k→ 
 
 
 
 
 
 
 
 C AULA 04.C AULA 04.C AULA 04.C AULA 04. 
 
 1.1.1.1. 
 
 
A área do triângulo com vértices A (1,2,1), B(3,0,4) e C(5,1,3), vale: Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
A=√101/2u.a. 
 
A=10110u.a. 
 
A=112u.a. 
 
A=1112u.a. 
 
A=1104u.a. 
 2.2.2.2. 
 
 
Sejam os vetores AAAA = 4u= 4u= 4u= 4uxxxx + tu+ tu+ tu+ tuyyyy ---- uuuuzzzz e B = tuB = tuB = tuB = tuxxxx + 2u+ 2u+ 2u+ 2uyyyy + 3u+ 3u+ 3u+ 3uzzzz e os pontos C (4, C (4, C (4, C (4, ----1, 2)1, 2)1, 2)1, 2) e D D D D 
(3, 2, (3, 2, (3, 2, (3, 2, ----1)1)1)1). Determine o valor de tttt de tal forma que A . (B + DC) = 7A . (B + DC) = 7A . (B + DC) = 7A . (B + DC) = 7. 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
4 
 
6 
 
5 
 
3 
 
2 
 3.3.3.3. 
 
 
Considere os vetores a→, b→, c→ e as sentenças abaixo:: 
I - a→ x (b→ . c→) 
II - a→ . (b→ x c→) 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
existe o produto indicado em II e a sentença é um escalar 
 
não existe o produto indicado em II 
 
não existem os produtos indicados em I e II 
 
existe o produto indicado em I e a sentença é um vetor 
 
existe o produto indicado em II e a sentença é um vetor 
 4.4.4.4. 
 
 
Determine o ângulo entre os vetores u→=(2,-1,-1) e v→=(-1,-1,2) Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
60o 
 
90o 
 
45o 
 
120o 
 
30o 
 
 
 
 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
5.5.5.5. 
 
 
 
Qual o valor de m para que os 
vetores u→=(5/2,1/2,m/4) e v→=(10,2/3,1/5) sejam ortogonais. 
 
 
m = -3 
 
m=-7660 
 
m = 10 
 
m = 3 
 
m=-1520/3 
 6.6.6.6. 
 
 
Calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores u=(4,3,-2) e v=(-8.-3,3). Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
11 
 
13 
 
17 
 
15 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 AULA 05.AULA 05.AULA 05.AULA 05. 
 1.1.1.1. 
 
 
O volume da caixa, na forma de umparalelepípedo, determinado pelos 
vetores u→ = (1, 2, -1); v→ = (-2, 0, 3) e w→ = (0, 7, -4) é 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
-23 u.v. 
 
23 u.v. 
 
13 u.v. 
 
-33 u.v. 
 
42 uv.. 
 2.2.2.2. 
 
 
Calcular o produto misto dos vetores: u = i + j + 3k, v = 2i - j + 5k e w = 4i - 3j + k. Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
23 
 
26 
 
25 
 
22 
 
24 
 
 Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
3333.... 
 
 
Dados os vetores a→=(2,1,p), b→=(p+2,-5,2) e c→=(2p,8,p). Determine o valor de 
p para que os vetores a→ + b→ seja ortogonal ao vetor c→- a→. 
 
 
p = 3 ou p = 6 
 
p = 3 ou p = -6 
 
p = -3 ou p = -6 
 
p = 13 ou p = -16 
 
p = -3 ou p = 6 
 4.4.4.4. 
 
 
Considere uma reta r de equação x+2y+k=0 que intercepta os eixos Ox e Oy nos 
pontos P e Q respectivamente. Determine o valor de k de modo que a área do 
triângulo OPQ seja igual a 25. 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
+/- 18 
 
± +/- 10 
 
± +/- 12 
 
± +/-5 
 
± +/-15 
 
5.5.5.5. 
 
 
Para que valores de a, o ângulo entre os vetores u→=i→+aj→+2k→ e v→=2j→ é de 
30o? 
Dado: cos(30o) = 32 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
-1 e 1 
 
-2 e 2 
 
0 
 
-4 e 4 
 
-3 e 3 
 6.6.6.6. 
 
