Exercícios Resolvidos e Propostos - Probabilidade e Estatística

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Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
Aula 8 - Questões Comentadas e Resolvidas 
Variável Aleatória: definição, função discreta de probabilidade, função 
de distribuição de probabilidade, função densidade de probabilidade. 
Valor Esperado: média, variância e valor esperado de função de 
variável aleatória. Desigualdade de Chebyshev. Principais distribuições 
de probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.). 
1. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) O número de televisores 
modelo M vendidos diariamente numa loja é uma variável aleatória discreta 
(X) com a seguinte distribuição de probabilidades: 
O preço unitário de venda do televisor modelo M é de R$ 1.000,00. Se num 
determinado dia a receita de vendas referente a este modelo for inferior a R$ 
3.000,00, a probabilidade dela ser positiva é 
A) 20% 
B) 30% 
C) 50% 
D) 60% 
E) 75% 
Resolução 
PRELIMINARES 
A Noção de Variável Aleatória 
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Uma variável aleatória é uma descrição numérica do resultado de um 
experimento. 
Por exemplo, considere o experimento "contactar cinco clientes". Seja X a 
variável aleatória que representa o número de clientes que colocam um pedido 
de compra. Então os valores possíveis de X são 0, 1, 2, 3, 4 e 5. 
Uma variável aleatória X é denominada discreta se assume valores num 
conjunto contável ou enumerável (como o conjunto dos números inteiros Z ou 
o conjunto dos números naturais N) , com certa probabilidade. Formalmente, 
uma variável aleatória é uma função, e não uma "variável" propriamente 
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dita. A variável aleatória do exemplo anterior é discreta. Também são 
exemplos de variáveis aleatórias discretas: 
• Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas; 
• Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, 
aleatoriamente, de um lote; 
• Número de defeitos em um carro que sai de uma linha de 
produção. 
Vejamos um outro exemplo. Considere o lançamento de duas moedas 
mencionado acima. O espaço amostral (isto é, o conjunto de todos os 
resultados possíveis do experimento) é 
Voltemos à resolução da questão. Muitas vezes, o fato de sabermos que certo 
evento ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribuímos a 
outro evento. Denotamos por P(A|B) a probabilidade do evento A, sabendo que 
B ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. Temos 
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{(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, 
e os valores que a variável aleatória X (número de coroas) pode assumir são 
X = {0, 1, 2}. 
Observe que o valor x = 0 está associado ao resultado (cara, cara), o valor x = 
1 está associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2 
está associado ao resultado (coroa, coroa). 
Uma variável aleatória contínua é uma função que associa elementos do 
espaço amostral ao conjunto dos números reais (conjunto não enumerável). 
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: 
• Tempo de resposta de um sistema computacional; 
• Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento; 
• Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão. 
A questão pede que o candidato calcule a probabilidade de a receita de vendas 
num dado dia ser positiva sabendo-se que ela é inferior a R$ 3.000,00 naquele 
mesmo dia, ou seja, deve ser calculada a probabilidade condicional 
P(receita de vendas > 0 | receita de vendas < R$ 3.000,00). 
Ora, a probabilidade acima é igual à probabilidade 
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X 0 1 2 3 
P(x) 0,20 0,30 0,30 0,20 
2. (BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO/Adaptada) A variável aleatória 
contínua x tem a seguinte função de densidade de probabilidade: 
PRELIMINARES 
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em que X é a variável aleatória que denota o número de televisores modelo M 
vendidos diariamente. 
Precisamos encontrar o valor da incógnita p para resolver a questão. Para tal, 
usaremos a equação 
p + 1,5p + 1,5p + p = 1 
Então, 
Assim: 
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,20 + 0,60 = 0,80 
Logo, 
75% 
GABARITO: E 
para todos os outros valores de x. 
Sendo k uma constante, seu valor é igual a 
A) 1 
B) -3/4 
C) 2/3 
D) -5/24 
E) 1/12 
Resolução 
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Função Densidade de Probabilidade 
Diz-se que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função densidade 
de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas 
condições: 
A figura abaixo mostra o significado geométrico da fórmula acima: a 
2. a área definida por f(x) é igual a 1. 
A condição 2 é dada pela integral (memorize para a prova!) 
A figura a seguir ilustra uma função densidade que satisfaz: 
que T é uma constante, para = 0 para os demais valores, 
Para calcular probabilidades, temos que, para 
é igual a área sob f(x) no intervalo [a,b]. 
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de maneira que a função tem a forma de um pulso retangular. Observe que 
f(x) deve ser igual a 1/T para pois a área sob a função densidade 
é unitária (como a base do pulso é T, então a altura do pulso deve ser 1/T, 
para que a área do pulso seja igual a 1). 
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Observe que a probabilidade de ocorrência de um dado valor isolado "k" é 
sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0. 
Gostaríamos de apresentar para vocês um "bizu" de integração antes de 
prosseguir com a resolução da questão. De acordo com a fórmula de Newton-
Leibniz, temos que 
Podemos generalizar a integração exemplificada acima para integrandos do 
tipo g(x) = xn, em que n é um valor inteiro: 
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Voltemos à resolução. Para determinar o valor de k, basta lembrar que a área 
sob a função densidade de probabilidade f(x) é unitária: 
b. A função F(x) é denominada primitiva de g(x). 
x3. Assim, 
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Vamos retornar para a resolução? Precisamos substituir a função f(x) na 
Resolução 
Deve-se descartar as opções A, C e E, pois a probabilidade de X cair no 
intervalo [a,b] é dada pela seguinte integral (observe que o enunciado afirma 
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GABARITO: D 
3. (Analista/SUSEP/2006/ESAF) Se a variável X pode assumir um conjunto 
infinito (contínuo) de valores, o polígono de freqüência relativa de uma 
amostra torna-se uma curva contínua, cuja equação é Y = p(X). A área total 
limitada por essa curva e pelo eixo dos X é igual a 1 e a área compreendida 
entre as verticais X = a e X = b, sendo a < b e, ambos, contidos na área total 
da curva, a probabilidade de X cair neste intervalo a e b é dada por 
composta pela soma de P(X=a) + P(X=b). 
composta pela integral de P(X=a) até P(X=b). 
composta pela somade P(X=a) - P(X=b). 
composta pela integral de P(X=a) até P(X=b). 
composta pela P(X=b), de forma cumulativa até o ponto b. 
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que "(..) o polígono de freqüência relativa de uma amostra torna-se uma curva 
contínua"): 
A opção D é incorreta porque o sinal da desigualdade está trocado (P(a>X>b) 
no lugar de P(a<X<b)). Logo, B é a opção correta. 
GABARITO: B 
4. (AFRFB/2009/ESAF/adaptada) A função densidade de probabilidade de 
uma variável aleatória contínua x é dada por: 
Resolução 
PRELIMINARES 
A Noção de Média ou Expectância de Variável Aleatória 
A média (também conhecida como valor esperado, expectância ou 
esperança) é uma medida de posição de uma função de probabilidade, 
servindo para localizar a função sobre o eixo de variação da variável em 
questão. Em particular, a média caracteriza o centro de uma função de 
probabilidade. A média é uma característica numérica de uma função de 
probabilidade. 
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Obs.: c.c. denota "caso contrário". 
Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e 
denotada por E(x) é igual a: 
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Se X for uma variável aleatória discreta que pode tomar os valores x1, x2, ..., 
xn com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), então a média de X é definida por 
em que E denota o operador esperança matemática. A média de X também 
O valor esperado de uma variável aleatória contínua X com densidade de 
probabilidade fX(x) é dado pela integral 
Voltemos à resolução. Primeiramente, devemos descartar as opções D e E, 
pois a média de uma variável aleatória é um número. Observe que as opções 
apontadas são funções de x e não números! 
