Lei Coulomb

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14/03/2015 MAGMartinez/CEFET-RJ 1
Conteúdo
► Equações de Maxwell 
► Distribuições de cargas e correntes
► Lei de Coulomb 
► Lei de Gauss
► Potencial Elétrico Escalar
► Propriedades Elétricas dos Materiais
► Condutores
► Dielétricos
► Condições de Contorno
► Capacitância
► Energia Potencial Eletrostática
Lei de Gauss - Campo Magnético
Lei de Gauss - Campo Elétrico
Lei de Faraday
Lei de Ampère
0.
.
.
.
=
ρ=
⋅





∂
∂
+=
⋅
∂
∂
−=
∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
s
V Vs
sc
sc
sdB
dvsdD
sd
t
D
JldH
sd
t
B
ldE
rr
rr
r
r
rrr
r
r
rr
∫∫∫ ⋅∂
∂
−=
sc
sd
t
B
ldE
r
r
rr
.
Cargas não são as únicas
fontes de campo magnético.
Qual a outra fonte?
∫∫∫ ⋅





∂
∂
+=
sc
sd
t
D
JldH
r
r
rrr
.
Corrente não é a única fonte
de campo magnético.
Qual é a outra fonte?
∫∫∫ ⋅





∂
∂
+=
sc
sd
t
D
JldH
r
r
rrr
.
Teorema da Divergência
Teorema de Stokes
∫∫∫∫∫ =∇ SV sdAdvA
rrrr
..
∫∫∫ =×∇ CS ldAsdA
rrrrr
.
Meio 
dielétrico
sem perdas
ED
rr
ε=
HB
rr
µ=
Permissividade do meio 
Permeabilidade do meio 
0=⋅∇
ρ=⋅∇
∂
∂
+=×∇
∂
∂
−=×∇
B
D
t
D
JH
t
B
E
V
rr
rr
r
rrr
r
rr
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Equações de Maxwell
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
rr
t
D
JH
∂
∂
+=×∇
r
rrr
vD ρ=⋅∇
rr
0=⋅∇ B
rr
vD ρ=⋅∇
rr
0=⋅∇ B
rr
0=×∇ E
rr
JH
rrr
=×∇
Eletrostática
Magnetostática
ED
rr
ε= HB
rr
µ= meio linear, homegeneo e isotropico
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Distribuições de Cargas e Correntes
dv
dq
v =ρ
ds
dq
s =ρ
dl
dq
l =ρ
dvQ
v
v∫= ρ
dsQ
s
s∫= ρ
dlQ
l
l∫= ρ
Densidade volumétrica de cargas
Densidade superficial de cargas
Densidade linear de cargas
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Exemplo 1: Calcule a carga Q total 
contida em um tubo cilíndrico de cargas. 
dlQ
l
l∫= ρ
zl 2=ρ
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Exemplo 2: Calcule a carga Q distribuída 
na superfície de um disco. 
dsQ
s
s∫= ρ
rs
2102×=ρ
φrdrdds =
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tsuslvq vvv ∆∆=∆∆=∆=∆
''' ρρρ
tsuq v ∆∆⋅=∆
rr
ρ
sJsu
t
q
I v
rrrr
∆⋅=∆⋅=
∆
∆
=∆ ρ
uJ v
rr
ρ=
Densidade de corrente
∫ ⋅= S sdJI
rr
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Lei de Coulomb
r
E = Rˆ
q
4πε0R
2
ED
rr
ε=
0εεε r= )(10854.8
12
0 mF
−×=ε
meio linear, homogêneo e isotrópico
r
F = q'
r
E
Força em uma carga teste q ’devido
a um campo elétrico E.
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Campo devido a Duas Cargas Pontuais
r
E =
r
E1 +
r
E2
r
E1 =
q1
r
R−
r
R1( )
4πε0
r
R−
r
R1
3
r
E2 =
q2
r
R−
r
R2( )
4πε0
r
R−
r
R2
3
Duas Cargas Pontuais
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Campo devido a Multiplas Cargas 
Pontuais
r
E =
1
4πε0
qi
r
R−
r
Ri( )
r
R−
r
Ri
3
i=1
N
∑
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Exemplo 3: Duas cargas pontuais q1=2x10
-5C
e q2=-4x10
-5C são colocadas no espaço livre
nos pontos (1,3,-1) e (-3,1,-2),
respectivamente, em um sistema de
coordenadas cartesianas. Determine:
(a) O campo elétrico no ponto (3,1,-2)
(b) A força exercida por esse campo em uma
carga teste, qt=8x10
-5, no mesmo ponto.
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Campo Elétrico devido a uma 
distribuição de cargas
2'
'
4
ˆ
R
dq
REd
πε
=
r
∫∫ == ' 2'
'
' 4
'ˆ
v
v
v R
dv
REdE
πε
ρr
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Exemplo 4: Um anel de cargas de raio b e 
caracterizado por uma densidade linear de carga. 
Determine o campo elétrico no ponto P. 
hzbrR ˆˆ'1 +−=
r
22'
1 hbR +=
22
'
1
ˆˆˆ
hb
hzbr
R
+
+−
=
2'
1
'
1
0
1
ˆ
4
1
R
dl
REd l
ρ
πε
=
r
( )
( )
φ
πε
ρ
d
hb
hzbrb
Ed l
2322
0
1
ˆˆ
4 +
+−
=
r
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( ) 23220
21
2
ˆ
hb
dbh
z
EdEdEd
l
+
=
+=
φ
πε
ρ
rrr
lbQ ρπ2=
( ) ∫+
=
π
φ
πε
ρ
0
2322
0
1
2
ˆ d
hb
bh
zE l
r
( ) 232204
ˆ
hb
Qh
zE
+
=
πε
r
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Exemplo 5: Um disco circular de cargas no plano x-y, 
com um distribuição superficial de carga. Determine 
o campo elétrico no ponto P. 
( ) 232204
ˆ
hb
Qh
zE
+
=
πε
r
d
r
E = zˆ
h
4πε0
dq
r 2 + h2( )3 2
b→ r
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r
E = zˆ
ρsh
2ε0
rdr
r 2 + h2( )3 20
a
∫
r
E = zˆ
ρs
2ε0
1−
h
a2 + h2






r
E = zˆ
ρs
2ε0
h >> a