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IFCE - Quixada´
Disciplina: A´lgebra Linear
Prof.: C´ıcera Carla
Exerc´ıcio (Conteu´do: Espac¸o vetorial, subespac¸o vetorial, combinac¸a˜o linear, gerador,
coordenadas, base, mudanc¸a de base)
1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operac¸o˜es indicadas e´ um espac¸o vetorial
sobre R.
a) V = {(x, y) ∈ R2; 3x− 2y = 0}
c) V = R2, com as seguintes operac¸o˜es (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), α(x, y) = (αx, 0)
d) V = R2, com as operac¸o˜es usuais (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2), α(x, y, z) =
(αx, αy, αz)
2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W e´ um subspac¸o vetorial do espac¸o
vetorial V.
a) V = R4,W = {(x, x, y, y);x, y ∈ R}
b) V = M2(R),W =
{(
a b
−a c
)
; a, b, c ∈ R
}
c) V = Mn(R), dada B ∈Mn(R), defina W = {A ∈Mn(R);BA = 0}
3. Dado os subespac¸os U e W encontrar U +W e U ∩W .
a) U = {(x, y) ∈ R2; y = 0},W = {(x, y) ∈ R2, x = 2y}
b) U =
{(
a 0
0 b
)
; a, b ∈ R
}
,W =
{(
0 c
0 d
)
; c, d ∈ R
}
4. Verifique se V = U ⊕W .
a) V = R, U = {(x, y) ∈ R2; 2x+ 3y = 0},W = {(x, y) ∈ R2;x− y = 0}
b) V = M3(R), U =

 a b 00 0 c
0 0 d
 ; a, b, c, d ∈ R
 ,W =

 0 0 ef g 0
h i 0
 ; e, f, g, h, i ∈ R

5. Encontre o subespac¸o gerado por S, onde S ⊆ V .
a) S = {(1, 0), (2,−1)}, V = R2
b) S = {(1, 1, 1), (2, 2, 0)}, V = R3
c) S = {1, t, t2, 1 + t3}, V = P3(R)
d) S =
{(
0 1
0 0
)
,
{(
0 0
−1 0
)}
, V = M2(R)
6. Encontre os subconjuntos S do espac¸o vetorial V que geram U,W,U ∩W e U +W .
a) U = [(1, 0, 0), (1, 1, 1, )],W = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)], V = R3
b) U = {(x, y, z) ∈ R3;x+ y = 0},W = [(1, 3, 0, (0, 4, 6)], V = R3
7. Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4|x+ y = 0 e z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y − z + t = 0}
subespac¸os de R4.
a) Determine W1 ∩W2.
b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
c) Determine W1 +W2.
d) W1 +W2 e´ soma direta? Justifique.
e) W1 +W2 = R4.
8. Considere o subespac¸o de R3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1) e v3 =
Jeftha Amanda
Realce
Jeftha Amanda
Realce
Jeftha Amanda
Realce
Jeftha Amanda
Realce
(1, 1, 1). [v1, v2, v3] = R3? Por queˆ?
9. Responda se os subconjunto abaixo sa˜o subespac¸os de M2×2. Em caso afirmativo exiba os
geradores.
a) V =
{[
a b
c d
]
, com a, b, c, d ∈ R e b = c
}
b) V =
{[
a b
c d
]
, com a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1
}
10. Mostre que V =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e´ base de M2×2.
11. Seja V o espac¸o das matrizes 2× 2 sobre R, e seja W o subespac¸o gerado por[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
,
[
1 −7
−5 1
]
. Encontre uma base e a dimensa˜o de W.
12. Verificar quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) W = {(x, y, z);x− y = 0, y − z = 0, x− z = 0}
b) V = {(x, y, z); (x− y)z = 0}
c) W = {A ∈M2×2;A e´ diagonal}
13. Sejam V = {(x, y, z); (x − y)z = 0} e W = {(x, y, z);x + y + z = 0}. V + W e´ subespac¸o
vetorial? e V ∩W?
14. Encontre as coordenadas dos vetores na base dada:
a) x = (1, 0, 0) em relac¸a˜o a` base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}
b) x = (1, 2, 2) na base β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
15. Encontre as coordenadas dos vetores na base dada:
a) x = (1, 0, 0) em relac¸a˜o a` base α = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}
b) x = (1, 2, 2) na base α = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
16. Fornec¸a as coordenadas da matriz
[
2 5
−8 7
]
nas bases:
a)Base canoˆnica:
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
;
b) β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 1
1 0
]
,
[
1 1
1 1
]}
.
17. Sejam V = R3, U = {(x, y, z) ∈ R3;x + 2y − z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3; 2 − 2y + 3z = 0}.
Encontre dim U, dim V, dim (U + V ) e dim (U ∩ V ).
18. Encontre uma base para:
a) W = {(x, y, z) ∈ R3; 2x− 4y − 6z = 0}
b) U = {(x, y, z) ∈ R3; 3x− 2y + 5z = 0}
19. Seja W =
{[
a b
c d
]
∈M2×2(R); a− b = 0 e c+ d = 0
}
e sejam u1 =
[
1 1
0 0
]
e u2 =[
0 0
1 −1
]
. Mostre que W = [u1, u2].
20. Sejam V = R3, U = {p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3; p(1) = p(0) = 0} e W = {q(x) =
a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3; p(−1) = P (0) = 0}. Encontre dim U, dim V, dim (U + V ) e dim (U ∩ V ).
Jeftha Amanda
Realce
21. Verifique se (1− 3x+ 2x2, 1 + x+ 4x2, 1− 7x) e´ base de P2(R).
22. Encontre as coordenadas do vetor v = (1, 3) nas bases:
a) β = {(1, 0), (0, 1)}
b) α = {(2, 1), (−1, 5)}
23. Determine as coordenadas do vetor u = {(−1, 8, 5) ∈ R3} em relac¸a˜o a cada uma das ba-
ses do R3 abaixo:
a) Base canoˆnica:{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)};
b) λ = {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)};
c) α = {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
24. Determine as coordenadas do vetor P ∈ P3(R) dado por p(t) = 10 + t2 + 2t3 em relac¸a˜o
a cada uma das bases dada abaixo:
a) Base canoˆnica:{1, x, x2, x3}
b) δ = {1, 1 + t, 1 + t+ t2, 1 + t+ t2 + t3}
c) λ = {4 + t, 2, 2− t2, t3}
25. Sejam β = {(1, 0), (0, 2)}, λ = {(−1, 0), (1, 1)}, α = {(−1,−1), (0,−1)}. Encontre as ma-
trizes mudanc¸a de base.
a) Mβα b) M
α
λ