Aula7 Unidade III Equivalencia Logica

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Lógica Matemática
Unidade III – Equivalências Lógicas
Aula 7
Profa Daisy Albuquerque
2Lógica Matemática- Unidade III – Profª Daisy Albuquerque 2
Lógica Matemática
§ Equivalências Lógicas
– Definição
– Leis de equivalência
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Equivalências Lógicas
§ As proposições p ∧ q e q ∧ p possuem tabelas 
verdades iguais.
§ Logo, dizemos que são proposições equivalentes.
Exemplo:
p q p ∧ q q ∧ p
V V V V
V F F F
F V F F
F F F F
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Equivalências Lógicas
§ Portanto, dizemos que duas proposições são 
equivalentes se, e somente se, o resultado de 
suas tabelas verdades forem idênticos.
§ A equivalência lógica entre duas proposições p e 
q, pode ser representada simbolicamente como:
p q
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Equivalências Lógicas
Propriedades
§ Idempotente
Uma proposição composta pela mesma proposição simples 
equivale a proposição simples.
§ Comutativa
A ordem das proposições não altera a tabela verdade.
§ Associativa
Utilizando um mesmo conectivo a ordem de montagem da 
tabela verdade não altera os seus resultados.
§ Distributiva
Utilizando os conectivos E e OU pode-se distribuir o conectivo 
de fora dos parênteses para dentro.
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Equivalências Lógicas
Idempotência
 Uma proposição composta pela mesma 
proposição simples equivale a proposição 
simples.
● Sejam p,q e r proposições simples.
● Propriedade da IDEMPOTÊNCIA:
Conjunção: P ˄ P ⇔ P
Disjunção: P ˅ P ⇔ P
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Equivalências Lógicas
Comutativa
 A ordem das proposições não altera a tabela 
verdade.
● Sejam p,q e r proposições simples.
● Propriedade COMUTATIVA:
Conjunção: P ˄ Q ⇔ Q ˄ P
Disjunção: P ˅ Q ⇔ Q ˅ P
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Equivalências Lógicas
Associativa
 Utilizando um mesmo conectivo a ordem de 
montagem da tabela verdade não altera os seus 
resultados.
● Sejam p,q e r proposições simples.
● Propriedade ASSOCIATIVA:
Conjunção: (P ˄ Q) ˄ R ⇔ P ˄ (Q ˄ R)
Disjunção: (P ˅ Q) ˅ R ⇔ P ˅ (Q ˅ R)
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Equivalências Lógicas
Distributiva
 Utilizando os conectivos E e OU pode-se 
distribuir o conectivo de fora dos parênteses 
para dentro.
● Sejam P,Q e R proposições simples.
● Propriedade DISTRIBUTIVA:
Conjunção: P ˄ (Q ˅ R) ⇔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)
Disjunção: P ˅ (Q ˄ R) ⇔ (P ˅ Q) ˄ (P ˅ R)
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Equivalências Lógicas
Distributiva
Propriedade DISTRIBUTIVA:
P ˄ (Q ˅ R) ⇔ (P ˄ Q) ˅ (P ˄ R)
P ˅ (Q ˄ R) ⇔ (P ˅ Q) ˄ (P ˅ R)
 
A primeira equivalência exprime que a conjunção é distributiva 
em relação a disjunção e a segunda equivalência exprime que a 
disjunção é distributiva em relação a conjunção.
Exemplo 1:
- As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou amarelas.
- As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou as violetas 
são azuis e as rosas amarelas.
Exemplo 2:
- Faz calor ou chove e venta.
- Faz calor ou chove e faz calor ou venta
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Resumo
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Equivalências Lógicas
Leis de Morgan
(i) ~(p ˄ q) ⇔ ~p ˅ ~q
(ii)~(p ˅ q) ⇔ ~p ˄ ~q
(i) Negar que duas dadas proposições são ao mesmo 
tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo 
menos é falsa.
"negar a simultaneidade de p e q é afirmar pelo menos não p ou não q"
(ii) Negar que uma pelo menos de duas proposições é 
verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas.
"negar a ocorrência de pelo menos p ou q é afirmar nem p nem q"
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Equivalências Lógicas
Leis de Morgan
A negação transforma a conjunção em 
disjunção e a disjunção em conjunção.
 Segundo (i), a negação da proposição 
“É inteligente e estuda” 
é:
“Não é inteligente ou não estuda”
 Segundo (ii), a negação da proposição 
“É médico ou professor”
é:
“Não é médico e não é professor”
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Equivalências Lógicas
Lei de Morgan ~ (p q) ~ p ~ q∨ ⇔ ∧
~ (p q) ~ p ~ q∧ ⇔ ∨
Def Implicação p → q ~ p q⇔ ∨
p → q ~ ( p ~ q)⇔ ∧
Def Bicondicional p ↔ q (p → q) (q → p)⇔ ∧
p ↔ q (~ p q) (~ q p)⇔ ∨ ∧ ∨
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Leis de Morgan
§ ~ (p∨q) ⇔ ~ p∧ ~ q
p q p∨q ~(p q)∨ ~p ~q ~p ~q∧
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Leis de Morgan
§ ~ (p∨q) ⇔ ~ p∧ ~ q
p q p∨q ~(p q)∨ ~p ~q ~p ~q∧
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
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Leis de Morgan
§ ~ (p∧q) ⇔ ~ p∨ ~ q
p q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ~q ~p ∨ ~q
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Leis de Morgan
§ ~ (p∧q) ⇔ ~ p∨ ~ q
p q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ~q ~p ∨ ~q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
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Definição de Implicação
§ p → q ⇔ ~ p ∨ q
p→q
p q p→q ~p ~p ∨ q
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Definição de Implicação
§ p → q ⇔ ~ p ∨ q
p q p→q ~p ~p ∨ q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
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Definição de Implicação
§ p → q ⇔ ~ ( p∧ ~ q)
p q p→q ~q p ~q∧ ~(p ~q)∧
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Definição de Implicação
§ p → q ⇔ ~ ( p∧ ~ q)
p q p→q ~q p ~q∧ ~(p ~q)∧
V V V F F V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V F V
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Definição de Bicondicional
§ p ↔ q ⇔ (~ p∨ q)∧(~ q∨ p)
p q ~p ~q ~p q∨ ~q p∨ (~p q) (~q p)∨ ∧ ∨ p↔q
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Definição de Bicondicional
§ p ↔ q ⇔ (~ p∨ q)∧(~ q∨ p)
p q ~p ~q ~p q∨ ~q p∨ (~p q) (~q p)∨ ∧ ∨ p↔q
V V F F V V V V
V F V V F V F F
F V F F V F F F
F F V V V V V V
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