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409372-mudança_de_base

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A´lgebra Linear
Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira
IFCE
16 de outubro de 2013
Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Mudanc¸a de base
Definic¸a˜o:
Sejam β = {u1, u2, ..., un} e α = {w1,w2, ...,wn} duas bases
ordenadas de um mesmo espac¸o vetorial V. Dado um vetor v ∈ V ,
podemos escreveˆ-lo como:
v = x1u1 + ...+ xnun
e
v = y1w1 + ...+ ynwn
Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Como podemos relacionar as coordenadas de v em relac¸a˜o a` base
β,
[v ]β =

x1
.
.
.
xn

com as coordenadas do mesmo vetor v em relac¸a˜o a` base α,
[v ]α =

y1
.
.
.
yn

Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Como {u1, ..., un} e´ base de V, enta˜o podemos escrever os vetores
wi como combinac¸a˜o linear dos uj , isto e´:
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un
....
....
....
wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
Substituindo esses valores temos:
v = y1w1 + ...+ ynwn
,
v = y1(a11u1+a21u2+...+an1un)+...+yn(a1nu1+a2nu2+...+annun)
v = (a11y1 + ...+ a1nyn)u1 + ...+ (an1y1 + ...+ annyn)un
Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Mas, v = x1u1 + ...+ xnun e como as coordenadas em relac¸a˜o a
uma base sa˜o u´nicas, temos:
x1 = a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn
x2 = a21y1 + a22y2 + ...+ a2nyn
....
....
....
xn = an1y1 + an2y2 + ...+ annyn
Na forma matricial
x1
x2
.
.
.
xn
 =

a11 ... a1n
. ... .
. ... .
. ... .
an1 ... ann


y1
y2
.
.
.
yn

Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Denotando
[I ]αβ =

a11 a12 ... a1n
. . ... .
. . ... .
. . .. .
an1 an2 ... ann

temos
[v ]β = [I ]
α
β [v ]α
A matriz [I ]αβ e´ chamada matriz de mudanc¸a da base α para a
base β.
Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Exemplos
1. Sejam β = {(2,−1), (3, 4)} e α = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2.
a) Encontrar [I ]αβ .
Denotemos w1 = (1, 0) e w2 = (0, 1). Assim,
w1 = (1, 0) = a11(2,−1) + a21(3, 4)
a11 =
4
11 e a21 =
1
11
w2 = (0, 1) = a12(2,−1) + a22(3, 4)
a12 =
−3
11 e a22 =
2
11
Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Portanto,
[I ]αβ =
[
a11 a12
a21 a22
]
=
[
4
11
−3
11
1
11
2
11
]
b) Encontrar [v ]β, onde v=(5,-8) usando a matriz mudanc¸a de
base.
[(5,−8)]β = [I ]αβ [v ]α
[(5,−8)]β =
[
4
11
−3
11
1
11
2
11
]
[(5,−8)]α
[(5,−8)]β =
[
4
−1
]
Profa. C´ıcera Carla do N. Oliveira A´lgebra Linear
Observac¸a˜o
O ca´lculo feito atrave´s da matriz mudanc¸a de base e´
operacionalmente vantajoso quando trabalharmos com mais
vetores, pois neste caso na˜o teremos que resolver um sistema de
equac¸o˜es para cada vetor.
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A inversa da matriz mudanc¸a de base
Podemos escrever:
[v ]α = [I ]
β
α[v ]β
Logo, as matrizes [I ]αβ e [I ]
β
α sa˜o inversas, ou seja,
([I ]βα)
−1 = [I ]αβ
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Exemplo
Do exemplo anterior poderiamos ter obtido [I ]βα por meio de [I ]αβ ,
facilmente calculada uma vez que α e´ a base canoˆnica do R2.
(2,−1) = 2(1, 0)− 1(0, 1)
(3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1)
segue que
[I ]βα =
[
2 3
−1 4
]
Logo [I ]βα =
[
2 3
−1 4
]−1
=
[
4
11
−3
11
1
11
2
11
]
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Exercitar
Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, α = {(−1, 1), (1, 1)}
γ = {(√3, 1), (√3,−1)} e λ = {(2, 0), (0, 2)}
bases ordenadas do R2.
1. Encontre as matrizes de mudanc¸as de base:
a)[I ]αβ ;
b) [I ]βα;
c) [I ]βγ ;
d) [I ]βλ
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2. Quais as coordenadas do vetor v = (3, 2) em relac¸a˜o a` base:
a) β;
b) α;
c) γ;
d) λ
3. As coordenadas de um vetor v em relac¸a˜o a` base α sa˜o dadas
por [v ]α =
[
4
0
]
. Quais sa˜o as coordenadas de v em relac¸a˜o a`
base:
a) β;
b) γ;
c) λ
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