Cap 5 FS Equações

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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES – CAPÍTULO 5 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos, 
Winston Jr. Zumaeta M., Artur L. Sartorti 
Março de 2016 
 
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA (Estádio III): EQUAÇÕES 
5.1 HIPÓTESES 
No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem 
ser considerados separadamente. Portanto, neste capítulo, será considerado 
somente o momento fletor, ou seja, flexão pura. 
Admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as 
envolve, ou seja, a deformação específica de cada barra da armadura é igual à do 
concreto adjacente. 
No cálculo no estado limite último - ELU, a resistência do concreto à tração é 
desprezada, ou seja, na região do concreto sujeita à deformação de alongamento, a 
tensão no concreto é considerada nula. 
Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais, admite-se a 
validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o 
ELU, desde que a relação abaixo seja mantida: 
 
 
 
  distância entre as seções de momento fletor nulo 
  altura útil da seção 
Com a manutenção da forma plana da seção, as deformações específicas 
longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até a 
linha neutra. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.2 
5.2 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO 
A ABNT NBR 6118:2014 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com 
um diagrama retangular equivalente (Figura 5.1), ou seja, para os dois diagramas, 
devem ser próximos os respectivos valores da resultante de compressão e da 
distância de seu ponto de aplicação até a linha neutra. 
 
Figura 5.1 – Deformações e tensões no concreto no estádio III. 
 
Sendo: 

 um coeficiente de valor: 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
8,0
 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
400/)50(8,0  ckf
 
ckf
 em MPa 
cd
 a tensão resistente do concreto com o valor de cálculo já levando em conta o 
efeito Rüsch e é escrita com os seguintes valores: 
cdccd f. 
, no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha 
neutra, não diminuir à partir desta para a borda comprimida (Figura 5.2); 
c2 
x 
σcd 
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5.3 
LN
 
Figura 5.2 – Seções nas quais a largura aumente para a borda mais comprimida. 
 
cdccd f..9,0  
, no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha 
neutra, diminuir à partir desta para a borda comprimida (Figura 5.3); 
LN
 
Figura 5.3 – Seções nas quais a largura diminui para a borda mais comprimida. 
 
c
 um coeficiente que leve em conta os fatores: 1) a diminuição da 
resistência devido ao efeito de longa duração (efeito Rüsch) - diminuição da 
ordem de 25%; 2) o estado triaxial de tensões provocado pelo atrito das 
superfícies da prensa no corpo de prova – 0,95; o aumento da resistência do 
concreto ao longo do tempo – 1,20. A multiplicação destes três valores 
resulta em 0,75x0,95x1,20=0,855. A NBR 6118:2014 apresenta os seguintes 
valores para 
c
: 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
85,0c
 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
]200/)50(0,1.[85,0  ckc f
 
ckf
 em MPa 
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5.4 
5.3 DOMÍNIOS POSSÍVEIS 
Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição da linha neutra 
deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a seção 
está toda tracionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda 
comprimida. Os domínios citados estão indicados na Figura 5.3. 
 
Figura 5.1 – Domínios de deformação 
5.3.1 Domínio 2 
No domínio 2, a ruína ocorre por deformação plástica excessiva do aço, com 
a deformação máxima de 10‰; portanto, sd = fyd. A deformação no concreto varia 
de 0 até εcu (Figura 5.4). Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade máxima 
e, portanto, é mal aproveitado. A posição relativa da linha neutra varia de zero a x23 
(0< x < x23), sendo: 
 
 
 
 
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5.5 
 
Figura 5.2 – Deformações no Domínio 2 
5.3.2 Domínio 3 
No domínio 3, a ruína ocorre por ruptura do concreto com deformação 
máxima cu. Na armadura tracionada, a deformação varia de yd até 10‰, ou seja, o 
aço está em escoamento, com tensão s = fyd (Figura 5.5). 
É a situação ideal de projeto, pois os dois materiais são bem aproveitados. A 
ruína é dúctil, pois ela ocorre com aviso, havendo fissuração aparente e flechas 
significativas. A posição relativa da linha neutra varia de x23 até x34 (x23 < x < 
x34). 
 