 
Calcule ((2a→+b→).(a→-b→), sabendo-se que a→=(1,2,3) e b→=(0,1,2). Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
11 
 
14 
 
15 
 
12 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SIMULADO SIMULADO SIMULADO SIMULADO –––– 01.01.01.01. 
 
 1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029998) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Na física, se uma força constante F→ desloca um objeto do ponto A para o ponto B , o 
trabalho W realizado por F→, movendo este objeto, é definido como sendo o produto da 
força ao longo da distância percorrida. Em termos matemáticos escrevemos: 
 W = ( I F→I cos θ ) I D→ I, onde D→ é o vetor deslocamento e θ o ângulo dos dois vetores . 
Este produto tem um correspondente em Cálculo Vetorial. 
Sendo F→ = -2 i→ + 3j→ - k→ , medida em newtons, A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e com a unidade 
de comprimento metro, o trabalho realizado em joules é 
 
 13 
 15 
 7 
 9 
 3 
 2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026938) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Sabendo que o vetor V = 2uV = 2uV = 2uV = 2uxxxx + u+ u+ u+ uyyyy ---- uuuuzzzz forma um ângulo de 60° com o vetor ABABABAB definido pelos 
pontos A (3, 1, A (3, 1, A (3, 1, A (3, 1, ----2)2)2)2) e B (4, 0, t)B (4, 0, t)B (4, 0, t)B (4, 0, t), calcule o valor de tttt. 
 
 2 (raiz dupla) 
 2 e 3 
 -4 
 -2 (raiz dupla) 
 -2 e 3 
 3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026936) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Sejam os vetores AAAA = 4u= 4u= 4u= 4uxxxx + tu+ tu+ tu+ tuyyyy ---- uuuuzzzz e B = tuB = tuB = tuB = tuxxxx + 2u+ 2u+ 2u+ 2uyyyy + 3u+ 3u+ 3u+ 3uzzzz e os pontos C (4, C (4, C (4, C (4, ----1, 2)1, 2)1, 2)1, 2) e D (3, 2, D (3, 2, D (3, 2, D (3, 2, ----1)1)1)1). 
Determine o valor de tttt de tal forma que A . (B + DC) = 7A . (B + DC) = 7A . (B + DC) = 7A . (B + DC) = 7. 
 
 3 
 2 
 4 
 6 
 5 
 4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026211) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Determinar o valor de t para que os vetores u→=ti→+5j→-k→ e v→=2i→-2j→+2k→ sejam 
ortogonais. 
 
 0 
 -2 
 -6 
 6 
 2 
 
 
 5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029977) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e 
o mesmo comprimento. Sendo os vetores uuuu→→→→ e vvvv→→→→ representados, respectivamente, 
pelos segmentaos orientados AB^AB^AB^AB^ e CD^CD^CD^CD^ , temos: 
 
 u→ = -v→ ⇔ AB^~CB^ 
 u→ = v→ ⇔ BA^~DC^ 
 u→ = v→ ⇔ AB^~CB^ 
 u→ ≠ v→ ⇔ AB^~CB^ 
 u→ = -v→ ⇔ AC^~BD^ 
 
 6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026194) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
Calcular A→C-A→B2, sabendo que os pontos A, B, C e D são os vertices de um paralelogramo e 
que M e N são os pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. 
 
 
 A→N 
 A→D 
 D→M 
 A→M 
 
 
 7777aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309023482) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
A área do terreno representado abaixo, através do cálculo de áreas, com o auxílio de vetores é: 
 
 
 A = 57u.a. 
 A = 47u.a. 
 A = 67u.a. 
 A = 27u.a. 
 A = 37u.a. 
 8888aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029996) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0 
As idéias de produto escalar e produto vetorial de vetores têm grande importância na física e 
no estudo de funções, visto que, usados para interpretações a cerca da posição relativa de 
vetores, os resultados destes produtos nos dizem que: 
I - Se o produto escalar de dois vetores é nulo, então os vetores são ortogonais 
II - O vetor resultante do produto vetorial de dois vetores é simulta ea mente ortogonal a estes 
vetores 
III - O resultado do produto vetorial de dois vetores é nulo se, e somente se, estes dois vetores 
são colineares, ou iguais ou, ainda, se um deles é o vetor nulo 
Em relação às afirmações acima, temos: 
 
