Módulo II MS EP 2017

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Prof. Dr. Geraldo Roberto - MS - Engenharia de Produção 
6. Momento de um Binário
7. Treliças
8. Resistência dos Materiais
8.1. Diagrama Tensão/Deformação
8,2. Tensão ou contração admissível
8.3. Tipos de Solicitação
8.4. Resist. dos mat: Tração/compressão
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6. Momento de um Binário
6.1. Definição: Duas forças F e –F que tenham o 
mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos 
opostos formam um binário
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6. Momento de um Binário
Exemplo 1: Determine as componentes do binário 
equivalente aos dois binários da figura
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Solução:
 𝐹𝑥 = 0 →
 𝐹𝑦 = 0 ↑
 𝐹𝑧 = 0 ↙
 𝑀 = 0 ↺ +
Primeiro Passo: Condições de 
Equilíbrio
B (0, 0, 0), E (0, 0, 175), C (0, 225, 475) e 
D (0, -225, 475)
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Solução:
Segundo Passo: Cálculo das componentes do binário equivalente.
 𝑀𝐷 = 0 ↺ +
𝑖 𝑗 𝑘
0 225 −300
−100 0 0
+
𝑖 𝑗 𝑘
0 450 0
0 0 −150
= 30000𝑗 + 22500𝑘 − 67500𝑖 = 0
Logo,
𝑴𝒙 = 𝟔𝟕, 𝟓 𝑵 ∙ 𝒎 ↻,𝑴𝒚 = 𝟑𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 ↺ 𝒆𝑴𝒛 = 𝟐𝟐, 𝟓 𝑵 ∙ 𝒎 ↺
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7. Treliças
7.1. Definição: A treliça é um dos principais tipos de estruturas
da engenharia. Ela oferece, ao mesmo tempo, uma solução prática
e econômica a muitas situações de engenharia, especialmente no
projeto de pontes e edifícios. Uma treliça consiste em barras
retas articuladas nas juntas ou nós.
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7.2. Análise das Treliças pelo método dos Nós.
Exemplo 1: Usando o método dos nós, determine a força em cada
barra da treliça ilustrada. Indique se cada barra está tracionada
ou comprimida
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Solução:
Primeiro Passo: Cálculo
das Reações e D e E.
 𝐹𝑥 = 0 → 𝐹𝑦 = 0 ↑
 𝑀 = 0 ↺ +
 𝐹𝑥 = 0 ∴ 𝐷𝑥 + 10 = 0 ∴ 𝐷𝑥 = −10 kN ←
 𝐹𝑦 = 0 ∴ 𝐷𝑦 + 𝐸𝑦 = 0 ∴ 𝐷𝑦 = −𝐸𝑦
 𝑀𝐷 = 0 ∴ 𝐸𝑦 ∙ 𝑥 = 0 ∴ 𝐸𝑦 = 𝐷𝑦 = 0
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Solução:
Segundo Passo: Análise do nó D
 𝐹𝑥 = 0 →∴ 𝑇𝐷𝐶 ∙ sin 60
𝑜 − 10 = 0
 𝐹𝑦 = 0 ↑∴ 𝑇𝐷𝐴 + 𝑇𝐷𝐶 ∙ cos 60
𝑜 = 0
𝑻𝑫𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝒌𝑵 (T)
𝑻𝑫𝑨 = 𝟓, 𝟕𝟖 𝒌𝑵 (𝑪)
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Solução:
Terceiro Passo: Análise do nó A
 𝐹𝑥 = 0 →∴ 𝑇𝐴𝐶 ∙ Cos 30
𝑜 + 𝑇𝐴𝐵 = 0
 𝐹𝑦 = 0 ↑∴ 5,78 − 𝑇𝐴𝐶 ∙ 𝑆𝑒𝑛 30
𝑜 = 0
𝑻𝑨𝑩 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟏 𝒌𝑵 (C)
𝑻𝑨𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟔 𝒌𝑵 (𝑻)
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Solução:
Quarto Passo: Análise do nó B
 𝐹𝑥 = 0 →∴ 𝑇𝐵𝐶 ∙ Cos 30
𝑜 − 10,01 = 0
 𝐹𝑦 = 0 ↑∴ −𝑇𝐵𝐸 − 𝑇𝐵𝐶 ∙ 𝑆𝑒𝑛 30
𝑜 = 0
𝑻𝑩𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟔 𝒌𝑵 (T)
𝑻𝑩𝑬 = 𝟓, 𝟕𝟖 𝒌𝑵 (𝑪)
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Solução:
Quinto Passo: Análise do nó C
 𝐹𝑥 = 0 →∴ 10,01 + 087 ∙ 𝑇𝐶𝐸 − 10,01
−10,01 = 0 ∴ 𝑇𝐶𝐸 = 11,56 𝑘𝑁 (𝑇)
 𝐹𝑦 = 0 ↑∴ 10,01 + 10,01 − 10,01
−10,01 = 0
Enfim,
𝑻𝑫𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝒌𝑵 (T)
𝑻𝑫𝑨 = 𝟓, 𝟕𝟖 𝒌𝑵 (𝑪)
𝑻𝑩𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟔 𝒌𝑵 (T)
𝑻𝑩𝑬 = 𝟓, 𝟕𝟖 𝒌𝑵 (𝑪)
𝑻𝑪𝑬 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟔 𝒌𝑵 (𝑻)
𝑻𝑨𝑩 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟏 𝒌𝑵 (C)
𝑻𝑨𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟔 𝒌𝑵 (𝑻)
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7.3. Análise das Treliças pelo método das Seções.
