Slides Aula 5 Álgebra das proposições e Método Dedutivo

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Raciocínio Lógico
Aula 5
Prof. André Roberto Guerra
5
� Álgebra das proposições
�Método Dedutivo
Organização da Aula
Ferramenta muito importante, 
pois através dela pode-se 
operar sobre proposições 
utilizando-se de
implicações e equivalências 
“notáveis”.
Álgebra das Proposições
Uma aplicação apresentada 
como exemplo é a simplificação
de códigos computacionais, pois 
quanto mais simples o código, 
mais simples será compreendido 
e poderá ser executado mais 
rapidamente. 
Álgebra das Proposições
Conceito definido e apresentado 
no início” da disciplina (Aula 1)
“PROPOSIÇÃO: sentenças 
declarativas afirmativas que 
tenham sentido em afirmar que 
sejam verdadeiras ou falsas.”
Álgebra das Proposições
A álgebra das proposições é 
utilizada para reduzir/modificar 
expressões compostas, ou seja, 
também são conhecidas como 
propriedades.
Álgebra das Proposições
Implicações Notáveis
�Adição
�Simplificação Disjuntiva
�Simplificação
�Absorção
�Modus Ponens
�Modus Tollens 
�Silogismo disjuntivo
Álgebra das Proposições
Adição
Ocorre junto ao conectivo OU “v”
P⇒P v Q Q⇒P v Q
Simplificação
Ocorre junto ao conectivo E “^”
P^ Q ⇒ P P^ Q ⇒ Q
Implicações Notáveis
Simplificação disjuntiva
Utilizada nos casos em que uma 
das proposições ocorre de forma 
contraditória e com um conectivo 
OU “v” sendo simplificada 
(P v Q) ^ (P v ~Q) ⇒ P
Sou feliz ou me demito e Sou feliz 
ou não me demito. Logo, sou feliz.
Implicações Notáveis
Absorção
Uma mesma proposição simples 
ocorre numa proposição 
condicional, sendo suficiente então 
pode ser omitida (absorvida)
P → Q ⇒ P → (P ^ Q)
Se corro então pulo. 
Logo, se corro, então corro e pulo.
Implicações Notáveis
Modus Ponens
Baseada em proposição condicional 
(P → Q) ^ P ⇒ Q
Modus Tollens 
Baseada em proposição
contrapositiva de condicional 
(P → Q) ^ ~Q ⇒ ~P
Implicações Notáveis
Silogismo disjuntivo
Ocorre a partir de uma disjunção 
(conectivo “OU”) em que uma das 
proposições simples é contrariada 
validando a outra proposição
(P v Q) ^ ~P ⇒ Q
(P v Q) ^ ~Q ⇒ P
Implicações Notáveis
Quadro de Equivalências
Método Dedutivo
O Método dedutivo também 
é um método para 
demonstração de implicações e 
equivalências, utilizando das 
propriedades, leis e regras.
Método Dedutivo
No método dedutivo, as 
equivalências relativas 
desempenham um papel 
importante nas equivalências 
lógicas. As proposições (simples 
ou compostas) podem ser 
substituídas por P,Q,R,T,C
Método Dedutivo
Problema: 
O Número de linhas cresce muito 
rapidamente, à medida que 
aumenta o número de proposições 
simples envolvidas no argumento. 
Com 10 proposições a tabela terá 
1024 linhas e com 11 são 2048.
Método Dedutivo
O Método Dedutivo utiliza as 
implicações e equivalência 
notáveis apresentadas, também 
chamados de regras de inferência
A validade destes pode ser 
verificada pela construção de 
tabelas verdade de cada argumento
Método Dedutivo
Exemplo: Simplificar (p → (~p → q)
(p → (~p → q) 
p → (~~p v q) 
~p v (p v q) 
(~p v p) v (~p v q)
T v (~p v q) 
T 
Método Dedutivo
A implicação do exemplo anterior 
representa uma tautologia, pois a 
propriedade distributiva gera 
(~p v p), ou seja, ela é 
obrigatoriamente forçada a gerar 
um valor verdadeiro. 
Método Dedutivo
Ao juntar-se com o operador “v” 
(OU), ela obriga a proposição 
formada a gerar um valor 
verdadeiro na resolução
Caso a proposição fosse T^(~p v q) 
então o valor lógico é (~p v q) pois, 
o valor mesmo que falso, juntado 
com (~p v q) será (~p v q).
Síntese
Raciocínio Lógico
� Álgebra das proposições
�Método Dedutivo
Referências de Apoio
� SANT'ANNA, A. S. O que é 
um Axioma. Capítulo 3 -
Barueri SP: Editora Manoele , 
2003.