Vimos que o cálculo da esperança E[X] da variável aleatória contínua X é feito 
pela integração 
Observe que a função densidade de probabilidade é nula para x < -1 e x > 0. 
Logo o limite inferior da integral é -1 e o superior é 0. Portanto, 
GABARITO: C 
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é usualmente representada por 
(leia-se "mi"). 
(leia-se "X barra") ou pela letra grega 
Se a variável aleatória discreta X puder tomar um número infinito de valores, 
então a fórmula anterior pode ser generalizada na forma 
Como a primitiva da integral temos que 
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5. (AFRFB/2009/ESAF) A tabela mostra a distribuição de freqüências 
relativas populacionais (f') de uma variável X: 
X f ' 
- 2 6a 
1 1a 
2 3a 
Sabendo que "a" é um número real, então a média e a variância de X são, 
respectivamente: 
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PRELIMINARES 
Valor Esperado de Função de Variável Aleatória 
Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade fX(xi) e 
g(X) uma função de X. Então o valor esperado de g(X) é 
Resolução 
Caso X seja uma variável aleatória contínua com densidade de 
probabilidade fX(x), o valor esperado de g(X) é dado por 
Se g(X) = g1(X) + g2(X), em que g1(X) e g2(X) também são funções de X, então 
vale 
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Relacionamos abaixo algumas propriedades importantes da esperança 
matemática E(.). Sejam "a" e "c" valores constantes e X uma variável aleatória 
(tanto faz se contínua ou discreta), então valem: 
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1. 
"c"; 
a média de um número qualquer "c" é o próprio número 
a média de uma variável multiplicada por um 
número é igual ao número multiplicado pela média de X; 
a média da soma de um número qualquer 
"a" com a variável X multiplicada por um número qualquer c é igual à 
soma do número "a" com a média de X multiplicada por "c". 
O Conceito de Variância 
Sejam X uma variável aleatória (discreta ou contínua) 
função de X. Define-se a variância de X (denotada por var(X) 
valor esperado 
Desenvolvamos a expressão acima. 
pois colocamos 
igualdade e 
em evidência no segundo termo do lado direito da 
A variância de X é igual a média do quadrado de X subtraída da 
média de X ao quadrado (memorize para a prova!). 
Sejam "a" e "c" constantes e Z = a + cX. Observe que Z é uma transformação 
linear de X, porque Z = a+cX define a equação de uma reta com declividade 
"c" e intercepto "a". Não é difícil demonstrar que vale a propriedade 
A raiz quadrada positiva da variância é chamada de desvio-padrão ou 
erro-padrão, sendo denotada pelo símbolo (memorize para a prova!). 
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Voltemos à questão. Em primeiro lugar, deve-se eliminar a opção B, pois não 
existe variância com valor negativo. Assim, esta opção é absurda. 
Soma das Freqüências Relativas = 6a + 1a + 3a = 10a = 1. 
Logo a = 0,1. 
X f ' X.f ' X2.f ' 
- 2 6a = 6 x 0,1 = 0,6 -1,2 2,4 
1 1a = 1 x 0,1 = 0,1 0,1 0,1 
2 3a = 3 x 0,1 = 0,3 0,6 1,2 
Total 1 -0,5 3,7 
Vimos que a média de uma variável aleatória discreta é calculada pela fórmula 
Cenário Lucro (R$) Distribuição de 
Probabilidades do Cenário 
Bom R$ 8 000,00 0,25 
Médio R$ 5 000,00 0,60 
Ruim R$ 2 000,00 0,15 
A expectância e a variância do lucro são, em R$ e (R$)2, respectivamente, 
A) 5 500,00 e 3 160,00 
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Para a questão temos 
podemos eliminar as 
opções C e E (sobraram A e D). 
A variância é dada por 
sendo que (reparou que a opção D é uma 
"pegadinha"?). Logo, 
GABARITO: A 
6. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Um empresário, investindo em um 
determinado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em função dos 
cenários "Bom", "Médio" e "Ruim": 
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B) 5 300,00 e 3 510,00 
C) 5 300,00 e 3 160,00 
D) 5 000,00 e 3 510,00 
E) 5 000,00 e 3 160,00 
Resolução 
Expectância: E(X) 
Variância: Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 
E(X) = ZX.P(X) = 8 x 0,25 + 5 x 0,60 + 2 x 0,15 = 5,3 mil = 5.300,00 
E(X2) = 82 x 0,25 + 52 x 0,60 + 22 x 0,15 = 31,6 mil 
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Var(X) = 31,6 - 5,32 = 3,51 mil = 3.510,00 
GABARITO: B 
7. (AFPS/2002/ESAF) Sejam X1,...,Xn observações de um atributo X. Sejam: 
A) Pelo menos 95% das observações de X diferem de 
menos que 2S. 
B) Pelo menos 99% das observações de X diferem de 
menos que 2S. 
C) Pelo menos 75% das observações de X diferem de 
menos que 2S. 
D) Pelo menos 80% das observações de X diferem de 
menos que 2S. 
E) Pelo menos 90% das observações de X diferem de 
menos que 2S. 
em valor absoluto por 
em valor absoluto por 
em valor absoluto por 
em valor absoluto por 
em valor absoluto por 
Resolução 
Note que todas as opções envolvem a seguinte frase padrão: "pelo menos Y% 
das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S". 
Vamos equacionar esta frase? Fica da seguinte forma: 
Assinale a opção correta.A Distribuição Binomial 
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A expressão acima sugere que trata-se de uma questão que cobra a aplicação 
da desigualdade de Chebyshev. 
Vamos relembrar a definição da desigualdade? Seja X uma variável aleatória 
valem as seguintes 
relações 
Observe que as expressões correspondem, 
respectivamente, à média aritmética e a variância de um conjunto de dados 
Suponha que você tenha à sua disposição um número n muito grande 
de observações da variável aleatória X. Neste caso, é razoável supor que 
(é assim que se faz na prática!). Substituindo 
na desigualdade, obtemos 
GABARITO: C 
8. (ICMS-RJ/2010/FGV). 40% dos eleitores de uma certa população 
votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem 
escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham 
votado no candidato A é igual a: 
Concluímos que pelo menos 75% das observações de X diferem de 
absoluto por menos que 2S. 
em valor 
Resolução 
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Considere os seguintes experimentos aleatórios e variáveis aleatórias: 
1. Jogue uma moeda 50 vezes. Seja X = número de caras obtidas. 
2. Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade, seja X = número de 
nascimentos de meninos. 
Cada um desses experimentos aleatórios pode ser pensado como consistindo 
em uma série de tentativas aleatórias e repetidas: 50 arremessos de moedas 
no experimento (1) e 30 nascimentos de bebês no experimento (2). A variável 
aleatória em cada caso é uma contagem do número de tentativas que 
satisfazem um determinado critério. O resultado de cada tentativa satisfaz ou 
não o critério que X conta; por conseguinte, cada tentativa pode ser 
sumarizada como resultando em um sucesso ou um fracasso (falha ou 
insucesso), respectivamente. Por exemplo, sucesso, no experimento (1), é a 
obtenção de cara no lançamento da moeda. No experimento (2), o nascimento 
de uma menina é um fracasso. 
Uma tentativa com somente dois resultados possíveis é denominada tentativa 
de Bernoulli. Considera-se que as tentativas que constituem o experimento 
aleatório sejam independentes. Ou seja, o resultado de uma tentativa não tem 
efeito sobre o resultado da tentativa seguinte. Além disso, admitimos que a 
probabilidade de um sucesso em cada tentativa seja constante. 