 I e III são falsas, II é verdadeira 
 I, II e III são verdadeiras 
 I é fasa, II e III são verdadeiras 
 I e III são verdadeiras, II é falsa 
 I é verdadeira, II e III são falsas 
 
 9999aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309072849) 
 
Dados os pontos A(3, m-1, -4) e B(8, 2m-1, m), determinar m de modo que |A→B|=35 
 
Sua Resposta: 
 
Compare com a sua resposta: 
 vec AB=B-A=(5,m,m+4) =>|(5,m,m+4)|=|3| => 25+m2+m2+8m+16=35. 
Resolvendo a equação: m = -1 ou m = -3 
 
 10101010aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309049844) 
 
Dados os vetores u=(2, -4), v = (-5, 1) e w = (-12, 6), determine a e b de modo que w = a.u + 
b.v. 
 
 
Sua Resposta: w = au + bv (-12,6) = a. (2,-4) + b(-5,1) = > 2a - 5b = -12 e -4a + b = 6 => 4a 
- 10b = -24 e -4a + b = 6 Somado as duas equações temos: -9b = -18 Logo b = 2. Aplicando o 
valor de b em -4a + b = 6 temos -4a + 2 = 6 => -4a = 4 => a = -1. 
 
Compare com a sua resposta: após montar a igualdade (-12, 6) = (2.a-5b,-4.a+b), temos a 
resolução do sistema com a = -1 e b = 2 
AULA 06.AULA 06.AULA 06.AULA 06. 
 
 
1.1.1.1. 
 
 
A equação da reta que passa pelo ponto (0, 2, (0, 2, (0, 2, (0, 2, ----1)1)1)1) e é paralela à reta: 
x = 1x = 1x = 1x = 1 + 2t;+ 2t;+ 2t;+ 2t; y = 3t;y = 3t;y = 3t;y = 3t; z = 5 z = 5 z = 5 z = 5 ---- 7t7t7t7t, é dada por: 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
x2 = y-23 = z+1-7 
 
x = -1 + 2t; y = -t; z = 5t 
 
y = 3; x-38 = z+1-6 
 
y = 3x - 2 
 
x = 0; y = ; z = -2 
 2.2.2.2. 
 
 
Determinar a equação do plano que passa pelos pontos (1,1,-1) , (-2,-2,2) e ( 1,-
1,2). 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
2x-y+3z=0 
 
x-3y-2z=0 
 
x+3y-2z=0 
 
x+3y+2z=0 
 
x-y-z=0 
 3.3.3.3. 
 
 
Para mostrar que a reta determinada pelos pontos A(4, 2, -6) e B(8, 8, 2) é 
paralela à reta determinada pelos pontos C(2, -1, -5) e D(8, 8, 7), basta 
considerar os seguimentos orientados AB¯, CD¯ e 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
 mostrar que AB¯ / CD¯ = K ; sendo K∈ℝ 
 
mostrar que os módulos dos segmentos orientados AB¯ e CD¯ são iguais 
 
mostrar que AB¯ x CD¯ = OOOO (vetor nulo) 
 
 encontrar K∈ℝ tal que AB¯ = K CD¯ 
 
encontrar K = 0 na expressão K = AB¯ . CD¯ 
 4.4.4.4. 
 
 
Sabendo que um plano é um objecto geométricoinfinito a duas dimensões, 
podemos afirmar que a equação do plano que passa pelos pontos A (-1, 2, 0); B(2, 
-1, 1) e C(1, 1, -1) é dada por: 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
-4x + 5y + 3z =6 
 
x ¿ 2y = 0 
 
4x + 5y + 3z =0 
 
4x + 5y + 3z = -6 
 
4x + 5y + 3z =6 
AULA 07.AULA 07.AULA 07.AULA 07. 
1.1.1.1. 
 
