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A´lgebra Linear Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira IFCE 16 de outubro de 2013 Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Mudanc¸a de base Definic¸a˜o: Sejam β = {u1, u2, ..., un} e α = {w1,w2, ...,wn} duas bases ordenadas de um mesmo espac¸o vetorial V. Dado um vetor v ∈ V , podemos escreveˆ-lo como: v = x1u1 + ...+ xnun e v = y1w1 + ...+ ynwn Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Como podemos relacionar as coordenadas de v em relac¸a˜o a` base β, [v ]β = x1 . . . xn com as coordenadas do mesmo vetor v em relac¸a˜o a` base α, [v ]α = y1 . . . yn Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Como {u1, ..., un} e´ base de V, enta˜o podemos escrever os vetores wi como combinac¸a˜o linear dos uj , isto e´: w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un .... .... .... wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun Substituindo esses valores temos: v = y1w1 + ...+ ynwn , v = y1(a11u1+a21u2+...+an1un)+...+yn(a1nu1+a2nu2+...+annun) v = (a11y1 + ...+ a1nyn)u1 + ...+ (an1y1 + ...+ annyn)un Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Mas, v = x1u1 + ...+ xnun e como as coordenadas em relac¸a˜o a uma base sa˜o u´nicas, temos: x1 = a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn x2 = a21y1 + a22y2 + ...+ a2nyn .... .... .... xn = an1y1 + an2y2 + ...+ annyn Na forma matricial x1 x2 . . . xn = a11 ... a1n . ... . . ... . . ... . an1 ... ann y1 y2 . . . yn Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Denotando [I ]αβ = a11 a12 ... a1n . . ... . . . ... . . . .. . an1 an2 ... ann temos [v ]β = [I ] α β [v ]α A matriz [I ]αβ e´ chamada matriz de mudanc¸a da base α para a base β. Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Exemplos 1. Sejam β = {(2,−1), (3, 4)} e α = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2. a) Encontrar [I ]αβ . Denotemos w1 = (1, 0) e w2 = (0, 1). Assim, w1 = (1, 0) = a11(2,−1) + a21(3, 4) a11 = 4 11 e a21 = 1 11 w2 = (0, 1) = a12(2,−1) + a22(3, 4) a12 = −3 11 e a22 = 2 11 Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Portanto, [I ]αβ = [ a11 a12 a21 a22 ] = [ 4 11 −3 11 1 11 2 11 ] b) Encontrar [v ]β, onde v=(5,-8) usando a matriz mudanc¸a de base. [(5,−8)]β = [I ]αβ [v ]α [(5,−8)]β = [ 4 11 −3 11 1 11 2 11 ] [(5,−8)]α [(5,−8)]β = [ 4 −1 ] Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Observac¸a˜o O ca´lculo feito atrave´s da matriz mudanc¸a de base e´ operacionalmente vantajoso quando trabalharmos com mais vetores, pois neste caso na˜o teremos que resolver um sistema de equac¸o˜es para cada vetor. Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear A inversa da matriz mudanc¸a de base Podemos escrever: [v ]α = [I ] β α[v ]β Logo, as matrizes [I ]αβ e [I ] β α sa˜o inversas, ou seja, ([I ]βα) −1 = [I ]αβ Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Exemplo Do exemplo anterior poderiamos ter obtido [I ]βα por meio de [I ]αβ , facilmente calculada uma vez que α e´ a base canoˆnica do R2. (2,−1) = 2(1, 0)− 1(0, 1) (3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1) segue que [I ]βα = [ 2 3 −1 4 ] Logo [I ]βα = [ 2 3 −1 4 ]−1 = [ 4 11 −3 11 1 11 2 11 ] Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear Exercitar Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, α = {(−1, 1), (1, 1)} γ = {(√3, 1), (√3,−1)} e λ = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas do R2. 1. Encontre as matrizes de mudanc¸as de base: a)[I ]αβ ; b) [I ]βα; c) [I ]βγ ; d) [I ]βλ Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear 2. Quais as coordenadas do vetor v = (3, 2) em relac¸a˜o a` base: a) β; b) α; c) γ; d) λ 3. As coordenadas de um vetor v em relac¸a˜o a` base α sa˜o dadas por [v ]α = [ 4 0 ] . Quais sa˜o as coordenadas de v em relac¸a˜o a` base: a) β; b) γ; c) λ Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
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