Definição: 
Um experimento aleatório, consistindo em n repetidas tentativas, de modo que 
(1) as tentativas sejam independentes, 
(2) cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados 
por "sucesso" e "fracasso", 
(3) a probabilidade de um sucesso em cada tentativa seja p 
é chamado de experimento de Bernoulli (ou Binomial). A variável 
aleatória X, que conta o número de sucessos em n tentativas, tem 
distribuição binomial (ou de Bernoulli) com parâmetros p e n. A função de 
probabilidade de X (distribuição binomial) é 
Se fizermos (1-p) = q (é a probabilidade de insucesso em uma tentativa) na 
função de probabilidade acima, obtemos 
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Alguns autores optam por definir a distribuição binomial como a probabilidade 
de se ter k sucessos em n tentativas: 
A figura abaixo mostra a distribuição da Binomial para n = 10 e p = 1/2. 
A Tabela a seguir fornece a média, a variância e o desvio padrão da 
Distribuição Binomial. 
Tabela: Caracterização da Binomial 
Voltemos à resolução. A probabilidade de que três eleitores tenham votado no 
candidato A (k=3 "sucessos") em n = 5 tentativas, sendo p=0,4 (probabilidade 
de sucesso), é dada pela distribuição binomial 
Logo, 
GABARITO: C 
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9. (Analista/SUSEP/2006/ESAF). Um grupo de 1.000 pessoas tem a 
seguinte composição etária (em anos): 
- [0 - 20]: 200 pessoas; 
- [21 - 30]: 200 pessoas; 
- [31 - 40]: 200 pessoas; 
- [41 - 50]: 200 pessoas; 
- de 51 anos em diante: 200 pessoas; 
Considerando que as probabilidades média de morte (qx), segundo uma 
determinada tábua, é de: 
- [0 - 20] até 20 anos: 0,600% o (por mil); 
- [21 - 30]: 0,800% o (por mil); 
- [31 - 40]: 1,500% o (por mil); 
- [41 - 50]: 5,000% o (por mil); 
- de 51 anos em diante: 20,000% o (por mil). 
Pode-se afirmar que a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10 
pessoas com idade superior a 51 anos é um evento: 
(A) Certo. 
(B) Impossível. 
(C) Provável. 
(D) Muito Provável. 
(E) Pouco Provável. 
Resolução 
O problema é uma mera aplicação da Lei Binomial. Seja X a variável aleatória 
que denota o número de mortes de pessoas com idade de 51 anos em diante. 
Neste caso, temos um "sucesso" quando alguém desta faixa etária morre. A 
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probabilidade de sucesso é Lembre que a 
distribuição binomial é dada pela fórmula (probabilidade de X = k sucessos) 
Logo, a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10 pessoas com idade 
superior a 51 anos é dada por 
(200^ 10 190 
P(X = 10) = X 0,02 X 0,98 
10 \íyj J 
GABARITO: E 
10. (AFRFB/2009/ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma 
refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois 
petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no 
máximo três petroleiros em dois dias é igual a: 
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Como é proibido usar calculadora na prova, deve-se partir para uma análise 
qualitativa dos fatores da probabilidade P(X = 10): 
representa um número muito grande; 
representa um número "absurdamente" próximo de zero, ou seja, é 
um infinitesimal; 
representa um número próximo de zero, pois elevar um número 
menor que 1, ainda que bastante próximo da unidade, à centésima potência, 
resulta em um valor próximo de zero. 
Note que, se é um infinitesimal, então o produto também é 
um infinitesimal (ainda mais próximo de zero que 0,0210). 
Assim, o número deve estar próximo de zero, pois 
corresponde ao produto de um valor muito grande por um infinitesimal. Ou 
seja, é um valor "pouco provável" (opção E). 
Nota: obtivemos com uma calculadora científica. 
Resolução 
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A Distribuição de Poisson 
A distribuição de Poisson com parâmetro a (a > 0) é dada por 
A Tabela a seguir fornece a média, a variância e o desvio padrão da 
Distribuição de Poisson 
Tabela: Caracterização da Poisson 
Observe que a média é igual a variância, e que ambas são iguais ao 
parâmetro a. 
A fórmula acima caracteriza o processo de contagem de Poisson, o qual é 
apropriado para aplicações que envolvam a contagem do número de vezes que 
um evento aleatório ocorre em um dado intervalo de tempo, distância,área, 
etc. Algumas aplicações que envolvem a distribuição de Poisson incluem o 
número de pessoas que entram em uma loja em uma hora e o número de 
falhas por 1.000 metros de fita de vídeo. 
Neste ponto, estamos prontos para apresentar a definição formal da Lei ou 
Distribuição de Poisson, o que será feito a seguir. 
Seja a contagem do número de ocorrências de eventos no intervalo (t, t+T). Se 
o intervalo puder ser dividido em subintervalos suficientemente pequenos tal 
que 
(1) a probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja zero, 
(2) a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para 
todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo e 
(3) a contagem em cada subintervalo seja independente de outros 
subintervalos, 
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médio de eventos por unidade da grandeza 
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então esse experimento aleatório será designado por processo de Poisson. 
Se o número médio de contagens no intervalo for a > 0, a variável aleatória X, 
que representa o número de contagens no intervalo, terá uma distribuição de 
Poisson, com parâmetro a, dada por 
volume, distância, etc. Ou seja, o processo de Poisson não é necessariamente 
um processo de contagem no tempo. 
Nota: na literatura (e também nas provas!), é bastante comum encontrarmos 
a seguinte definição para a Lei (distribuição) de Poisson: 
Observe que a fórmula acima pode ser obtida fazendo-se 
Voltemos ao exercício. Vimos que a distribuição de Poisson pode ser dada por 
a taxa média de ocorrência dos eventos por unidade de 
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Neste caso, 
subentende-se que o intervalo de contagem é unitário, ou seja, T = 1. 
A figura a seguir representa a distribuição de Poisson com 
definição 
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Dados da questão: 
GABARITO: C 
11. (ICMS-SP/2009/FCC) O número de pessoas que chega ao guichê de 
uma repartição pública para autuação de processos apresenta uma distribuição 
de Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de que 
nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guichê é 
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máximo três petroleiros em dois dias, denotada por 
Observação: 
e = 2,71828... 
Resolução 
A distribuição de Poisson com parâmetro a (a > 0) é dada por 
Portanto, Ár = 2 x 2 = 4 petroleiros. A probabilidade de a refinaria receber no 
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A probabilidade de que nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma 
pessoa é dada por: 
GABARITO: A 
12. (ICMS-RJ/2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, 
os serviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com 
média de 2 pacientes por dia. 
Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele 
consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes 
são perdidos para outros para outros cirurgiões. 
Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diária do 
cirurgião. 
A) R$ 5.600,00 
B) R$ 8.400,00 
C) R$ 10.000,00 
D) R$ 14.400,00 
E) R$ 20.000,00 
Resolução 
Seja R a variável aleatória que representa a receita diária do cirurgião. Essa 
variável aleatória só pode assumir três valores possíveis, quais sejam: r1 = R$ 
0,00 (zero cirurgia), r2 = R$ 10.000,00 (uma cirurgia) e r3 = R$ 20.000,00 
(duas cirurgias). Sabe-se que o valor esperado da receita diária do cirurgião, 
denotado por E(R), é dado pela fórmula 
distribuição de Poisson? A resposta é NÃO e a justificativa é simples: a 
distribuição de R é discreta e possui apenas três probabilidades. 
A probabilidade do cirurgião não faturar num determinado dia (denotada por 
P(R=0)) é igual à probabilidade da variável aleatória X (que representa o 
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número de clientes que buscam, em cada dia, o cirurgião) ser igual a zero. De 
acordo com o enunciado, X tem distribuição de Poisson. Logo, P(R=0) = P(X=0) 
é dada por: 
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A probabilidade de o cirurgião faturar R$ 10.000,00 num determinado dia 
(P(R=10.000)) é igual à probabilidade da variável aleatória X ser igual a um: 
O cirurgião consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes 
excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Sendo assim, o cirurgião 
faturará R$ 20.000,00 num determinado dia caso seja procurado por 2 ou mais 
clientes. Portanto, P(R=20.000) = P(X > 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 -
0,14 - 0,28 = 0,58. 
