Slides Aula 4 Raciocinio Logico

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Raciocínio Lógico
Prof. André Roberto Guerra
Aula 4
Organização da Aula
• Implicação Lógica
• Equivalência Lógica
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Implicação e Equivalência Lógica
• Envolve:
• Tabela-verdade
• Classificação de fórmulas da LP
• Tautologia
• Contradição
• Contingência
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• Conectivos
•→ (implicação / condicional)
• (implicação lógica)
•↔ (bi-implicação)
• (equivalência lógica)
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Implicação Lógica
• Segundo o dicionário Michaelis, “implicar” significa: Originar, produzir 
como consequência, ser causa de: ...uma filosofia definitiva, ...implicaria 
a imobilidade do pensamento humano (Antero de Quental)
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• Definição
• A implicação lógica entre P e Q (duas fórmulas proposicionais quaisquer), nesta 
ordem, ocorre se, e somente se, a implicação (condicional “→”) entre elas gerar 
uma tautologia
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• Os símbolos “→” e “ ” são distintos pois, “→” condicional é o 
resultado de uma operação lógica. Exemplo, considerando as 
proposições p e q, pode-se obter uma nova proposição expressa por p 
→ q
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•Já a Implicação Lógica estabelece uma 
relação. Exemplo: A condicional p^~p →
q é tautologia. Logo, p^~p→ q ⇒ T
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p q ~p
p^ 
~p p^~p → q
V V F F V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
• Em outras palavras, uma proposição composta P (p, q, r, …) implica numa
proposição composta Q (p, q, r, …) se em qualquer linha da tabela verdade de 
P → Q NÃO ocorrer de P ser V (verdadeiro) e Q se F (Falso). P ⇒ Q sempre que 
os valores de seus conectivos forem V (Verdade)
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• Em síntese, a condição necessária e suficiente para que uma implicação 
lógica qualquer representada por P⇒Q seja válida (verdadeira) é que a 
proposição condicional P (p, q, r, …)→ Q (p, q, r, …) seja uma tautologia
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• Exemplo: verificar se p ^ q ⇒ p v q é válida. Para isso, basta construir a 
tabela verdade da proposição p ^ q → p v q e observar o resultado
11 p q p ^ q p v q p ^ q → p v q 
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
• O Conjunto resposta da tabela verdade da proposição p ^ q → p v q é uma 
tautologia. Sendo assim, p ^ q ⇒ p v q é válido (Verdadeiro)
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• Exemplo: Verificar se p→ q⇒ p↔ q é válida. Para isso, basta construir a 
tabela verdade da proposição p→ q→ p↔ q e observar o resultado
13 p q p → q p ↔ q p → q → p ↔ q 
V V V V V
V F F V V
F V F V F
F F F F V
• O Conjunto resposta da tabela verdade da proposição p→ q→ p↔ q
NÃO é tautologia. Sendo assim, p→ q→ p↔ q NÃO é válido (Falso)
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Propriedades da Implicação
• As Implicações Lógicas admitem certas propriedades que podem ser 
utilizadas na obtenção de outros resultados
• Estão categorizadas em:
� Implicações Imediatas
� Implicações Notáveis
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Implicações Imediatas
•Propriedade Reflexiva 
•Qualquer proposição P implica na 
própria proposição P P⇒P
•Propriedade Transitiva
•Se P⇒Qe Q⇒R então P⇒R
comprovado pela tabela verdade (P→Q
^ Q→R)→ (P→R)
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Implicações Notáveis
• Regras de inferência
• Adição
• Simplificação
• Simplificação Disjuntiva
• Absorção
• Modus Ponens
• Modus Tollens 
• Silogismo disjuntivo
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•Adição
Ocorre junto ao conectivo OU “v”
P⇒P v Q Q⇒P v Q
•Simplificação
Ocorre junto ao conectivo E “^”
P^ Q ⇒ P P^ Q ⇒ Q
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•Simplificação disjuntiva
•Utilizada nos casos em que uma das 
proposições ocorre de forma 
contraditória e com um conectivo OU “v” 
sendo simplificada (P v Q) ^ (P v ~Q) ⇒ P 
Sou feliz ou me demito e Sou feliz ou não 
me demito. Logo, sou feliz
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• Absorção
• Uma mesma proposição simples ocorre numa proposição 
condicional, sendo suficiente então pode ser omitida (absorvida) P 
→ Q ⇒ P → (P ^ Q)
Se corro então pulo. Logo, se corro, então corro e pulo
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• Modus Ponens
• Baseada em proposição condicional (P → Q) ^ P ⇒ Q
• Modus Tollens 
• Baseada em proposição contrapositiva de condicional 
(P → Q) ^ ~Q ⇒ ~P
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• Silogismo disjuntivo
• Ocorre a partir de uma disjunção (conectivo “OU”) em que uma das 
proposições simples é contrariada validando a outra proposição
(P v Q) ^ ~P ⇒ Q
(P v Q) ^ ~Q ⇒ P
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Equivalência Lógica
• Segundo o dicionário Michaelis, “equivalência” significa: igualdade de 
valor, correspondência [DICMAXI – Michaelis Português]
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• Definição
• A equivalência lógica entre P e Q (duas fórmulas proposicionais quaisquer), 
nesta ordem, ocorre se, e somente se, a bicondicional “↔” entre elas gerar 
uma tautologia
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• É importante lembrar que os símbolos “↔” e “⇔” são distintos pois, 
“↔” bicondicional é o resultado de uma operação lógica. Já a 
equivalência Lógica, estabelece uma relação
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• Duas proposições são logicamente equivalentes (ou equivalentes) quando 
ambas apresentam os mesmos valores lógicos. Ou ainda, são logicamente 
equivalentes (ou equivalentes) quando o conjunto resposta de suas tabela 
verdade são iguais
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• Em síntese, a condição necessária e suficiente para que uma 
equivalência lógica qualquer representada por P⇔ Q seja válida 
(verdadeira) é que a proposição bicondicional correspondente P ↔ Q
seja uma tautologia
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• Exemplo: 
• A bicondicional ~(p^~q)↔ (p→ q) é uma equivalência. Logo, ~(p^~q)
⇔ (p→ q) é tautologia
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p q ~q p^ ~q ~(p^ ~q) p→q ~(p^ ~q) ⇔ p → q 
V V F F V V V
V F V V F F V
F V F F V V V
F F V F V V V
• Exemplo 2:
• A proposição p↔ q⇔ (p→q)^(q→p) é uma equivalência. Logo, p
↔ q⇔ (p→q)^(q→p) é tautologia
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p q p→q q→p
(p→q)
^
(q→p
) p ↔ q 
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
Equivalências Imediatas
• Propriedade Reflexiva 
• Qualquer proposição P equivale a própria proposição P P⇔ P
• Propriedade Transitiva
• Se P⇔ Q e Q⇔ R então P⇔ R Comprovado pela tabela verdade (P→
Q) ^ (Q→ R)↔ (P→ R)
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Quadro de Equivalências
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Síntese
Raciocínio Lógico
• Implicação Lógica
• Equivalência Lógica
Referências de Apoio
• SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3. Barueri, SP: Editora 
Manoele, 2003.