 
Uma equação linear com três variáveis determina um plano.Portanto 
Ax+By+Cz+D=0 é a equação geral de um plano e o vetor N=Ai+Bj+Ck é 
perpendicular a esse plano. Se D=0 o plano passa pela origem (0,0,0). Se A=0 (ou 
B=0,ou C=0) o plano é paralelo ao eixo dos x ( respectivamente , ou ao eixo dos 
y, ou ao eixo dos z). 
Dados os planos do R3 definidos pelas equações: 
 α : 3x +4y -z =0 ; β: x+4z -10 = 0 ; π: 2x +y -3=0 conclua: 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
α é um plano paralelo ao eixo dos y ; β é um plano paralelo ao eixo dos x e π é um plano 
paralelo ao eixo dos z. 
 
α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos y e π é um 
plano que passa pela origem. 
 
α ; β e π são planos que passam pela origem. 
 
α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos y e π é um 
plano paralelo ao eixo dos z. 
 
 α é um plano que passa pela origem ; β é um plano paralelo ao eixo dos x e π é um 
plano paralelo ao eixo dos z. 
 
 2.2.2.2. 
 
 
Dados os vetores →v=(1,1,3), u→=(-2,0,-6) e w→=(2,5,1), determine o 
vetor t→ortogonal a v→ e u→ e tal que t→.w→=5. 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
t→=(3,1,-1) 
 
t→=(1,0,1) 
 
t→=(1,1,-1) 
 
t→=(3,0,-1) 
 
t→=(2,0,-1) 
 
 3.3.3.3. 
 
 
Determinar os valores de k para que o ponto P(-1,2,-4) diste 6 unidades do plano 
2x-y+2z+k=0. 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
k=-6 ou k=30 
 
k=6 ou k=30 
 
k=6 ou k=-30 
 
k=-5 ou k=-30 
 
k=5 ou k=-30 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcular a distância do ponto A=(-2,3,1) ao plano π: 3x+2y+5z-1=0. Quest.: 4 
 
 
2/V38 
 
7/V38 
 
4/V38 
 
6/V38 
 
5/V38 
 5. 
 
 
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores u(2, -1, 0), v(6, m, -2) e w(-4, 0, 1) seja igual a 10. 
Quest.: 5 
 
 
m = -2 ou m = 2 
 
m = -4 ou m = 10 
 
m = -4 ou m = 6 
 
m = -4 ou m = 4 
 
m = -1 ou m = 6 
 
6. 
 
 
Em relação às retas r, s e t abaixo, é correto afirmar que: 
r: 2x - 3y + 5 = 0 
s: -3x + 4y - 2 = 0 
t: 6x + 4y - 2 = 0 
Quest.: 2 
 
 
r e t se encontram em P=(-1, 2). 
 
r e s possuem infinitos pontos de interseção. 
 
r e t são ortogonais. 
 
r e s são paralelas. 
 
s e t são coincidentes. 
AULA 08.AULA 08.AULA 08.AULA 08. 
1.1.1.1. 
 
 
 Sabendo que a parábola representa o gráfico da função de 2° grau, as 
equações: y2 = qx e x2 = qy 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
não descrevem parábolas, visto que, a equação geral da parábola é y = A x2 + B x + C 
 
 descrevem parábolas sendo q∈ℝ 
 
descrevem elipses se, e somente se, q≠0 
 
descrevem parábolas se, e somente se, q≠0 
 
descrevem elipses sendo q∈ℝ 
 
2.2.2.2. 
 
 
Determinar a equação e o foco da parábola e a equação da sua diretriz, sabendo 
que a parábola passa pelo foco esquerdo e pelas extremidades do eixo menor da 
elípse x2 + 5y2 = 20. 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
y^2 = x + 2; F (-13/4, 0); diretriz x = - 15/4 
 
y^2 = x + 4; F (+15/4, 0); diretriz x = + 17/4 
 
y^2 = x + 1; F (-11/4, 0); diretriz x = - 13/4 
 
y^2 = x + 4; F (-15/4, 0); diretriz x = - 17/4 
 
NDA 
 3.3.3.3. 
 
