CALCULO 1

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Matema´tica A
Lista de Exerc´ıcios 3 - Derivadas
1. Calcule a derivada e a derivada segunda das func¸o˜es:
(a) f(x) = 10x2 − x + 1
Resposta: f ′(x) = 20x− 1, f ′′(x) = 20
(b) f(x) = x
3
4 +
1
x
Resposta: f ′(x) = 3
4
x−
1
4 − x−2, f ′′(x) = − 3
16
x−
5
4 + 2x−3
(c) f(x) =
√
2x + 1
Resposta: f ′(x) = 1√
2x+1
, f ′′(x) = −(2x + 1)− 32
(d) f(x) =
√
2x + 1
Resposta: f ′(x) = 1√
2x
, f ′′(x) = −(2x)− 32
(e) f(x) =
1
x10
Resposta: f ′(x) = −10
x
11 , f
′′(x) = 110
x
12
(f) f(x) =
√
50
Resposta: f ′(x) = f ′′(x) = 0
(g) f(x) =
√
50x
Resposta: f ′(x) =
√
50
2
x−
1
2 , f ′′(x) =
√
50
4
x−
3
2
(h) f(x) =
e2
x3
Resposta: f ′(x) = −3e2
x
4 , f
′′(x) = 12e
2
x
5
(i) f(x) =
e2x
x3
Resposta: f ′(x) = 2e2xx−3 − 3e2xx−4,
f ′′(x) = 4e2xx−3 − 6e2xx−4 − 6e2xx−4 + 12e2xx−5
(j) f(x) = ex+1
Resposta: f ′(x) = ex+1, f ′′(x) = ex+1
1
(k) f(x) = ex + 1
Resposta: f ′(x) = ex, f ′′(x) = ex
(l) f(x) = x3 + e2x−1 + sen(2x)
Resposta: f ′(x) = 3x2 + 2e2x−1 + 2 cos(2x),
f ′′(x) = 6x + 4e2x−1 − 4sen(2x)
(m) f(x) =
sen(x)
x2
Resposta: f ′(x) = x−2 cos(x)− 2x−3 sen(x),
f ′′(x) = −2x−3 cos(x)− x−2 sen(x) + 6x−4 sen(x)− 2x−3 cos(x)
(n) f(x) = ex cos x
Resposta: f ′(x) = (cos(x)− xsen(x))ex cos x,
f ′′(x) = (−2sen(x)− x cos(x))ex cos x + (cos(x)− xsen(x))2ex cos x
(o) f(x) =
x + 3
2x + 1
Resposta: f ′(x) = − 5
(2x+1)2
, f ′′(x) = 20
(2x+1)3
(p) f(x) = ln(x3 + 1)
Resposta: f ′(x) = 3x
2
x
3+1
, f ′′(x) = −3x
4+6x
(x3+1)2
(q) f(x) = sen(ln(x))
Resposta: f ′(x) = cos(ln(x))
x
, f ′′(x) = −x−2 cos(ln(x))−x−2 sen(ln(x))
(r) f(x) =
x + 3
sen(2x)
Resposta: f ′(x) =
sen(2x)− 2(x + 3) cos(2x)
sen2(2x)
,
f ′′(x) =
4(x + 3)sen3(2x)− 4sen(2x) cos(2x)(sen(2x)− 2(x + 3) cos(2x))
sen4(2x)
2. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto P:
(a) y =
√
2x + 1 , P = (0, 1)
Resposta: y = x + 1
(b) y = (1 + 2x)2 , P = (1, 9)
Resposta: y = 12x− 3
(c) y = e2x−6 , P = (3, 1)
Resposta: y = 2x− 4
(d) y = sen(x− 3) + 2 , P = (3, 2)
Resposta: y = x− 1
3. Encontre os valores ma´ximos e mı´nimos globais da func¸a˜o no intervalo
dado.
2
(a) f(x) = 3x2 − 12x + 5 , [0, 3]
Resposta: Ma´ximo: x = 2, y = 7; Mı´nimo: x = 3, y = −4.
(b) f(x) = x
√
4− x , [−1, 2]
Resposta: Ma´ximo: x = 8
3
, y = 16
√
3
9
, Mı´nimo: x = −1, y = √5
(c) f(x) =
{
4− x2 , −2 ≤ x ≤ 0
2x− 1 , 0 < x ≤ 2
Resposta: Ma´ximo: x = 0, y = 4, Mı´nimo: x = −2, y = 0
(d) f(x) = |x2 − 3x + 2| , [0, 5]
Resposta: Ma´ximo: x = 5, y = 12, Mı´nimo: x = 2 ou x = 1,
y = 0
4. Para as func¸o˜es a seguir, encontre: (i) os intervalos nos quais a func¸a˜o
e´ crescente ou decrescente; (ii) os valores ma´ximos e mı´nimos locais;
(iii) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o.
(a) f(x) = x3 − 12x + 1
Resposta:
Pontos cr´ıticos: (Ma´ximo local:x = −2) e (Mı´nimo local: x = 2)
Ponto de inflexa˜o: x = 0
Crescente: x < −2 e x > 2
Decrescente: −2 < x < 2
Concavidade para baixo: x < 0
Concavidade para cima: x > 0
(b) f(x) = x4 − 2x2 + 3
Resposta:
Pontos cr´ıticos: (Ma´ximo local: x = 0) e (Mı´nimos locais: x = 1
e x = −1)
Pontos de inflexa˜o: x =
√
3
3
e x = −
√
3
3
Crescente: −1 < x < 0 e x > 1
Decrescente: x < −1 e 0 < x < 1
Concavidade para cima: x < −
√
3
3
e x >
√
3
3
Concavidade para baixo: −
√
3
3
< x <
√
3
3
(c) f(x) =
x2
x2 + 3
Resposta:
Ponto cr´ıtico: x = 0 (Mı´nimo local)
Pontos de inflexa˜o: x = −1, x = 1
Crescente: x > 0
Decrescente: x < 0
3
Concavidade para baixo: x < −1 e x > 1
Concavidade para cima: −1 < x < 1
(d) f(x) = x
√
x + 3
Resposta:
Ponto cr´ıtico: x = −2 (Mı´nimo local)
Pontos de inflexa˜o: x = − 8
3
Crescente: x > −2
Decrescente: −3 < x < −2
Concavidade para baixo: −3 < x < − 8
3
Concavidade para cima: x > − 8
3
5. Em cada situac¸a˜o verifique se o limite existe. Caso exista calcule-o.
(a) lim
x→2
x2 − 2x
x2 − x− 2 Resposta:
2
3
(b) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
Resposta: 1
4
(c) lim
x→∞
ex
x3
Resposta: ∞
(d) lim
x→∞
ln(x)
x
Resposta: 0
(e) lim
x→∞
(ln(x))2
x
Resposta: 0
6. Determine as constantes a, b e L para que a func¸a˜o abaixo seja cont´ınua
em R.
f(x) =


x2 + ax + 3
x− 1 , para x < 1
L , para x = 1
bx + 4 , para x > 1
Resposta: a = −4, L = −2, b = −6
7. Considere a curva y = x2 − 4.
(a) Determine todas as retas tangentes a essa curva que passam no
ponto (0,-5).
Resposta: y = 2x− 5 e y = −2x− 5
(b) Determine todas as retas tangentes a essa curva que passam no
ponto (3,0).
4
Resposta:
y = (6 + 2
√
5)x− 3(6 + 2√5) e y = (6− 2√5)x− 3(6− 2√5)
5