 
 
 
 
 
 
cu
s
cu
s <
d
x
yd < 10‰
= 3,5‰
 
Figura 5.3 – Deformações no Domínio 3 
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5.6 
5.3.3 Domínio 4 
Assim como no domínio anterior, no domínio 4 o concreto encontra-se na 
ruptura, com cu. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de yd e, portanto, ele 
está mal aproveitado. As deformações são indicadas na Figura 5.6. 
A posição da linha neutra varia de x34 até d (x34 < x <1). 
s s  yd0 <
d
x
cu
cu = 3,5‰
<
 
Figura 5.4 – Deformações no Domínio 4 
O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica, além de 
perigosa, pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. 
Portanto, é uma ruptura brusca, ou seja, ocorre sem aviso. Entende-se por aviso de 
uma estrutura os grandes e visíveis estados de deformação e fissuração. 
O dimensionamento no domínio 4, deve ser evitado; para isso pode-se usar 
uma das alternativas: 
 Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da 
espessura da parede em que a viga é embutida; 
 Fixar x como xlim34, ou seja, x = x34, e adotar armadura dupla. 
A ABNT NBR 6118:2014 estabelece no item 14.6.4.3 que para proporcionar o 
adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU 
deve obedecer os seguintes limites: 
- Para concretos com fck ≤ 50 MPa: 
45,0lim 
d
x

 
- Para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa: 
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5.7 
35,0lim 
d
x

 
Este limite normativo caracteriza um limite convencional entre os domínios 
3 e 4. Destaca-se que é um limite convencionado e não o real, entretanto deve ser 
respeitado, pois indica a capacidade de rotação da rótula plástica sem verificações 
adicionais. 
 
5.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para o dimensionamento de peças na flexão simples com armadura dupla 
(Figura 5.7), considera-se que as barras que constituem a armadura estão 
agrupadas, concentradas no centro de gravidade dessas barras. 
 
Figura 5.5 - Resistências e deformações na seção 
A partir da vista lateral representada na Figura 5.7, as equações de equilíbrio 
de forças e de momentos são respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
h
d'
d"
A
A's
s
bw
c =3,5‰
Md
3
2
1
Corte da seção transversal
Rs '
Vista lateral
s
s '
deformação
Diagrama de
tensão
Diagrama de
x
y=0,8x
cd
Rc
Rs
y/2
y/2
d
εcu 
y = x 
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5.8 
As resultantes no concreto Figura 5.8 e nas armaduras ( e ) são 
dadas por: 
 
Figura 5.8 – Resultante no concreto 
 
 
 
Tem-se quatro situações possíveis de dimensionamento. 
i) Concretos C20 a C50 com seções iguais as da Figura 5.2 
cdwcdwcdcwcdwc fxbfxbfxbybR  68,085,08,08,0 
 
Multiplicando e dividindo 
cR
 por 
dd /
 tem-se: 
d
x
fdb
d
d
fxbR
x
cdxwcdwc



68,068,0
 
As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 
068,0 ''  sssscdxw AAfdb  (1i) 
)'(
2
8,0
168,0 ''
2 ddA
d
x
fdbM sscdxwd 







  
  )'(4,0168,0 ''
2 ddAfdbM ssxcdxwd   (2i) 
 
ii) Concretos C20 a C50 com seções iguais as da Figura 5.3 
cdwcdwcdcwcdwc fxbfxbfxbybR  612,085,09,08,08,0 
 
Multiplicando e dividindo 
cR
 por 
dd /
 tem-se: 
y=0,8x
cd
bw
Rc
x 
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5.9 
d
x
fdb
d
d
fxbR
x
cdxwcdwc



612,0612,0
 
As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 
0612,0 ''  sssscdxw AAfdb  (1ii) 
)'(
2
8,0
1612,0 ''
2 ddA
d
x
fdbM sscdxwd 







  
  )'(4,01612,0 ''
2 ddAfdbM ssxcdxwd   (2ii) 
iii) Concretos C55 a C90 com seções iguais as da Figura 5.2 
cd
ckck
wcdwc f
f
x
f
bybR 











 





 

200
)50(
185,0
400
)50(
8,0
 
Com 
ckf
 em MPa. 
Multiplicando e dividindo 
cR
 por 
dd /
 tem-se: 











 





 

200
)50(
185,0
400
)50(
8,0 ckckcdxwcdwc
ff
fdbybR 
 
d
x
x 
 
As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 
0
200
)50(
185,0
400
)50(
8,0 '' 











 





 
 ssss
ckck
cdxw AA
ff
fdb  (1iii) 
)'(
2
400
)50(
8,0
1
200
)50(
185,0
400
)50(
8,0
''
2
ddA
d
x
f
ff
fdbM
ss
ck
ckck
cdxwd




















 













 





 



 
)'(
800
)50(
4,01
200
)50(
185,0
400
)50(
8,0
''
2
ddA
fff
fdbM
ss
x
ckckck
cdxwd













 












 





 



