378461-Sistemas

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A´LGEBRA LINEAR
IFCE
Quixada´, 20 de janeiro de 2014
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Sistemas de Equac¸o˜es lineares
A noc¸a˜o ba´sica de sistema passa necessariamente pela definic¸a˜o de
equac¸a˜o linear.
Definic¸a˜o
Uma equac¸a˜o linear e´ uma equac¸a˜o do tipo
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn = b
onde os ai , i = 1, 2 · · · n sa˜o os coeficientes; xi as varia´veis e b o termo
independente.
Aos valores que tornam a identidade verdadeira damos o nome de ra´ızes
da equac¸a˜o linear.
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Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o
Um sistema de equac¸o˜es lineares com m equac¸o˜es e n inco´gnitas e´ um
conjunto de equac¸o˜es do tipo

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
... · · · ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
Uma soluc¸a˜o do sistema e´ uma n-upla de nu´meros (x1, x2, · · · , xn) que
satisfac¸a simultaneamente estas m equac¸o˜es.
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Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Dizemos que dois sistemas sa˜o equivalentes se, e somente se, toda
soluc¸a˜o de qualquer um dos sistemas for soluc¸a˜o tambe´m do outro.
O processo de obtenc¸a˜o de sistemas equivalentes e´ realizado pelas
operac¸o˜es elementares sobre sistemas, estas operac¸o˜es sa˜o as seguintes:
1) Permutac¸a˜o de duas equac¸o˜es;
2) Multiplicac¸a˜o de uma equac¸a˜o por uma constante na˜o nula;
3) Soma de uma equac¸a˜o com outra previamente multiplicada por uma
constante na˜o nula.
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Exemplo
Os sistemas
{
3x + 6y = 42
2x − 4y = 12 e
{
x + 2y = 14
x − 2y = 6
sa˜o equivalentes, pois admitem a mesma soluc¸a˜o: x = 10 e y = 2.
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Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Considere o sistema
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
... · · · ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
Podemos escreveˆ-lo na forma matricial, para isso basta escrever A a matriz
dos coeficientes, X matriz das varia´veis e B matriz dos resultados.
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A.X = B
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2 ... amn
 .

x1
x2
.
.
.
xn
 =

b1
b2
.
.
.
bn

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Exemplos
Escreva os sistemas na forma matricial.
a)

3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y − z = 0
b)

2x − y − 4z = 3
x + 4y + z = 2
−3x − 2y − 5z = 1
2x + 3y + 2x = 4
c)

x − y = 3
x + 4y = 2
x − 5y = 1
4x + 16y = 8
d)

x + 3y + 2z + 3w − 7t = 14
2x + 6y + z − 2w + 5t = −2
x + 3y − z + 2t = −1
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Observac¸a˜o
Podemos ainda escrever a matriz aumentada ou matriz ampliada de um
sistema linear onde ale´m dos coeficientes acrescentamos os termos
independentes.
EXEMPLO:
2x + 4y − 6z = 10
4x + 2y + 2z = 16
2x + 8y − 4z = 24
Matriz aumentada:
 2 4 -6 104 2 2 16
2 8 -4 24