 
Os valores de b para os quais a parábola y = x2+ bx tem um único ponto em 
comum com a reta y = x - 1 são: 
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
-3 e -1 
 
0 e -1 
 
0 e 2 
 
-1 e 3 
 
-1 e 2 
 4.4.4.4. 
 
 
A equação da parábola de foco F(0,1) e diretriz de equação y + 1 = 0 é: Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
y = -4x2 
 
(y - 1)2 = 4x2 
 
y = -0,25x2 
 
x2 = 4y 
 
y = 4x2 
 5.5.5.5. 
 
 
Das equações abaixo, a que representa uma parábola de eixo coincidente com a 
reta y = 0, é: 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
y = x2 + 1 
 
y - x2 = 0 
 
x = y + 3 
 
- y2 + x2 = 1 
 
x = y2 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
6.6.6.6. 
 
 
Determine as coordenadas do vértice da parábola de equação: y=-1/12 x² + 5/6 
x + 23/12. 
 
 
(4,5) 
 
(-4,-5) 
 
(5,4) 
 
(-4,5) 
 
(5,-4) 
 
 
1.1.1.1. 
 
AULA 09.AULA 09.AULA 09.AULA 09. 
 
A equação geral da elipse cujo eixo maior mede 10cm e tem focos F1 (-3,3) e F2 
(5,3) é: 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
(x+2)24+(y-1)26=1 
 
(x+2)24+(y-1)25=1 
 
(x+2)24+(y-1)26=10 
 
(x+2)24+(y-7)26=1 
 
(x+4)24+(y-1)26=1 
 
 
 2.2.2.2. 
 
 
Uma elípse de centro na origem tem um foco no ponto (3,0) e a medida do eixo 
maior é 8. Determinar sua equação. 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
x2/7 + y2/25 = 1 
 
x2/7 + y2/16 = 1 
 
xxxx2222/16 + y/16 + y/16 + y/16 + y2222/7 = 1/7 = 1/7 = 1/7 = 1 
 
x2/9 + y2/25 = 1 
 
x2/16 + y2/25 = 1 
 
 
 3.3.3.3. 
 
 
Uma equação da forma x2p + y2q = 1 Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
descreve uma hipérbole 
 
descreve uma elipse se, e somente se, os números reais p e q são de sinais contrários 
 
descreve uma elipse se, e somente se, os números reaisdescreve uma elipse se, e somente se, os números reaisdescreve uma elipse se, e somente se, os números reaisdescreve uma elipse se, e somente se, os números reais pppp eeee qqqq são distintos e positivossão distintos e positivossão distintos e positivossão distintos e positivos 
 
descreve uma parábola, para p≠0 e q≠0 
 
descreve uma parábola, independentemente dos valores de p e q 
 
 
 4.4.4.4. 
 
 
As cônicas são as curvas geradas ou encontradas, na intersecção de um plano que 
atravessa um cone. Numa superfície afunilada, existem três tipos de cortes que 
podem ser obtidos por esse processo e que resultam na: 
1. Elipse, que é a cónica definida na interseção de um plano que atravessa a 
superficie de um cone; 
2. Parábola, que é a cónica também definida na intersecção de um plano que 
penetra a superficie de um cone; 
3. Hipérbole, que é a cónica definida na interseção de um plano que penetra 
num cone em paralelo ao seu eixo. 
Com base na definição acima, podemos afirmar que a equação (x - 2)2 + (y - 
3)2 = 9 descreve a 
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
circunferência de centrocircunferência de centrocircunferência de centrocircunferência de centro (2, (2, (2, (2, ----3)3)3)3) eeee raioraioraioraio 3333 
 
elipse de excentricidade -23 
 
parábola com foco (-2, 3) e vértice na origem 
 
elipse de centro (-2, 3) e excentricidade 3 
 
circunferência de centro (-2, 3) e raio 9 
 
 
 5.5.5.5. 
 