O valor esperado da receita diária do cirurgião é então 
E(R) = 0x0,14 + 10.000,00x0,28 + 20.000,00x0,58 = R$ 14.400,00 
GABARITO: D 
13. (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF). 
Resolução 
Esta questão aborda o comportamento assintótico da Lei Binomial (lei de 
Poisson). 
Suponha n >> 1 (isto é, que n seja grande), p << 1 (probabilidade de sucesso 
próxima de zero), mas de tal forma que np permaneça constante, digamos np 
na distribuição binomial 
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a distribuição Binomial pode ser 
Portanto 
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(admitindo-se k 
<< n), obtemos 
A função de distribuição F(x) de uma variável aleatória contínua X pode ser 
posta na forma 
O resultado acima mostra que 
aproximada pela Distribuição de Poisson quando n >> 1, p << 1, 
GABARITO: B 
14. (AFPS/2002/ESAF). A variável aleatória X tem distribuição uniforme no 
intervalo é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor 
A) 3/4 
B) 1/4 
C) 1 
D) 5/7 
E) 1/2 
Resolução 
PRELIMINARES 
Função de Distribuição de Probabilidade 
A função de distribuição (ou acumulada) de probabilidade F(x) de uma 
variável aleatória X é definida por 
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em que f(x) denota a função densidade de probabilidade. 
Distribuição Uniforme 
Uma variável aleatória contínua X com uma função densidade de probabilidade 
tem distribuição uniforme (veja a figura a seguir). 
A média de uma variável aleatória uniforme é 
Voltemos à resolução de exercício. O enunciado define a distribuição uniforme 
ilustrada pela figura abaixo. 
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| . A 
E a variância 
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z 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 
P(0<Z<z) 0,34 0,39 0,43 0,46 0,48 0,49 
15. Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional 
apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio 
padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregadoscom salários 
superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é 
(A) 98% 
(B) 96% 
(C) 92% 
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Sabemos que 
F(0,5) = área sob a curva uniforme entre x = 0 e x = 0,5. 
Então, 
GABARITO: D 
(APOFP-SP/2010/FCC/Adaptada) Instruções: para resolver às próximas 
duas questões utilize as informações abaixo referentes à distribuição normal 
padrão Z: 
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(D) 89% 
(E) 87% 
Resolução 
PRELIMINARES 
A Distribuição Normal 
Uma variável aleatória X tem distribuição normal (também denominada 
Não fique assustado(a) com a fórmula acima. Você não precisará decorá-la 
para a prova, pois os exercícios que envolvam a distribuição normal serão 
resolvidos com o auxílio de uma tabela de probabilidades, como será visto 
mais adiante. 
Neste curso, usaremos a notação 
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para indicar que X tem 
distribuição normal com parâmetros A figura acima mostra a curva 
normal padrão. Repare que o seu formato é parecido com o de um sino. 
A distribuição normal possui as seguintes propriedades: 
aussiana pelos engenheiros) com parâmetros 
§ dada por 
se sua função densidade 
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Demonstra-se que os parâmetros denotam a média e a variância da 
distribuição normal, respectivamente (memorize para a prova!). 
Z terá média zero e variância 1. Não é fácil mostrar que Z também tem 
distribuição normal, ou seja, Z - N(0, 1). Isso não será feito nesta aula. Diz-se 
que Z tem distribuição normal padrão ou normal reduzida. Esta 
distribuição é muito importante para a prova. 
prova!). 
A figura acima mostra que: 
dos valores da distribuição normal; 
contém 95,45% dos valores da distribuição normal. 
contém 99,73% dos valores da distribuição normal. 
- o intervalo 
- o intervalo 
- o intervalo 
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória normal padrão é 
usualmente denotada por Ressaltamos que (memorize para a prova!) 
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O apêndice contém tabelas auxiliares que fornecem os valores das seguintes 
probabilidades: 
normal 
padrão 
Atenção: podemos generalizar o resultado (4) para qualquer variável aleatória 
Dê uma olhada nas tabelas auxiliares da normal padrão; é importante que 
você esteja familiarizado com o uso das tabelas! 
Exemplo. Seja a variável aleatória normal padrão Z e as tabelas auxiliares da 
normal. 
= 0,1038 (veja a figura a seguir). A Tabela I nos dá esse resultado de forma 
direta, pois P(Z>1,26) = 0,1038. 
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A Tabela II do apêndice da normal reduzida indica que 
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Memorize o resultado acima para a prova, pois o mesmo será muito 
utilizado para resolver questões de Estatística que envolvam a distribuição 
normal (vide figura a seguir). 
normal 
Voltemos à questão. De acordo com o enunciado, a distribuição dos salários 
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dos empregados (variável X) é normal com parâmetros 
= 160 (desvio padrão). Pede-se a proporção dos empregados com salários 
superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00, ou seja, a probabilidade 
P[1.000<X<1.520]. 
Seja a nova variável Z 
que 
em que Z é a normal padrão. Aprendemos 
A tabela da normal padrão fornece as seguintes probabilidades: 
padrão é simétrica em relação à origem z =0. 
GABARITO: E 
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16. A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é 
considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4 
metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas 
destes cabos é igual a 
(A) 9,4 metros. 
(B) 8,4 metros. 
(C) 8,2 metros. 
(D) 8,0 metros. 
(E) 7,8 metros. 
Resolução 
Foram dadas as seguintes probabilidades: P(X<2,4) = 0,07 e P(X>16,4) = 
0,02. É razoável supor que a banca tenha fornecido dois valores extremos da 
normal (x1 = 2,4 e x2=16,4) e que a média esteja situada em algum valor entre 
os dois extremos (uma rápida olhada nas opções confirma essa suspeita!). 
De acordo com a tabela, P(0<Z<1,5) = 0,43 = P(-1,5<Z<0) (lembre que a 
normal é simétrica). Logo, P(Z<-1,5) = 0,5 - P(-1,5<Z<0) = 0,5 - 0,43 = 
0,07, o que nos leva a afirmar (sem medo de errar!) que z=-1,5 é o valor 
transformado de x=2,4. Similarmente, P(Z>2,0) = 0,5 - P(0<Z<2,0) = 0,5 -
0,48 = 0,02, e isto indica que z=2,0 corresponde ao valor reduzido de x=16,4. 
O fato dos erros associados às medições serem bem modelados pela 
distribuição normal é um dos motivos de sua grande popularidade. Além disso, 
a distribuição da soma de um grande número de observações 
independentes e identicamente distribuídas tende para a distribuição 
normal. Este teorema, denominado "Teorema Central do Limite", será 
apresentado de forma mais detalhada em outra aula. 
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A média das medidas dos cabos é então determinada resolvendo-se o 
seguinte sistema de equações: 
COMENTÁRIOS ADICIONAIS 
Propriedade reprodutiva da Distribuição Normal 
variáveis aleatórias normais e independentes, com 
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são constantes, será uma variável aleatória normal com 
17. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é 
representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é, por 
definição, igual à área sob f(x), a qual é unitária, pois representa a 
probabilidade do evento certo. Conferindo: 
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e variância 
Então a média da soma de n variáveis normais e independentes é igual à soma 
das n médias individuais 
e a variância da soma de n variáveis normais e independentes é igual à soma 
das variâncias individuais 
GABARITO: B 
O enunciado a seguir refere-se às próximas duas questões. 
Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade 
para os demais valores. 
