Meios magnéticos

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Magnetostática 
► Propriedades Magnéticas dos Materiais
► Condições de Contorno para Campos Magnéticos
► Indutância
► Energia Magnética
► Forças Magnéticas e Torques 
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Propriedades Magnéticas dos Materiais 
► A magnetização de um material esta associada aos loops de corrente
atômicos gerados por dois mecanismos principais:
� Movimento orbital dos elétrons em torno dos núcleos e movimentos
similares dos prótons.
� Rotação dos elétrons.
► O momento magnético total do átomo é determinado
preponderantemente pela soma dos momentos magnéticos dos
elétrons.
► O comportamento magnético de um material é determinado pela
interação dos momentos dos dipolos magnéticos de seus átomos
com um campo magnético externo.
► Esse comportamento, o qual depende da estrutura cristalina do
material, é usado como base para classificação de materiais como:
diamagnéticos, paramagnéticos ou ferromagnéticos.
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O momento magnético de rotação de um elétron é inversamente
proporcional à massa do elétron me. O núcleo de um átomo também
apresenta um movimento de rotação, porém, devido à sua massa ser
muito maior do que a de um elétron seu momento magnético é da
ordem de 10-3 em relação ao de um elétron.
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Permeabilidade Magnética 
MBm
rr
0
µ=
O vetor de magnetização M de um material é definido como a soma dos
momentos de dipolo magnético dos átomos contido em um volume.
A densidade e o fluxo magnético que corresponde a M é:
Na presença de um campo magnético externo H a densidade de fluxo
magnético total no material é:
MHB
rrr
00
µµ += ( )HB m
rr
χµ += 1
0
HM m
rr
χ=
Susceptibilidade magnética do material
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( )HB m
rr
χµ += 1
0
( )mχµµ += 10
HB
rr
µ=
Permeabilidade magnética
do material
Permeabilidade relativa:
( )mr χµ += 1
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Matérias Ferromagnéticos e Histerese 
Magnética
► Os materiais ferromagnéticos apresentam fortes
propriedades magnéticas devido ao fato de que
seus momentos magnéticos tendem a se alinhar
prontamente ao longo da direção de um campo
magnético externo.
►Tais materiais permanecem parcialmente
magnetizados mesmo após a remoção do campo
externo.
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MHB
rrr
00
µµ +=
Para desmagnetizar qualquer
material ferromagnético, o
material é submetido a diversos
ciclos de histerese à medida
que diminui-se gradualmente a
faixa de pico a pico aplicada.
Curva de Magnetização B-H
Estado desmagnetizado
Condição de saturação
Densidade de 
fluxo residual
Condição de saturação
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Condições de Contorno para Campos 
Magnéticos 
∫ =S SdB 0.
rr nn BB 21 =
nn HH 2211 µµ =
Componente normal de B é 
contínua na fronteira entre 
dois meios adjacentes.
Componente normal de H 
não é contínua na fronteira 
entre dois meios adjacentes.
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Condições de Contorno para Campos 
Magnéticos - continua
∫ =C IldH
rr
. stt JHH =− 12
Componente tangencial de H 
não é contínua na fronteira 
entre dois meios adjacentes.
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Indutância 
solenóide
Auto-indutância de uma estrutura é a 
razão entre o fluxo magnético de 
enlace e a corrente I através da 
estrutura.
[ ]H
I
L
Λ
=
Fluxo magnético total 
que enlaça um 
determinado circuito 
ou estrutura 
condutora.
[ ]WbSdBNN
S
∫ ⋅=Φ=Λ
rr
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Exemplo 9: Indutância de uma Linha 
de Transmissão Coaxial
Desenvolva uma expressão para indutância por unidade de
comprimento de uma linha de transmissão coaxial.





=
Φ
==
a
b
lIl
L
L ln
2
'
π
µ
r
I
B
π
µ
φ
2
ˆ=
r
Região entre os condutores:





=Φ
a
bIl
ln
2π
µ
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Campo Magnético em um Solenóide 
( ) 2322
2'
2
ˆ
za
aI
zH
+
=
r
O campo no ponto P
( )
dz
za
nIa
zHdBd
2322
2
2
ˆ
+
==
µ
µ
rr
dznII ='
Espiras juntas 
por unidade de comprimento
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( )
dz
za
nIa
zHdBd
2322
2
2
ˆ
+
==
µ
µ
rr
θtgaz =
θθ 2222222 secatgaaaz =+=+
θθ dadz 2sec=
[ ]
12
2
ˆ θθ
µ
sensen
nI
zB −=
r
°° ≅−≅>> 9090
21
θθal
l
NIz
nIzB
µ
µ
ˆ
ˆ ==
r
Número de espiras
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Auto-indutância de um solenóide
∫ ⋅=Φ=Λ
S
SdBNN
rr
IS
l
N
dszI
l
N
z
S
∫ =⋅