O método dos nós é mais eficaz quando é necessário
determinar as forças em todas as barras da treliça.
Se, entretanto, a força em somente uma barra ou a
força em apenas poucas barras forem desejadas, o
método das seções é mais eficiente.
Exemplo 1: Calcule as forças das barras EI e EG da Treliça da
Figura abaixo.
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Solução:
Primeiro Passo: Cálculo das coordenadas nos apoios H e I (Obs. O
apoio I é fixo, logo tem reações para x e y e o apoio H é móvel, logo só
tem reação para y)
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Solução: Condições de Equilíbrio
 𝑀𝐼 = 𝑂 ↺ +
−16 ∙ 3 − 16 ∙ 6 − 16 ∙ 9 − 16 ∙ 12 + 𝐻𝑦
∙ 8 = 𝑂 ∴ 𝐻𝑦 = 60 𝑘𝑁 ↑
 𝐹𝑉 = 𝑂 ↑ +
𝐻𝑦 + 𝐼𝑦 = 𝑂 ∴ 𝑰𝒚 = 𝟔𝟎 𝒌𝑵 ↓
 𝐹𝐻 = 𝑂 → +
𝐼𝑥 − 16 − 16 − 16 − 16 = 0 ∴ 𝑰𝒙 = 𝟔𝟒 𝒌𝑵 →
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Solução:
Segundo Passo: Cálculo de 
FEI e FEG, usando o método 
de seções
 𝑀𝐼 = 𝑂 ↺ +
−
4
5
∙ 𝐹𝐸𝐺 ∙ 3 −
3
5
∙ 𝐹𝐸𝐺 ∙ 4 − 𝐹𝐷𝐹 ∙ 8 + 16 ∙ 3 − 𝐻𝑦 ∙ 8 = 𝑂 ∴ 𝑯𝒚 = 𝟔𝟎 𝒌𝑵 ↑
Logo,
−2,4 ∙ 𝑭𝑬𝑮 − 2,4 ∙ 𝑭𝑬𝑮 − 8 ∙ 𝑭𝑫𝑭 = 432
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Solução:
Segundo Passo: Cálculo de 
FEI e FEG, usando o método 
de seções
 𝐹𝐻 = 𝑂 → +
4
5
∙ 𝐹𝐸𝐺 + 𝐼𝑥 − 16 = 𝑂 ∴ 𝑰𝒙 = 𝟔𝟒 𝒌𝑵 →
4
5
∙ 𝐹𝐸𝐺 + 64 − 16 = 𝑂 ∴ 𝑭𝑬𝑮 = 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝑪 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐
Logo,
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Solução:
Segundo Passo: Cálculo de 
FEI e FEG, usando o método 
de seções
Logo,
 𝐹𝑉 = 𝑂 ↑ +
𝐻𝑦 + 𝐼𝑦 + 𝐹𝐷𝐹 +
3
5
∙ 𝐹𝐸𝐺 + 𝐹𝐸𝐼 = 𝑂 ∴ 𝑯𝒚 = 𝟔𝟎 𝒌𝑵 ↑, 𝑭𝑬𝑮= 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝑪 𝒆
𝑰𝒚 = 𝟔𝟎 𝒌𝑵 ↓
60 − 60 + 𝐹𝐷𝐹 −
3
5
∙ 60 + 𝐹𝐸𝐼 = 𝑂 ∴ 𝑭𝑫𝑭 + 𝑭𝑬𝑰 = 𝟑𝟔
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Solução:
Segundo Passo: Cálculo de 
FEI e FEG, usando o método 
de seções
Sabe-se,
−2,4 ∙ 𝐹𝐸𝐺 − 2,4 ∙ 𝐹𝐸𝐺 − 8 ∙ 𝐹𝐷𝐹 = 432 ∴ 𝐹𝐸𝐺 = 60 𝑘𝑁 𝐶
−2,4 ∙ −60 − 2,4 ∙ (−60) − 8 ∙ 𝐹𝐷𝐹 = 432 ∴ 𝐹𝐷𝐹 = 18 𝑘𝑁 𝐶
Enfim,
𝐹𝐷𝐹 + 𝐹𝐸𝐼 = 36 ∴ 𝐹𝐷𝐹 = 18 𝑘𝑁 𝐶
−18 + 𝐹𝐸𝐼 = 36 ∴ 𝑭𝑬𝑰 = 𝟓𝟒 𝒌𝑵 𝑻
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8. Resistência dos Materiais
TENSÃO MECÂNICA: A tensão mecânica é o
quociente da força (força de tração ou de
compressão) pela secção.
𝜎 =
𝐹
𝐴
(
𝑁
𝑚𝑚2
)
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8.1. Diagrama Tensão-Deformação do Aço Doce
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8.2. Tensão ou Contração Admissível
Deve ser inferior ao limite de proporcionalidade.
Tensão admissível de tração: 𝝈𝒛𝒂𝒅𝒎 =
𝝈𝒛𝑩
𝝂
Onde,
𝜎𝑧𝐵: Resistência estática à tração
𝜈: Fator de segurança, constantemente  1.
Seu valor é determinado segundo o tipo de solicitação
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8.3. Tipos de Solicitação
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8.4. Resistência dos Materiais – Tração e Compressão
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8.4. Resistência dos Materiais – Tração e Compressão
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8.4. Resistência dos Materiais – Tração e Compressão