(A) 0 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,5 
(E) 1 
Resolução 
O gráfico da função densidade de probabilidade 
GABARITO: E 
18. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é 
19. (AFPS/2002/ESAF) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de 
produção de 100 peças mecânicas são, respectivamente, 16kg e 40g. Uma 
peça particular do lote pesa 18kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado 
do peso da bola. 
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(A) 0 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,5 
(E) 1 
Resolução 
A probabilidade dese obter X maior do que 0,5 é igual à área sob f(x) no 
GABARITO: C 
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0,6745 = (x - 2)/2 ^ x = 1,3490 + 2 = 3,3490 
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A) -50 
B) 0,05 
C) 50 
D) -0,05 
E) 0,02 
Resolução 
Dados fornecidos: 
- peso de uma peça = 18kg = 18 x 1.000g = 18.000g 
Valor padronizado: 
(18.000 - 16.000)/40 = 2.000/40 = 50 
GABARITO: C 
20. (AFPS/2002/ESAF) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e 
variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-
se que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745. 
A) 3,3490 
B) 0,6745 
C) 2,6745 
D) 2,3373 
E) 2,7500 
Resolução 
Dados fornecidos: 
Sabemos que o valor padronizado é dado pela fórmula 
Aplicando a fórmula acima para o terceiro quartil da normal padrão, obtemos 
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GABARITO: A 
21. (ICMS-RJ/2008/FGV) Dentre as distribuições de probabilidades a 
seguir, aquela em que E(X) = E(X-E(X))2 é: 
A) de densidade 
Resolução 
(B) a distribuição 
INCORRETA. 
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B) de densidade 
A relação E(X) = E(X-E(X))2 pode ser reescrita como (média igual a 
variância da distribuição). Vimos que a média é igual a variância da 
distribuição de Poisson. Logo a resposta é a letra D. Não obstante, 
analisemos as alternativas restantes com atenção. 
Análise das demais alternativas 
(A) a distribuição é a normal padrão, que 
INCORRETA. 
é a uniforme, em que 
e 
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(C) a distribuição 
associada a um conjunto com (N+M) elementos, em que há N sucessos e M 
fracassos; n representa o número de elementos selecionados de forma 
aleatória e sem reposição a partir dos (N+M) elementos. Neste caso, temos 
que 
GABARITO: D 
22. (ICMS-RJ/2007/FGV) Um candidato se submete a uma prova contendo 
três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser 
aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é 
correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao 
acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: 
Trata-se de aplicação da distribuição Binomial. O "chute" a ser dado em 
cada questão da prova é uma tentativa de Bernoulli (n = 3 tentativas), em que 
p = 1/5 e (1-p)=4/5. Seja X a variável aleatória que denota o número de 
questões certas. Então a probabilidade de acertar pelo menos 2 questões 
(numa prova de 3 questões de múltipla escolha) é dada por 
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A) 0,200. 
B) 0,040. 
C) 0,096. 
D) 0,008. 
E) 0,104. 
Resolução 
é a binomial, que possui 
INCORRETA. 
(E) a distribuição é a hipergeométrica 
em que p denota a probabilidade de sucesso e 
INCORRETA. 
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GABARITO: E 
23. (Assistente Técnico-Administrativo do MF/2009/ESAF) Ao se jogar 
um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o 
número 1 sair exatamente uma vez? 
A) 35% 
B) 17% 
C) 7% 
D) 42% 
E) 58% 
Resolução 
I - Utilizando a Distribuição Binomial: 
P(n,x) = probabilidade de ocorrer exatamente x vezes o evento "A", após n 
repetições. 
GABARITO: A 
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Evento "A" = sair um número igual a 
Complementar de "A" = A '= não sair um número igual a 1 
n= 3 vezes 
x = 1 (1 sair exatamente uma vez) 
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A) F, V, F 
B) V, V, F 
C) F, F, F 
D) V, F, F 
E) V, V, V 
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24. (APOFP-SP/2009/ESAF) Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão. 
Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais próximo de 
P(-2,58 < Z < 1,96). 
z 
P(Z < z ) 
1,96 
0,975 
2,17 
0,985 
2,33 
0,99 
2,41 
0,992 
2,58 
0,995 
A) 0,99 
B) 0,97 
C) 0,98 
D) 0,985 
E) 0,95 
Resolução 
Z => variável aleatória normal padrão 
Sabemos que: 
GABARITO: B 
25. (AFTM-RN/2008/ESAF) Numa distribuição Binomial, temos que: 
I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de 
elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q -
probabilidade contrária (q = 1 - p). 
II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros 
n e p. 
III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o 
quadrado da média. 
Apontando os três itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a opção 
correta é: 
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Resolução 
Esperança da distribuição binomial: E(X) = np 
Variância da distribuição binomial: Var(X) = np(1-p) 
Vamos analisar as alternativas: 
I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de 
elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q -
probabilidade contrária (q = 1 - p). 
Esperança da distribuição binomial: E(X) = np. O item é FALSO. 
II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros 
n e p. 
Variância da distribuição binomial: Var(X) = np(1-p) 
Desvio-Padrão = [np(1-p)]1/2 => é dado pela raiz quadrada do produto entre 
n, p e (1-p). O item é FALSO. 
III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o 
quadrado da média. 
A fórmula geral da variância é: Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 => ou seja, é a média 
dos quadrados do valores menos o quadrado da média. O item é FALSO. 
Lembre que a variância da distribuição binomial é np(1-p). 
GABARITO: C 
26. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Em uma casa de jogos 
(Bingo S/A, por exemplo) a premiação será de R$ 10,00, para quem obtiver 
uma face de número primo ao jogar um dado honesto e de R$ 20,00, para 
quem obtiver outra alternativa (face de número não primo). Para N jogadas 
(sendo N um número suficientemente grande de jogadas), o valor médio da 
aposta, ou seja, o valor esperado, será de: 
A) R$ 10,00 
B) R$ 10,33 
C) R$ 13,33 
D) R$ 15,00 
E) R$ 17,33 
Resolução 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => n(S) = 6 
E = número primo = {2, 3, 5} => um número é primo quando somente é 
divisível por 1 e por ele mesmo => n(E) = 3 
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P(número primo) = 3/6 = 1/2 => Premiação (primo) = R$ 10,00 
E '= número não primo = {1, 4, 6} => n(E') = 3 
P(número não primo) = 3/6 = 1/2 => Premiação (não primo) = R$ 20,00 
Valor esperado da variável aleatória X para um número N, suficientemente 
grande, de jogadas: 
E(X) = P(número primo) x premiação(primo) + P(número não primo) x 
premiação(nãoprimo) 
E(X) = (1/2) x 10 + (1/2) x 20 = 30/2 = R$ 15,00 
GABARITO: D 
27. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Sendo X uma v. a. d. -
variável aleatória discreta e sendo Y = aX + b, pode concluir-se que var (aX + 
b) é igual a: 
A) = var X. 
B) = E(X2) - (EX)2. 
C) = E(X - E(X))2. 
D) = a2 var X. 
E) = a2 var X - b. 
Resolução 
Var(cX) = c2 Var(X), sendo c = constante 
Var(X + a) = Var (X), sendo a = constante. 
Var(aX + b) = a2 Var(X) 
GABARITO: D 
O enunciado abaixo refere-se às próximas quatro questões. 
Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Estatística 
constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X, 
variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextas-
feiras, é a seguinte 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 
f(x) 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001 
28. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos 
estarão ausentes é 
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(A) 0,63 
(B) 0,13 
(C) 0,87 
(D) 0,56 
(E) 1 
Resolução 
A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estarão ausentes é 
dada por 
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GABARITO: C 
29. O valor esperado da variável aleatória X é 
(A) 3,08 
(B) 3,26 
(C) 2,12 
(D) 0,32 
(E) 0,96 
Resolução 
Logo, E[X] 
GABARITO: A 
30. O valor esperado de Y = 5X + 4 é 
(A) 4 
(B) 3,1 
(C) 15,4 
(D) 19,4 
(E) 81 
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Resolução 
GABARITO: D 
31. A variância de X é 
(A) 9,49 
(B) 1,22 
(C) 10,71 
(D) 20,305 
(E) 85,525 
Resolução 
Então, 
GABARITO: B 
32. (AFPS/2002/ESAF) Tem-se uma variável aleatória normal X com média 
Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente 
95% da massa de probabilidades de X 
Resolução 
Esta questão é trivial. Aprendemos que 
95% (resultado que deve ser memorizada para 
a prova!) 
