Lei Gauss PotencialEletrico

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29/03/2015 MAGMartinez/CEFET-RJ 1
Conteúdo
► Equações de Maxwell 
► Distribuições de cargas e correntes
► Lei de Coulomb 
► Lei de Gauss
► Potencial Elétrico Escalar
► Propriedades Elétricas dos Materiais
► Condutores
► Dielétricos
► Condições de Contorno
► Capacitância
► Energia Potencial Eletrostática
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Lei de Gauss
vD ρ=⋅∇
rr
dvSdD
S V
v∫∫ ∫∫∫=⋅ ρ
rr
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Lei de Gauss – Carga Pontual
dvSdD
S V
v∫∫ ∫∫∫=⋅ ρ
rr
r
E = Rˆ
q
4πε
0
R2
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Exemplo 4: Campo Elétrico de uma linha de cargas 
infinitamente longa
r
E lr
0
2πε
ρ
=
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Potencial Elétrico Escalar
EqFF eext
rrr
−=−=
ldEqldFdW ext
rrrr
⋅−=⋅=
ldE
q
dW
dV
rr
⋅−==
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ldEdV
P
P
P
P
rr
∫∫ ⋅−=
2
1
2
1
ldEVV
P
P
rr
∫ ⋅−=−
2
1
12
2
0
4
ˆ
R
q
RE
πε
=
r
Carga pontual
∫∞ ⋅




−=
R
dRR
R
q
RV ˆ
4
ˆ
2
0
πε
R
q
V
0
4πε
=
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( )
1
4 RR
q
RV rr
r
−
=
πε 1RR
rr
−
( ) ∑
= −
=
N
i i
i
RR
q
RV
14
1
rr
r
πε
( ) '
'4
1
'
ds
R
RV
s
s∫=
ρ
πε
r ( ) '
'4
1
'
dl
R
RV
l
s∫=
ρ
πε
r
Carga fora da origem
Distancia entre o ponto de 
observação e a localização da 
carga q.
( ) '
'4
1
'
dv
R
RV
v
v∫=
ρ
πε
r
Distribuição continua de cargas
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0=⋅∫C ldE
rr
0=×∇ E
rr
ldEdV
rr
⋅−= ldVdV
rr
⋅∇=
VE ∇−=
rr
Campo Elétrico como função do 
Potencial
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Exemplo 5: Campo Elétrico de um 
Dipolo Elétrico
21
12
0210
44
1
RR
RRq
R
q
R
q
V
−
=




 −
+=
πεπε
Rd <<
θcos
12
dRR ≅−
2
12
RRR ≅
2
0
4
ˆ
R
Rp
V
πε
⋅
=
r
2
0
4
cos
R
qd
V
πε
θ
=
dqp
rr
=
Momento de dipolo
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VE ∇−=
rr
φθ
φ
θ
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡∇
RsenRR
R
1
ˆ
1
ˆˆ
r
( )θθθ
πε
senR
R
qd
E ˆcos2ˆ
4
3
0
+=
r