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Classificac¸a˜o das soluc¸o˜es
Um sistema de equac¸o˜es lineares pode ser classificado de acordo com o
nu´mero de soluc¸o˜es que ele admita. Desse modo diz-se que sera´:
poss´ıvel e determinado quando admite u´nica soluc¸a˜o;
poss´ıvel e indeterminado quando admite infinitas soluc¸o˜es; e
imposs´ıvel quando na˜o admite soluc¸a˜o.
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EXEMPLO
a) O sistema
{
2x + 3y = 18
3x + 4y = 25
e´ poss´ıvel e determinado, pois tem como
u´nica raiz x = 3 e y = 4
b) O sistema
{
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
e´ poss´ıvel e indeterminada, pois admite
infinitas soluc¸o˜es ja´ que y = 50− 2x .
c) O sistema
{
3x + 9y = 12
3x + 9y = 15
e´ imposs´ıvel, pois a expressa˜o na˜o pode
ser igual a 12 e 15 simultaneamente.
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Forma escada
Uma matriz m × n e´ linha reduzida a` forma escada se:
a) O primeiro elemento na˜o nulo de uma linha na˜o nula deve ser 1;
b) Toda coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha
tem todos os outros elementos iguais a zero;
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas;
d) Se as linhas 1, · · · , r sa˜o as linhas na˜o nulas, e se o primeiro elemento
na˜o nulo da linha i ocorre na coluna ki , enta˜o k1 < k2 < · · · < kr .
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Exemplos
Verifiquemos se as matrizes esta˜o na forma escada. a)
 1 0 0 00 1 −1 0
0 0 1 0

Na˜o e´ forma escada pois a segunda condic¸a˜o na˜o e´ satisfeita.
b)
 0 2 11 0 −3
0 0 0
 Na˜o e´ a forma escada pois na˜o satisfaz a primeira e a
quarta condic¸o˜es.
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c)
 0 1 −3 0 10 0 0 0 0
0 0 0 −1 2
 Na˜o satisfaz a primeira e nem a terceira
condic¸a˜o.
d)
 0 1 −3 0 20 0 0 1 2
0 0 0 0 0
 E´ forma escada pois todas as condic¸o˜es sa˜o
satisfeitas.
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Teorema: Toda matriz Am×n e´ linha equivalente a uma u´nica matriz-linha
reduzida a` forma escada.
Definic¸a˜o: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida a`
forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, e´ o
nu´mero de linhas na˜o nulas de B. A nulidade de A e´ o nu´mero n-p, isto e´,
a diferenc¸a entre colunas de A e o posto.
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Exemplos
Encontrar o posto e a nulidade de A, onde A=
 1 2 1 0-1 0 3 5
1 -2 1 1

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Teorema
i) Um sistema de m equac¸o˜es e n inco´gnitas admite soluc¸a˜o se, e somente
se, o posto da matriz ampliada e´ igual ao posto da matriz dos coeficientes.
ii) Se as duas matrizes teˆm o mesmo posto p e p = n, a soluc¸a˜o sera´ u´nica.
iii) Se as duas matrizes teˆm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher
n − p inco´gnitas, e as outras p inco´gnitas sera˜o dadas em func¸a˜o destas.
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Exemplos
Consideremos a notac¸a˜o:
pc = posto da matriz dos coefientes
pa = posto da matriz aumentada
Associe o sistema linear a cada matriz aumentada e resolva o sistema
analisando os postos.
a)
 1 0 0 30 1 0 -2
0 0 1 2

b)
[
1 0 7 -10
0 1 5 -6
]
c)
 1 0 7 -100 1 5 -6
0 0 0 2

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Sistema Escalonado
Consideremos um sistema linear de m equac¸o˜es com n inco´gnitas que tem
o seguinte aspecto:
a1r1xr1 + ... ... ... + a1nxn = b1
a2r2xr2 + ... ... + a2nxn = b2
akrkkrk + ... + aknxn = bn
Onde a1r1 6= 0, a2r2 6= 0, ..., akrk 6= 0, e cada ri ≥ 1. Num sistema
escalonado o nu´mero de coeficientes nulos em cada equac¸a˜o, a partir da
segunda e´ maior do que na predecente.
EXEMPLO:
Abaixo temos um sistema escalonado:
2x − y − z − 3t = 0
z − t = 1
2t = 2
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Observac¸a˜o
Se um sistema foi escalonado pode-se obter equac¸o˜es do tipo 0 = 0,
restando x equac¸o˜es com m inco´gnitas.
i) se a u´ltima das equac¸o˜es restantes for do tipo 0 = bi o sistema e´
imposs´ıvel;
ii) se x = m o sistema e´ poss´ıvel determinado;
iii) se x < m, enta˜o o sistema e´ poss´ıvel indererminado.
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Exemplos1. Escalonize o sistema abaixo.
a) S =

