AULA 3 Teórica 3 Proposições Compostas Tautologia, Contradição e Contingência

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CONVERSA INICIAL 
Olá, caro aluno! 
Estamos iniciando nossa terceira aula da disciplina de Raciocínio Lógico! 
Na nossa terceira aula, vamos apresentar as propriedades semânticas básicas da Lógica 
Proposicional (LP): tautologia, contradição e contingência. 
Está preparado para começar? 
 
 
 
 
 CONTEXTUALIZANDO 
Definidos os termos e símbolos que compõem a lógica proposicional e o cálculo das proposições 
permitindo a validação da resposta encontrada, tem-se agora as propriedades semânticas básicas da 
Lógica Proposicional (LP). 
Nesta aula faremos a análise de algumas propriedades semânticas da LP, que relacionam os 
resultados das interpretações das fórmulas. 
Mas afinal, você sabe o que é uma propriedade semântica da lógica proposicional? 
Elas serão definidas e explicadas com maiores detalhes a seguir. Acompanhe! 
 
 
PESQUISE 
Propriedades Semânticas – Tautologia 
Para começarmos, vamos conhecer a definição de Tautologia. 
Tautologia é toda proposição composta cujo conjunto resposta da tabela-verdade é 
formado em sua totalidade por V (verdadeiro). 
Tautologia (ou fórmula válida): uma fórmula A é uma tautologia, se, e somente se, para toda 
interpretação I, I[A] = V. 
Em outros termos, é toda proposição composta por P (p, q, r, …) cujo valor lógico é sempre V 
(verdade), quaisquer sejam os valores lógicos das proposições simples componentes (variáveis) p, q, 
r. 
 
 
É imediato que as proposições p  p e p p são tautológicas (princípio de identidade para as 
proposições). 
Vamos aos exemplos? 
A proposição “~ (p ^ ~p) ” (princípio da não contradição) é tautologia, conforme ilustra a sua 
tabela-verdade: 
 
Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é 
sempre verdadeiro. 
A proposição “p v ~ p” (princípio do terceiro excluído) é tautologia, como comprovado na 
tabela-verdade: 
 
Portanto, o conceito de que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é válido. 
Agora é com o professor André Roberto Guerra! Veja o que ele tem a dizer sobre esse assunto na 
videoaula a seguir! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/S
ET/MT180013-A03-P02.mp4 
 
 
Propriedades Semânticas – Contradição 
 
É importante também conhecer a definição de Contradição. 
Contradição é o inverso da Tautologia, ou seja, é toda proposição composta cujo conjunto 
resposta da tabela-verdade é formado em sua totalidade por F (falso). 
Uma fórmula A é insatisfazível (insatisfatível) ou uma contradição (contraválida), se, e 
somente se, para toda interpretação I, I[A] = F 
Contradição então, é toda proposição composta P (p, q, r, …) cujo valor lógico é sempre F 
(falso), quaisquer sejam os valores lógicos das proposições simples componentes (variáveis) p, q, r. 
Como a tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa 
(F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa. 
É importante aqui ter a atenção de que não se pode negar uma tautologia, quando ocorrer do 
conjunto resposta ser em sua totalidade falso (F), dizemos que é uma contradição. 
Confira alguns exemplos: a proposição “p ^ ~p” 
 
Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre 
falso. 
 
 
 
 
A proposição (p ^ q) ^ ~ (p v q) é uma contradição como comprovado na tabela-verdade: 
 
Uma fórmula A é falsificável, se, e somente se, os valores do seu conjunto resposta são F 
(falsos). A fórmula de contradição também é falsificável. 
 
 
O que será que o professor André tem a ensinar sobre este conteúdo? Clique no ícone a seguir e 
confira! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT
180013-A03-P03.mp4 
 
Propriedades Semânticas – Contingência 
Por fim, conheceremos a definição Contingência. 
Uma fórmula A é uma contingência se, e somente se, os valores do seu conjunto resposta 
são diferentes entre si. 
 
 
Em outros termos, é toda proposição composta P (p, q, r, …) cujo valor lógico é alternado entre 
V (verdadeiro) e F (falso), quaisquer sejam os valores lógicos das proposições simples componentes 
(variáveis) p, q, r. 
Simplificando, contingência é toda proposição composta cujo conjunto resposta: 
 Não é em sua totalidade verdadeiro (tautologia) 
 Não é em sua totalidade falso (contradição) 
Analise o exemplo, a seguir: 
 
 
 
A proposição ~ (p v q) é uma contingência como comprovado na tabela-verdade. 
 
 
 
 
 
Acompanhem, a seguir, o vídeo preparado pelo professor André Guerra sobre este tema. 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/S
ET/MT180013-A03-P04.mp4 
Propriedades Semânticas – LP 
Para começarmos a falar sobre as Propriedades Semânticas da LP, é importante antes 
compreender que: 
Falsificável: é sinônimo de contradição. 
Uma fórmula A é falsificável, se, e somente se, os valores do seu conjunto resposta são 
F (falsos). 
A fórmula sob a condição de contradição também é falsificável. 
Satisfazível: é sinônimo de tautologia. 
Uma fórmula A é satisfazível, se, e somente se, os valores do seu conjunto resposta são 
V (verdade). 
A fórmula sob a condição de tautologia também é satisfazível. 
 
Relações entre fórmulas da LP 
 Toda fórmula válida (tautologia) é satisfazível; 
 Toda fórmula contraditória (insatisfazível) é falsificável; 
 Uma fórmula não pode ser satisfazível e contraditória; 
 Uma fórmula não pode ser uma tautologia e falsificável; 
 
 
 Se A é uma tautologia, então ~A é contraditória; 
 Se A é contraditória, então, ~A é uma tautologia; 
 Se A é satisfazível, então ~A é falsificável, e vice-versa. 
Há fórmulas que são tanto satisfazíveis quanto falsificáveis, i.e., são contingências ou 
fórmulas indeterminadas. 
Curiosidade: A classificação de fórmulas extensas não é um processo trivial. 
Um dos grandes desafios da computação é encontrar métodos (algoritmos) eficientes para decidir 
se uma fórmula é: 
 satisfazível — falsificável 
 contradição — tautologia 
O professor André Roberto Guerra aborda mais detalhes sobre este conteúdo na videoaula a 
seguir. Confira! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/S
ET/MT180013-A03-P05.mp4 
TROCANDO IDEIAS 
Da proposição: 
p ^ q p q) 
Fazendo a tabela-verdade, chegamos a qual conclusão? O conjunto resposta é uma 
tautologia? Uma contradição? Ou uma contingência? 
Poste sua resposta por meio de comentário no fórum da disciplina no AVA. Aproveite e veja os 
comentários dos seus colegas. 
 
 
Mas, antes disso e para entender melhor o propósito dessa atividade, assista o vídeo a seguir. 
Nele, o professor explica melhor a atividade e o que ele espera como resultado. 
 
NA PRÁTICA 
Clique no ícone em destaque! 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/M
T180013-A03-P06.mp4 
 
SÍNTESE 
Nesta aula foram apresentados os conteúdos que descrevem as Propriedades semânticas básicas 
da Lógica Proposicional (LP): 
• Tautologia 
• Contradição 
• Contingência 
• Satisfazível 
• Falsificável 
 
 
REFERÊNCIA 
SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3 - Barueri SP: Editora Manoele, 2003. 
ABAR, C.A.A.P. Noções de Lógica Matemática, 2008. Disponível em:< 
www.pucsp.br/~logica>. Acesso em: 15 out. 2015.