=Φ µµ ˆˆ
I
L
Λ
=
S
l
N
L
2
µ=
área da seção reta do loop
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Indutância Mutua
[ ]HsdB
I
N
I
L
S
∫ ⋅=
Λ
=
2
1
1
2
1
12
12
rr
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Energia Magnética
dt
di
Lv =
Tensão no indutor é:
Energia total em joules gasta para que a corrente percorra o indutor é:
2
2
1
LIidiLivdtpdtWm ∫∫∫ ====
Solenóide
S
l
N
L
2
µ=
l
NI
B
µ
=
[ ]JvHWm 2
2
1
µ=
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[ ]32
2
1
mJH
v
W
w mm µ==
Densidade de energia magnética
Energia total armazenada no meio devido a presença do campo magnético H:
[ ]JdvHW
v
m ∫= 2
2
1
µ
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Exemplo 10: Energia Magnética em 
um Cabo Coaxial
Desenvolva uma expressão para o cálculo da energia magnética
armazenada em uma cabo coaxial de comprimento l e com raio interno a
e e raio externo b. O material isolante tem permeabilidade µµµµ.
∫=
v
m dvHW
2
2
1
µ
r
IB
H
πµ 2
==





=
a
blI
Wm ln
4
2
π
µ
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Forças Magnéticas e Torques
BuqFm
rrr
×=
θquBsenFm =
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► A força elétrica esta sempre na direção do campo,
enquanto a força magnética é sempre perpendicular ao
campo magnético.
► A força elétrica atua na partícula carregada estando ela em
movimento ou não, a força magnética atua na partícula
apenas quando esta estiver em movimento.
► A força elétrica gasta energia no deslocamento de uma
partícula carregada, enquanto a força magnética não
realiza trabalho quando a partícula se desloca.
( ) 0=⋅=⋅= dtuFldFdW mm r
rrr
( )BuEqFFF me
rrrrrr
×+=+=
Força de Lorentz:
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Exemplo 1: Força de Lorentz 
Uma partícula carregada se move com velocidade u em um meio que contem os
campos uniformes. Qual deve ser a velocidade u de forma que a força resultante
sobre a partícula seja nula?
xEE ˆ=
r
yBB ˆ=
r z
B
E
u ˆ=
r
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Força Magnética sobre um Condutor 
Percorrido por uma Corrente 
BuqFm
rrr
×=
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eAdlNAdldQ ev −== ρ
BudQFd m
rrr
×=
BueAdlNFd em
rrr
×−=
lududl
rr
−=
( )( ) BldueANFd eem
rrr
×−−=
BlIdFd m
rrr
×=
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0=×= ∫
C
m BldIF
rrr
BlIBldIF
b
a
m
rrrrr
×=×





= ∫
Circuito Fechado em um Campo B 
Uniforme
Fio Não-Retilíneo em um Campo B 
Uniforme
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Exemplo 2: Força sobre um Condutor 
Semicircular
Um condutor semicircular esta situado no plano x-y e é percorrido
por uma corrente I. O circuito fechado é colocado em um campo
magnético uniforme B0 na direção y. Determinem (a) a forçamagnética F1 em uma seção retilínea do fio e (b) a força magnética
F2 em um uma seção curva.
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Solução exemplo 2: Força sobre um 
Condutor Semicircular
BlIFm
rrr
×=
( )
001
2ˆˆ2ˆ IrBzByIrxF =×=
r
0
0
0
0
2
2ˆ
ˆ
IrBz
dsenrBIz
BldIF
−=
−=
×=
∫
∫
=
=
π
φ
π
φ
φφ
rrr
21
FF
rr
−=
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Torque Magnético sobre um Loop 
Percorrido por uma Corrente
FdT
rrr
×=
θrFsenzT ˆ=
r
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Campo Magnético no Plano do Loop
( ) ( )
001
ˆˆˆ IbBzBxbyIF =×−=
r
( ) ( )
003
ˆˆˆ IbBzBxbyIF −=×=
r
( ) ( )
00
00
3311
ˆˆ
ˆ
2
ˆˆ
2
ˆ
IAByIabBy
IbBz
a
xIbBz
a
x
FdFdT
==
−×




+×




−=
×+×=
rrrrr
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Campo Magnético Perpendicular ao eixo de um Loop Retangular
θsenIABT
0
=
θsenNIABT
0
=
Número de espiras
NIAnm ˆ=
r BmT
rrv
×=
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