5x − 2y + 2z = 2
3x + y + 4z = −1
4x − 3y + z = 3
b) S =
{
x + y + z + 3t = 1
x + y − z + 2t = 0
c) S =

x + y + z = 1
x − y − z = 2
2x + y + z = 3
d) S =

x + y + z = 2
x − y − z = −3
2x + y + 2z = 1
3x + 2y + 3z = 3
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2. Resolva o sistema homogeˆneo:
S =

x − 2y − 3z = 0
x + 4y − z = 0
2x − y + z = 0
3. Determinar o valor de a para que o sistema linear S tenha soluc¸a˜o e
determina´-la.
S =

x + y = 1
2x + y = 2
3y = a
4. Resolver o sistema:
S =
{
x2 + y2 = 34
−x2 + y2 = 16
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Exercitar 1
Resolva os sistemas usando o escalonamento.
a) S =

2x − y − z − t = 4
3x + 2y − z + 2t = 1
2x − y − z − t = 0
5x + 2t = 1
b) S =

x − y + z = 1
2x + y + 2z = 0
3x − y + z = 1
2. Discutir o sistema linear em func¸a˜o de a.
x + y − az = 0
ax + y − z = 2− a
x + ay − z = −a
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3. Resolver o sistema homogeˆneo abaixo:
a) S =
{
x + y + z + w − t = 0
x − y − z + 2w − t = 0
b)

3x + 2y − 12z = 0
x − y + z = 0
2x − 3y + 5z = 0
4. Determinar os valores de a e b que tornam o sistema
3x − 7y = a
x + y = b
5x + 3y = 5a + 2b
x + 2y = a + b − 1
seja poss´ıvel determinado. Em seguida resolver o sistema.
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Sistema de Cramer
Um sistema de Cramer e´ um sistema linear de n equac¸o˜es com n
inco´gnitas cuja matriz dos coeficientes e´ invers´ıvel. Se AX = B e´ um
sistema de Cramer, como
AX = B ⇐⇒ A−1(AX ) = A−1B ⇐⇒ X = A−1B
enta˜o esse sistema e´ compat´ıvel determinado e sua soluc¸a˜o e´ dada por
A−1B.
Podemos ainda escrever:
X = A−1B, lembrando que A−1 = adj Adet A , como sendo
X = adj Adet A .B
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
x1
.
.
.
xn
 = 1detA

∆11 ... ∆n1
. . .
. . .
. . .
∆1n ... ∆nn


b1
.
.
.
bn

x1 =
b1∆11+...+bn∆n1
det A , ou seja,
x1 =

b1 a12 ... a1n
. . ... .
. . ... .
. . ... .
bn a2 ... ann


a11 a12 ... a1n
. . ... .
. . ... .
. . ... .
an1 a2 ... ann

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Observemos que no denominador temos o determinante da matriz dos
coeficentes e no numerador temos o determinante da matriz obtida de A,
substituindo a i-e´sima coluna pela coluna dos termos independentes.
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Observac¸a˜o
Um sistema quadrado e homogeˆneo cuja matriz dos coeficientes e´
invers´ıvel so´ admite a soluc¸a˜o trivial.
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Exemplo
1. Resolver o sistema abaixo pela regra de Cramer.
a)

x + y = 1
y + z = 1
x + 2z = 0
b)

2x − 3y + 7z = 1
x + 3z = 5
2y − z = 0
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Quixada´, 20 de janeiro de 2014 29 /
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Exercitar 2
Resolva o sistema abaixo pela regra de Cramer.
S =

x − y + z + t = 0
x + y − z + t = 1
−x + y + z − t = 0
2x − y − z + 3t = 1
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