 
Para delimitar um gramado de um jardim foi traçada uma elippse inscrita num 
terreno retangular de 20m por 16m. Para isto utilizou-se um fio esticado preso 
de um ponto P da elipse até dois pontos M e N do eixo maior horizontal da 
elipse,os focos da elipse. Qual é a distância entre os pontos M e N ? 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
15m 
 
10m 
 
10,5m 
 
12m12m12m12m 
 
18m 
 
 
 6.6.6.6. 
 
 
A equação da elipse que passa pelos pontos (2,0) , (-2,0) e (0,1) é: Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.:6 
 
 
x²-4y²=4 
 
x²+y²=4 
 
4x²+4y²=1 
 
4x²+y²=4 
 
x²+4y²=4x²+4y²=4x²+4y²=4x²+4y²=4 
 
 
AULA 10.AULA 10.AULA 10.AULA 10. 
1.1.1.1. 
 
 
Encontre sobre o eixo Oy todos os pontos que se encontram a uma distância d = 
4 do plano x + 2y - 2z - 2 = 0 
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1 
 
 
(1, 7, 0) e (1, -5, 0) 
 
(0, 7, 1) e (0, -5, 1) 
 
(0, -7, 0) e (0, 5, 0) 
 
(0, 7, 0) e (0, (0, 7, 0) e (0, (0, 7, 0) e (0, (0, 7, 0) e (0, ----5, 0)5, 0)5, 0)5, 0) 
 
(0, 10, 0) e (0, -5, 0) 
 
 
 2.2.2.2. 
 
 
Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(2, 1, 0) e Q(3, 4, 2) e é 
perpendicular ao plano (π): x+y+z+5=0. 
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2 
 
 
x-y-z+3=0 
 
2x+y-z+3=0 
 
x-y-z-3=0 
 
x+yx+yx+yx+y----2z2z2z2z----3333=0 
 
2x-y-2z-3=0 
 
 
 3.3.3.3. 
 
 
Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3 
 
 
10 
 
20 
 
20 x(2)1/2 
 
5x (2)1/2 
 
10101010 x (2)x (2)x (2)x (2) 1/21/21/21/2 
 
 
 4.4.4.4. 
 
 
Encontre a distância entre os pontos P1(-2, 0, 1) e P2(1, -3, 2). Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4 
 
 
7 
 
19191919 
 
1/2 
 
4 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 5.5.5.5. 
 
 
Sabendo que o ângulo formado entre duas superfícies perpendiculares é de 90º, 
determine um vetor NNNN perpendicular ao plano determinado pelos três pontos 
A(1, - 1, 2), B (2,0,-1) e C(0,2,1) 
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5 
 
 
λ(2uuuuxxxx - uuuuyyyy - uuuuzzzz), em que λ é um escalar qualquer não nulo 
 
λ(uuuuxxxx - uuuuyyyy + uuuuzzzz), em que λ é um escalar qualquer não nulo 
 
λ(2λ(2λ(2λ(2uuuuxxxx ++++ uuuuyyyy + 2+ 2+ 2+ 2uuuuzzzz),),),), em que λ em que λ em que λ em que λ é um escalar qualquer não nuloé um escalar qualquer não nuloé um escalar qualquer não nuloé um escalar qualquer não nulo 
 
λ(2uuuuxxxx - uuuuyyyy + 2uuuuzzzz), em que λ é um escalar qualquer não nulo 
 
 
 λ(2uuuuxxxx - uuuuyyyy + uuuuzzzz), em que λ é um escalar qualquer não nulo 
 
 
 
 
 6.6.6.6. 
 
 
Fixados dois pontos F1 e F2 de um plano alfa, tal que a distância entre F1 e F2 é 
igual a 2c, com c > 0. O conjunto dos pontos P ao plano alfa cuja diferença, em 
módulo, das distâncias PF1 e PF2 é uma constante 2a, com 0 < 2a < 2c é 
conhecido como: 
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6 
 
 
plano 
 
elipse 
 
parábola 
 
hipérbolehipérbolehipérbolehipérbole 
 
circunferência