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GABARITO: E 
33. (Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma 
variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4, 
respectivamente. a média de X. Então o limite superior de 
obtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por 
A) 0,40 
B) 0,25 
C) 0,20 
D) 0,12 
E) 0,10 
Resolução 
A Desigualdade de Tchebysheff pode ser dada pela expressão 
Dados: 
calcular a média 
distribuição de probabilidades de X (logo é possível 
Então 
GABARITO: B 
(AFTM-SP/2007/FCC/Adaptada) Instruções: para responder à próxima 
questão, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z 
tem distribuição normal padrão, então: 
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P(0< Z < 1) = 0,341, P(0< Z < 1,6) = 0,445, P(0< Z < 2) = 0,477 
34. Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm 
distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um 
depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em 
questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de 
A) 97,7% 
B) 94,5% 
C) 68,2% 
D) 47,7% 
E) 34,1% 
Resolução 
Pede-se P(180<X<240) = P(-1<Z<2). 
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Dados: X é uma variável aleatória normal com 
Normal padrão: 
97,7% 
GABARITO: A 
35. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja Z uma variável aleatória contínua 
normalmente distribuída com média zero e desvio padrão um. Seja 
P(Z <-1) = 0,1587 e P(Z > 2) = 0,0228. Seja X uma variável aleatória contínua 
normalmente distribuída com média 200 e desvio padrão 20, então 
P(180<X<240), é: 
A) 0,9772 
B) 0,8413 
C) 0,3413 
D) 0,8185 
E) 0,4772 
Resolução 
Dados: X1 = 180, X2 = 240, P(Z <-1) = 0,1587 e P(Z > 2) = 0,0228 . 
Z1 = (180 - 200)/20 = -1 
Z2 = (240 - 200)/20 = 2 
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P(-1<Z<2) = P(-1<Z<0) + P(0<Z<2) 
Mas P(-1<Z<0) = 0,5 - P(Z<-1) e P(0<Z<2) = 0,5 - P(Z>2). Logo, 
P(-1<Z<2) = 0,5 - P(Z<-1) + 0,5 - P(Z>2) = 0,5 - 0,1587 + 0,5 - 0,0228 = 
0,8185 (opção D). 
GABARITO: D 
36. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja X uma variável aleatória contínua, com 
O gráfico da figura acima ilustra a forma da função densidade de probabilidade 
de X, denotada por f(x). Como f(x) é simétrica em relação a zero, temos 
que a média de X é zero (opção B). Repare que resolvi a questão sem fazer 
nenhuma conta! Bastou saber esboçar o gráfico de f(x). 
Por completeza, calcularei o valor da constante "c". Sabemos que a área sob 
f(x) é unitária. Então, 
2 x (área do triângulo retângulo delimitado por 0<x<1/c) = 1 
2 x (base x altura)/2 = 1 
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A) 0,5 
B) 0 
C) 2/3 
D) 1 
E) 1/3 
Resolução 
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base x altura = 1 
GABARITO: B 
37. (ICMS-RJ/2011/FGV/Adaptada) Assuma que uma distribuição de 
Bernoulli tenha dois possíveis resultados n=0 e n = 1, no qual n = 1 (sucesso) 
Resolução 
A distribuição Binomial (ou de Bernouilli) nos dá a probabilidade de k sucessos 
em n tentativas: 
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A figura a seguir mostra o gráfico de f(x). 
ocorre com probabilidade p, e n=0 (falha) ocorre com probabilidade 
Sendo 0<p<1, a função densidade de probabilidade é 
De acordo com o enunciado, a distribuição possui somente dois possíveis 
resultados: X=0 (zero sucesso) e X=1 (um sucesso). Logo, está implícito que 
há somente uma tentativa (n=1 na fórmula acima). Então, a probabilidade de 
0 sucesso em uma tentativa é 
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e a probabilidade de um sucesso em uma tentativa é 
Agora é preciso compatibilizar a nossa notação com aquela que foi usada pela 
banca no enunciado. Substitua a variável aleatória X por n nas probabilidades 
acima: P(n = 0) = p0(l-p)1 e P(n = 1) = p ' ( l -p)0. 
Observe que as fórmulas das probabilidades 
generalizadas pela expressão 
podem ser 
Questãozinha "boa", não é mesmo? A banca "brincou" com a notação e cobrou 
o significado da distribuição binomial. 
GABARITO: A 
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Exercícios de Revisão 
38. (Profissional Básico - Engenharia/BNDES/2008/Cesgranrio) Para 
um estudo sobre a distribuição de salário mensal dos empregados de uma 
empresaforam coletados os salários de uma amostra aleatória de 50 
empregados. Os resultados amostrais levaram à construção da distribuição de 
freqüência abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classe (em Frequência 
salários relativa 
mínimos) acumulada 
1 - 3 40 
3 - 5 70 
5 - 7 90 
7 - 11 100 
A média aritmética e a variância amostral valem, aproximadamente, 
Média amostral Variância amostral 
(em salários mínimos) (em salários mínimos2) 
(A) 2,6 2,2 
(B) 2,6 2,9 
(C) 4,1 2,9 
(D) 4,1 5,0 
(E) 7,2 12,1 
Resolução 
O enunciado menciona que o conjunto de dados é proveniente de uma amostra 
aleatória. Por enquanto, considere que uma amostra aleatória é um conjunto 
de dados. Lembre-se de que estudaremos o assunto Amostragem em uma aula 
posterior. 
Quando os dados são agrupados, todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são considerados coincidentes com o ponto médio do 
intervalo. 
Fórmulas para resolver a questão: 
em que os fi's denotam as frequências e os x/s são os pontos médios de cada 
classe. 
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(*) Lembre que caso os dados estejam associados a uma amostra, o fator n 
A opção que contém os valores mais próximos aos que foram calculados é a 
alternativa D. 
GABARITO: D 
39. (IBGE - Estatística/2010/Cesgranrio) Um comitê é formado por três 
pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A 
probabilidade de não haver nenhum estatístico é 
A) 1/35 
B) 4/35 
C) 27/243 
D) 64/243 
E) 3/7 
Resolução 
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que aparece no denominador do lado direito da fórmula (15) deve ser 
substituído por n-1. 
A tabela abaixo será usada no cálculo da média aritmética e da variância. 
Variância amostral: 
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A probabilidade P de não haver nenhum estatístico em um comitê formado por 
três pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas 
P = (no de resultados favoráveis)/(no de resultados possíveis). 
no de resultados possíveis = C7,3 = 7!/(4! x 3!) = 35 
no de resultados favoráveis = 1 (só existe uma maneira de formar um comitê 
de 3 pesquisadores ) 
Então P = 1/35 
GABARITO: A 
40. (Administrador(a) Júnior Petrobrás /2010/Cesgranrio) Em um 
posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 
vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão 
calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o 
óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível, 
completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes 
entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades 
acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para 
completar o óleo e calibrar os pneus? 
(A) 0,10 
(B) 0,20 
(C) 0,25 
(D) 0,40 
(E) 0,45 
Resolução 
Dados: 
- de um total de 300 clientes (= espaço amostral), 210 colocam combustível, 
130 completam o óleo e 120 calibram os pneus; 
- 70 clientes colocam combustível e completam o óleo, 80 colocam combustível 
e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram 
os pneus. 
