Slides Aula 2 Raciocínio Lógico TABELAS VERDADES

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Raciocínio Lógico
Aula 2
Prof. André Roberto Guerra
Organização da Aula
• Operações
• Operações lógicas sobre proposições
• Construção de tabelas-verdade
FIM
Operações Lógicas
� A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros). São eles: 
• Princípio da Identidade
• Princípio da Contradição
• Princípio do Terceiro Excluído
� Princípio da Identidade: 
• Todo objeto é idêntico a si mesmo
� Princípio da Contradição: 
• Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa
� Princípio do Terceiro Excluído: 
• Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira
� Tendo como base esses princípios, as proposições simples são ou 
verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos 
� Daí dizer que a lógica clássica é bivalente
Tabela Verdade
• Dada uma expressão proposicional, e os valores lógicos das 
proposições simples que a compõe, utilizando a ordem de 
precedência é possível calcular o valor lógico da expressão
� Para determinar o valor (verdadeiro ou falso) das proposições compostas 
(moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) 
que as compõem são utilizadas tabelas-verdade
� Tabela Verdade da proposição composta é uma tabela na qual são 
apresentados todos os valores verdade possíveis de uma proposição 
composta, para cada combinação dos valores verdade das proposições 
componentes
� Cada linha da Tabela corresponde a uma possível combinação dos valores 
lógicos das proposições componentes; como são dois os valores lógicos, 
existem, para n componentes, 2n combinações possíveis
� Possui dois tipos de colunas: 
• Colunas para as proposições componentes (onde são distribuídos os valores V e F de 
forma a incluir cada possível combinação)
• Colunas para as operações (onde os valores V e F são obtidos pelas operações)
� Assim, se a expressão possui n componentes e m operações, a Tabela terá 
m + n colunas
� Para determinar unicamente a Tabela Verdade são estabelecidas algumas 
convenções para sua construção
� Para as colunas:
• 1. Dispor as proposições componentes em ordem alfabética
• 2. Dispor as operações na ordem de precedência determinada (com parênteses)
� Para as linhas:
• Alternar V e F para a última coluna 
• Alternar V V e F F para a penúltima
• Alternar V V V V e F F F F para a antepenúltima coluna componente
� Prosseguir dessa forma, se houver mais componentes, sempre dobrando o 
numero de Vs e Fs para cada coluna à esquerda
Exemplo: a expressão proposicional
(p → q) ∨ ~ ((p ↔ r) → ~ r)
� 1. Tabela Verdade da "negação": 
~p é Verdadeira se e somente se p é Falsa
� 2. Tabela verdade da "conjunção": 
é Verdadeira se e somente se os conjuntos são Verdadeiros
� 3. Tabela verdade da "disjunção": é Falsa se e somente os disjuntos são 
Falsos 
� 4. Tabela verdade da "implicação": é Falsa se e somente se o antecedente 
é Verdadeiro e o consequente é Falso
� 5. Tabela verdade "bi implicação": 
a bi implicação é Verdadeira se, e somente se seus componentes são ou 
ambos Verdadeiros ou ambos Falsos
� 6. Tabela verdade “OU Exclusivo”: 
É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem 
habitual: inclusivo (disjunção) v e exclusivo v onde:
p v q significa ((p v q) ^~ (p ^ q))
� 6. Tabela verdade "OU Exclusivo“:
� Número de linhas de uma tabela verdade: 
• Cada proposição simples (atômica) tem dois valores (V ou F) que se excluem. Para n
atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 
2 elementos n a n
� Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim: 
• Para duas proposições são 22 = 4 linhas
• Para três proposições são 23 = 8 linhas
• Para quatro proposições são 24 = 16 linhas
� Exemplo: 
� A tabela verdade da fórmula 
((p v q) → r) terá 8 linhas, como segue:
• Variáveis / Proposições: 3 (p q r)
23 = 8 linhas
� Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula:
((p v q) → ~p) → (q ^ p)
Aplicação
� Construir as tabela verdade das fórmulas a 
seguir
•a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
•b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
•c. ~p ∧ ~(p → ~q)
30
� a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
31
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
32
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
F
F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
3
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V
V F
F
F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
4
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V
V F
F V
F F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
5
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V
V F F
F V F
F F F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
6
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
• a. (p ∧ q) → (p ∨ q)
3
7
p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
38
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V
V
F
F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
3
9
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V
V F
F V
F F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
0
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V V
V F F
F V F
F F F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
1
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F V
V F V F
F V V F
F F V F
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
2
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F V
V F V F
F V V F
F F V V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
3
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F F V
V F V V F
F V V V F
F F V F V
� b. ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ p)
4
4
p q ~(p ∧ q) ~(p ↔ q) ~(p ∧ q) ∨ ~(p ↔ q)
V V F F F F F
V F V V V V V
F V V V V V V
F F V F V V F
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
45
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F
V F F
F V V
F F V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
6
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F F
V F F V 
F V V F 
F F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
7
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V F
V F F V V 
F V V F F 
F F V F V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
8
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V F F
V F F V V V 
F V V F V F 
F F V F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
4
9
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F V V F F
V F F F V V V 
F V V F F V F 
F F V F F V V
� c. ~p ∧ ~(p → ~q)
5
0
p q ~p ∧ ~ (p → ~q)
V V F F V V F F
V F F F F V V V 
F V V F F F V F 
F F V F F F V V
� Software de apoio didático Truth Table Constructor
•www.brian-borowski.com/Software/Truth/
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Síntese
Raciocínio Lógico
• Aula 2 – Operações
• Operações lógicas sobre proposições
• Construção de tabelas-verdade
Referências de Apoio
• SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3 - Barueri SP: Editora 
Manoele , 2003.
• http://www.pucsp.br/~logica/
FIM