 (2iii) 
iv) Concretos C55 a C90 com seções iguais as da Figura 5.3 
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5.10 
cd
ckck
wcdwc f
f
x
f
bybR 











 





 

200
)50(
185,09,0
400
)50(
8,0
 
Com 
ckf
 em MPa. 
Multiplicando e dividindo 
cR
 por 
dd /
 tem-se: 











 





 

200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0 ckckcdxwcdwc
ff
fdbybR 
 
d
x
x 
 
As Equações 1 e 2 ficam escritas como: 
0
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0 '' 











 





 
 ssss
ckck
cdxw AA
ff
fdb  (1iv) 
)'(
2
400
)50(
8,0
1
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0
''
2
ddA
d
x
f
ff
fdbM
ss
ck
ckck
cdxwd




















 













 





 



 
)'(
800
)50(
4,01
200
)50(
1765,0
400
)50(
8,0
''
2
ddA
fff
fdbM
ss
x
ckckck
cdxwd













 












 





 



 (2iv) 
 
Para todas as situações de dimensionamento, da Figura 5.7 podem ser 
escritas as seguintes equações de compatibilidade de deformações: 
 
'
'
dxxdx
ssc




 
Sendo 
d
x
x 
 e dividindo-se tudo por 
d
d
 tem-se: 
)/'(1
'
ddx
s
x
s
x
c









 
De onde pode ser observado que: 
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5.11 
sc
c
x 




 (6) 
x
x
cs 


)1( 

 (7) 
x
x
cs
dd

 )/'('


 (8) 
 
5.5 EXEMPLOS 
A seguir apresentam-se alguns exemplos de cálculo de flexão simples em 
seção retangular. Todos os exemplos aqui resolvidos são na situação i. 
5.5.1 Exemplo 1 
Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As). 
a) Dados 
Concreto C25, aço CA-50, b = 30 cm, d”=4 cm, Mk = 206 kN.m, x= x23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Equações de equilíbrio com As’ = 0 
 
 
 
c) Cálculo de d (equação 2i) 
 
 
 
 
 
 
d) Cálculo de As (equação 1i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.12 
5.5.2 Exemplo 2 
Idem exemplo anterior com x = x34. 
a) Cálculo de βx34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‰
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Cálculo de d (equação 2i) 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo de As (equação 1i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5.3 Exemplo 3 
Verificar o domínio em que se encontra a seção. Se houver solução com 
armadura simples, calcular a área de aço (As). 
a) Dados 
Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, d = 41cm, Mk = 247 kN.m. 
b) Cálculo de x 
Na equação (2i), supondo armadura simples: 
 
 
 
 
 
 
 
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5.13 
c
s
x
d
=3,5
 
 
 
 
 
 
 
 
Resulta: 
 
 
No domínio 4 é possível armadura simples, mas , pois o aço 
ainda não chegou no patamar de escoamento, diferentemente dos domínios 2 e 3 
em que . Pode-se observar isso na Figura 5.9. 
 
Figura 5.9 – Domínios de deformação 
c) Cálculo de s 
Para o cálculo de , considera-se semelhança de triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Cálculo de As (equação 1i) 
 
 
 
 
 
S

S
1%
f yd
 yd
TR
AÇ
ÃO
4 3
2DOMÍNIOS
ES
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5.14 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Conclusão 
Mesmo a seção estando no domínio 4, há solução com armadura simples, 
porém resulta uma armadura muito grande. Há solução melhor com armadura dupla. 
5.5.4 Exemplo 4 
Idem exemplo anterior, com Mk = 308 kN.m 
a) Cálculo de x (equação 2i) supondo amadura simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Conclusão 
Não há solução para armadura simples. Neste caso só é possível armadura 
dupla (exemplo 5). 
5.5.5 Exemplo 5 
Solução do exemplo anterior com armadura dupla. 
a) Dados 
Mk = 302 kN.m, x = x34 = 0,628, d’ = 4 cm 
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5.15 
6 N1  25 
(Duas barras na 2 camada)a
3 N2  20 
Estribo
(armadura para 
cisalhamento)
b) Cálculo de A’s (Equação 2i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo de As (equação 1i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Armaduras possíveis 
As : 6 Ø 25 (Ase = 30 cm²) 2 camadas 
 8 Ø 22,2 (Ase = 31,04 cm²) 2 camadas 
 
A’s : 2 Ø 25 (Ase = 10 cm²) 
 3 Ø 20 (Ase = 9,45 cm²) 
f) Solução adotada (Figura 5.10) 
Seção (30 cm x 45 cm) 
 
 
 
 
 
 
 
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5.16 
 
Figura 5.10 – Detalhamento da seção