Resolveremos a questão usando a técnica do Diagrama de Venn. Note que 50 
clientes colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. O 
diagrama abaixo mostra que a interseção entre os três conjuntos (combustível, 
óleo e pneus) é composta por 50 clientes. 
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Setenta (70) clientes colocam combustível e completam o óleo (adicionei 20 
clientes à interseção entre os conjuntos combustível e óleo): 
Oitenta (80) clientes colocam combustível e calibram os pneus (adicionei 30 
clientes à interseção entre os conjuntos combustível e pneus): 
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Duzentos e dez clientes (210) colocam combustível. Logo, temos que adicionar 
210 - (30 + 50 + 20) = 110 clientes que entram no posto somente para 
colocar combustível ao conjunto combustível: 
Finalmente, completarei o diagrama com as variáveis X, Y e Z, que denotam, 
respectivamente, o número restante de clientes que completam o óleo e 
calibram os pneus, que somente calibram os pneus e que somente completam 
o óleo: 
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A probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar 
os pneus é dada pela fração 
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P = (no de resultados favoráveis)/(no de resultados possíveis) = 
Okay! Resolveremos o problema, se soubermos determinar o valor de X. Mas 
como faremos isso? A resposta é simples: basta montar um "sisteminha 
linear"! 
Sabemos o que alguns pensarão: mas professores, esqueci como se faz isso! 
Calma minha gente! Não entrem em desespero (risos). Ensinaremos como 
montar o sistema de equações na sequência. 
Cento e vinte (120) clientes calibram os pneus. Portanto (veja o diagrama de 
Venn acima), 
30 + 50 + X + Y = 120 ^ 80 + X + Y = 120 ^ X + Y = 120 - 80 = 40 
Cento e trinta clientes completam o óleo. Então, 
O total de clientes é 300: 
Chegamos deste modo ao seguinte sistema de equações: 
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Multiplicando a segunda equação por -1, e somando o resultado obtido com a 
terceira tem-se que 
Y = 30. 
Substituindo-se o valor de Y na primeira equação, obtemos 
Assim, 
Probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os 
pneus é dada pela fração = (50 + X)/300 = (50 + 10)/300 = 60/300 = 0,2 = 
20%. 
GABARITO: B 
41. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em um amostra 
de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 
35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são 
exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 
são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são 
sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas 
que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao 
mesmo tempo? 
A) 18 
B) 15 
C) 8 
D) 0 
E) 20 
Resolução 
Temos um espaço amostal Q com n = 100 empresas. Seja o conjunto das 
empresas situados no Rio de Janeiro denotado por "RJ", o das exportadoras 
por "EXP" e o das sociedades anônimas por "SA". Do total de empresas, temos 
que: 
• 52 estão situadas no Rio de Janeiro: n(RJ) = 52; 
• 38 são exportadoras: n(EXP) = 38; 
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• 35 são sociedades anônimas: n(SA) = 35; 
• das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras: 
Aprendemos no item 15.6 da aula passada a regra de adição das 
probabilidades, dada pela fórmula (memorize para a prova!) 
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• das empresas situadas no Rio de Janeiro, 15 são sociedades anônimas 
• das empresas exportadoras, 18 são sociedades anônimas: 
18; e 
• 12 não estão no Rio nem são sociedades anônimas e nem exportadoras: 
Pede-se o número de empresas que estão no Rio de Janeiro, são sociedades 
anônimas e exportadoras ao mesmo tempo, ou seja, qual é o valor de 
O número de empresas que estão situadas no Rio ou são exportadoras ou são 
sociedades anônimas é dado por 
O diagrama de Venn a seguir ilustra os dados da questão. 
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Essa regra será aplicada na resolução da questão, mas antes é preciso 
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manipulá-la, pois o problema cobra a contagem 
probabilidade 
Como o número de elementos do espaço amostral é finito, temos que 
P(RJ) = n(RJ)/n' e assim por diante. 
Então a regra de adição pode ser reescrita na forma de contagem 
desde que multipliquemos os lados esquerdo e direito da equação da regra de 
adição das probabilidades por n', o que fará com que todos os denominadores 
n' sejam eliminados da relação 
= 88 - 52 - 38 - 35 + 12 + 15 + 18 = 8. 
A próxima figura mostra que, das 52 empresas situadas no Rio, 33 (= 52 - 4 -
8 - 7) não são SA e nem exportadoras. O mesmo raciocínio vale para as 16 
empresas que somente são exportadoras e para as 10 empresas que somente 
são sociedades anônimas. 
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GABARITO: C 
42. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em cada um de 
um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de 
prata e uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos 
cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada um 
dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade 
dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um 
dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com 
cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele 
conter três moedas de ouro? 
A) 0,15 
B) 0,20 
C) 0,5 
D) 0,25 
E) 0,7 
Resolução 
Sejam os eventos: 
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conter 1 moeda de ouro na 1a etapa; 
conter 1 moeda de ouro na 2a etapa; e 
:onter 1 moeda de ouro na 3a etapa. 
A probabilidade P de um cofre escolhido ao acaso conter três moedas de ouro é 
dada por 
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pois os eventos são independentes. O 
enunciado especificou que 
P{E1> = 1, pois foi dito que "Em cada um de um certo número par de cofres 
são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze", 
P{E2> = 0,5, porque "Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos 
cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada 
um dos cofres restantes, uma moeda de prata", ou seja, a probabilidade de um 
cofre receber uma moeda de ouro nesta etapa é 50% e 
P{E3> = 0,5, haja vista que "Por fim, em cada um de metade dos cofres, 
escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um dos 
cofres restantes, uma moeda de bronze", isto é, a probabilidade de um cofre 
receber uma moeda de ouro nesta etapa é 50%. 
GABARITO: D 
43. (APO/2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade, 
deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que 
caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um 
responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 
50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. 
O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o 
caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a 
mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois 
restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da 
direita? 
A) 1. 
B) 2/3. 
C) 1/2. 
D) 1/3. 
E) 1/4. 
Resolução 
Vamos analisar as seguintes hipóteses: 
Hipótese 1: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre fala a verdade 
(respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher este 
menino é 1/3. Há duas possibilidades para a escolha do segundo menino 
(escolher um menino entre dois): 
• menino que sempre mente: responderá que a cidade é para a esquerda; 
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• menino que fala verdade em 50% das vezes: há 50% de chance de dizer 
que a cidade é para direita. 
Então a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é para 
direita é dada por: 
P(escolher o menino que fala a verdade em 50% das vezes) x 50% (chance de 
dizer que a cidade é para direita) = 50% x 50% = 25% 
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A probabilidade associada à hipótese 1 é 
Hipótese 2: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre mente 
(respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher este 
menino é 1/3. Há duas possibilidades para a escolha do segundo menino: 
• menino que sempre fala a verdade: responderá que a cidade é para a 
esquerda; 
• menino que fala verdade em 50% das vezes: há 50% de chance de dizer 
que a cidade é para direita. 
Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é 
para direita é igual a: 
P(escolher menino que fala a verdade 50% das vezes) x 50% (chance de dizer 
que a cidade é para direita) = 50% x 50% = 25% 
A probabilidade associada à hipótese 
Hipótese 3: O primeiro menino escolhido pelo viajante diz a verdade em 50% 
das vezes (respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de 
escolher este menino é 1/3. 
Escolha do segundo menino: 
• menino que sempre fala a verdade: responderá que a cidade é para a 
direita (se o primeiro menino disse a verdade) ou responderá que a 
cidade é para a esquerda (se o primeiro menino mentiu); 
• menino que sempre mente: responderá que a cidade é para a direita (se 
o primeiro menino mentiu) ou responderá que a cidade é para a 
esquerda (se o primeiro menino disse a verdade). 
Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é 
para direita é: 
P(primeiro menino ter dito a verdade) x P(escolher o menino que sempre fala a 
verdade) = 50% x 50% = 25% ou 
P(primeiro menino ter mentido) x P(escolher o menino que sempre mente) = 
50% x 50% = 25%. 
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A probabilidade associada à hipótese 3 é P3 = 1/3 x (25% + 25%) = 1/3 x 
50%. 
Probabilidade Final = 1/3 x 25% + 1/3 x 25% + 1/3 x 50% = 1/3 x (25% + 
25% + 50%) = 1/3x 100% = 1/3 x 1 = 1/3. 
GABARITO: D 
44. (APO/2010/ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, 
diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 
a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas 
estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao 
acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma 
cor e com os respectivos números pares? 
A) 10/512. 
B) 3/512. 
C) 4/128. 
D) 3/64. 
E) 1/64. 
Resolução 
Total de Bolas = 200 
Bolas Azuis = 50 (numeradas de 1 a 50) 
Bolas Amarelas = 100 (numeradas de 51 a 150) 
Bolas Vermelhas = 50 (numeradas de 151 a 200) 
Probabilidade de se retirar da urna três bolas escolhidas, com reposição, de 
modo que sejam da mesma cor e com os respectivos números pares. 
Bolas Azuis e Pares = 25 
Bolas Amarelas e Pares = 50 
Bolas Vermelhas e Pares = 25 
Hipótese I: três bolas azuis e pares 
P (Azul e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512 
Hipótese II: três bolas amarelas e pares 
P (Amarela e Par) = 50/200 x 50/200 x 50/200 = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64 
Hipótese III: três bolas vermelhas e pares 
P (Vermelha e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512 
Probabilidade Total = (1/512) + (1/64) + (1/512) = 10/512 
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GABARITO: A 
45. (Técnico do DECEA - Ciências Econômicas/2009/CESGRANRIO) A 
probabilidade de que, no lançamento de três dados comuns, honestos, a soma 
dos resultados seja igual a 18 é 
A) 1/12 
B) 1/36 
C) 1/216 
D) 3/18 
E) 3/216 
Resolução 
Os resultados são independentes, logo 
P = (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/216 
GABARITO: C 
46. (IBGE - Estatística/2009/CESGRANRIO) Lança-se uma moeda 
honesta três vezes. Sejam os eventos: A = {sair duas caras ou três caras} e B 
= {os dois primeiros resultados são iguais}. Nessas condições, tem-se que 
A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são 
mutuamente exclusivos. 
B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B são independentes e não são mutuamente 
exclusivos. 
C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são 
mutuamente exclusivos. 
D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente 
exclusivos. 
E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são 
mutuamente exclusivos. 
Resolução 
A = {sair duas caras ou três caras} 
P(A) = P{(CCK) ou (KCC) ou (CKC) ou (CCC)}, em que C denota cara e K 
representa coroas. 
P(A) = P(CCK) + P(KCC) + P(CKC) + P(CCC) 
Mas 
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P(CCK) = P(KCC) = P(CKC) = P(CCC) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8 
Então P(A) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5. 
B = {os dois primeiros resultados são iguais} 
P(B) = P{(CCK) ou (KKC) ou (CCC) ou (KKK)>. 
P(B) = P(CCK) + P(KKC) + P(CCC) + P(KKK) 
Mas 
P(CCK) = P(KKC) = P(CCC) = P(KKK) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8 
Então P(B) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5. 
Os eventos A e B estão definidos sobre o mesmo espaço amostral. Eles não 
são mutuamente exclusivos, haja vista os resultados elementares (CCK) e 
(CCC), presentes nos dois eventos. Contudo, a probabilidade de ocorrência de 
B não é afetada pela ocorrência anterior de A, e vice-versa, ou seja, P(B|A) = 
P(B) e P(A|B) = P(A). Logo, os eventos são independentes. 
GABARITO: D 
47. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Um estudo 
sobre a fidelidade do consumidor à operadora de telefonia móvel, em uma 
determinada localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre o hábito de 
mudança: 
Probabilidade de um consumidor 
mudar de (ou manter a) operadora 
A 
A nova operadora é 
B C 
Se a A 0,50 0,35 0,15 
operadora B 0,20 0,70 0,10 
atual é C 0,40 0,30 0,30 
A probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora A é 0,60; a 
probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora B é 0,30; e a 
de ser da operadora C é 0,10. 
Dado que o 2° telefone de um cliente é da operadora A, a probabilidade de o 
1° também ter sido é de 
(A) 0,75 
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são mutuamente exclusivos e exaustivos (isto 
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(B) 0,70 
(C) 0,50 
(D) 0,45 
(E) 0,40 
Resolução 
A questão cobra a aplicação da Regra de Bayes. Pergunta-se: 
"Dado que o 2° telefone de um cliente é da operadora A" 
OBSERVADO 
Ou seja, deve-se determinar P(1° Tel. A|2° Tel. A). 
A Regra de Bayes nos dá probabilidade da causa dado o efeito 
observado: 
em que os eventos 
é, cobrem, todo o espaço amostral B é um evento qualquer definido sobre 
o mesmo espaço amostral é a probabilidade total de B. 
Aplicando a Regra de Bayes à questão, obtemos 
Cálculo da probabilidade total P(2° Tel. A): 
P(2° Tel. A) = P(2° Tel. A|1° Tel. A). P(1° Tel. A) + P(2° Tel. A|1° Tel. B). 
P(1° Tel. B) + P(2° Tel. A|1° Tel. C). P(1° Tel. C) 
Dados fornecidos: 
- probabilidades a priori: P(1° Tel. A)=0,60, P(1° Tel. B)=0,30 e P(1° Tel. C) = 
0,60. Note que P(1° Tel. A) + P(1° Tel. B) + P(1° Tel. C) = 1; 
- probabilidades condicionais: P(2° Tel. A|1° Tel. A) = 0,50, P(2° Tel. A|1° Tel. 
B) = 0,20 e P(2° Tel. A|1° Tel. C) = 0,40; 
Então: 
"a probabilidade de o 1° também ter sido é de" 
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P(2° Tel. A) = (0,50 x 0,60) + (0,20 x 0,30) + (0,40 x 0,10) = 0,30 + 0,06 + 
0,04 = 0,40 
P(1° Tel. A|2° Tel. A) = 0,50 x 0,60/0,40 = 0,30/0,40 = 3/4 = 0,75. 
GABARITO: A 
48. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Analise as 
afirmativas a seguir sobre o coeficiente de variação. 
I - O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa. 
II - Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de variação é zero. 
III - O coeficiente de variação tem a mesma unidade que o desvio padrão. 
É(São) corretas APENAS a(s) afirmativas 
(A) I 
(B) II 
(C) III 
(D) I e II 
(E) II e III 
Resolução 
O Coeficiente de Variação (CV) é dado pela razão entre o desvio padrão e a 
média: 
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CV = desvio padrão/média 
Ele caracteriza a dispersão dos dados em termos relativos à média. Portanto, é 
uma medida de dispersão relativa e a afirmativa I é correta. 
O coeficiente de variação é um adimensional, podendo ser expresso 
como uma porcentagem. Logo, é incorreto afirmar que possui a mesma 
unidade do desvio padrão (afirmativa III é incorreta). 
A afirmativa II é absurda. Sem maiores comentários. 
GABARITO: A 
49. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do 
número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2>. A média 
geométrica simples dessa amostra é 
(A) 2,25 
(B) 1,75 
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(C) 2 
(D) 2,4 
(E) 2,5 
Resolução 
Média Geométrica de um conjunto de 4 elementos: 
GABARITO: