Matemática para Administradores

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Matemática para Administradores
Daniel Barboza Guimarães
Sumário
Aula 01: Introdução à Geometria Analítica: Tópico 01: Conjuntos Numéricos; Tópico 02: O Sistema de Coordenadas Cartesianas; Tópico 03: A Equação da Reta
Aula 02: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares: Tópico 01: Noção de Matriz; Tópico 02: Operações Matriciais e Tipos Especiais de Matrizes; Tópico 03: Matriz inversa 
Aula 03: Álgebra Linear e Sistemas de Equações Lineares: Tópico 01: Posto de uma Matriz; Tópico 02: Sistema de Equações Lineares; Tópico 03: Resolução de Sistemas de Equações Lineares Homogêneos
Aula 04: Funções: Tópico 01: Funções; Tópico 02: Funções Elementares
Aula 05: Derivadas: Tópico 01: Incremento e taxa média de variação; Tópico 02: Definição de derivada; Tópico 03: Cálculo de derivadas para funções; Tópico 04: Derivadas sucessivas e diferencial; Tópico 05: Funções Marginais
Aula 06: Aplicações de Derivadas: Tópico 01: Teorema do valor médio; Tópico 02: Regra de L’Hôpital; Tópico 03: Máximos e mínimos de uma função
Introdução à Geometria Analítica
Conjuntos Numéricos
Definição: Um conjunto é uma coleção de objetos ou entidades bem definidos. 
Os objetos ou entidades que pertencem a um conjunto são chamados de elementos do conjunto. Um conjunto está determinado por uma lista de seus elementos ou pela especificação de uma regra que determine se um dado objeto ou entidade pertence ou não a ele. Tal regra é denominada uma propriedade característica. Para representar um conjunto, escrevemos os seus elementos ou a sua propriedade característica entre chaves.
A = {a, b, c} 
B = {x: x é um inteiro ímpar}
C = {l, 2, 3, 4, 5, 6} 
D = {y: y é um inteiro}
Conjuntos Numéricos
Conjuntos Numéricos
Conjuntos Numéricos
Geometria Analítica
Distância entre Dois Pontos
A Equação da Reta
Declividade da Reta
Equação da Reta
Equação da Reta na Forma Dois Pontos
Equação da Reta na Forma Ponto Declividade
Distância de um Ponto a uma Reta
Interseção entre Duas Retas
Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Definição de Vetores
Matrizes: Definição
Operações Matriciais
Produto de Matrizes
É o produto interno de todos os vetores linha de uma por todos os vetores coluna da outra. Como só se podem calcular produtos internos entre dois vetores de mesma dimensão, segue que o número de colunas da matriz "à esquerda" deve ser igual ao número de linhas da matriz "à direita".
Produto de Matrizes
Transposição de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matrizes Particionadas
Vimos que matrizes podem ser encaradas como coleções de vetores. Podemos ir um passo além e encará-las também como coleções de MATRIZES.
 
Matriz Aumentada
O Determinante de uma Matriz
O Determinante de uma Matriz
O Determinante de uma Matriz
O Determinante de uma Matriz
O Determinante de uma Matriz
O Determinante de uma Matriz
Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa
Calculando a Matriz Inversa (Matriz 2X2)
 
Calculando a Matriz Inversa (Matriz 2X2)
 
Calculando a Matriz Inversa (Método de Jordan)
O método para calcular a inversa da matriz A, usando as operações elementares é o seguinte:
1º PASSO: Calcular det(A). Se det(A) ≠ 0, então existe a inversa da matriz, se det(A) = 0 , então não existe a inversa. Caso exista a inversa, seguir o próximo passo.
2º PASSO: Escrever a matriz aumentada n x 2n na forma [A ⋮ In], onde A é a matriz, se det(A) = 0, então não existe a inversa. Caso exista a inversa, seguir o próximo passo.
3º PASSO Transforma a matriz A, escrita no segundo passo, em matriz identidade, usando as operações elementares nas linhas, e aplicando as mesmas operações em In, dadas no segundo passo, nas linhas correspondentes. Assim obtemos [In ⋮ A-1].
 
Álgebra Linear e Sistemas de Equações Lineares
Posto de uma Matriz
Seja A uma matriz de ordem mxn. Define-se como posto da matriz A, P (A), como sendo a mais alta ordem de determinante diferente de zero que pode ser calculado a partir das submatrizes de A.
Através do posto da matriz podemos identificar se uma matriz quadrada é singular ou não singular, isto é, se A é uma matriz quadrada de ordem n, então:
A é singular, se e somente se, P(A) < n
A é não singular, se e somente se, P(A)= n
O posto de uma matriz nula é zero (este é o único caso de posto nulo).
 
Sistemas de Equações Lineares
Sistemas de Equações Lineares
Existência da Solução
Resolução de Sistemas de Equações Lineares
A resolução dos sistemas determinados (P(A) = P(A : B) = n) e, portanto, podemos aplicar a Regra de Cramer.
Esta regra consiste em determinar o valor das variáveis do sistema através de uma razão de determinantes. Como denominador teremos o determinante da matriz dos coeficientes (A) e no numerador teremos o determinante da matriz A modificada. Esta matriz modificada nada mais é que a matriz A com uma de suas colunas substituídas pela matriz B. A coluna apropriada deverá ser substituída de acordo com a variável que se quer calcular. Assim, para se calcular a primeira variável do sistema, deve-se substituir a primeira coluna da matriz A e assim sucessivamente.
 
Processo de Eliminação de Gauss-Jordan
Podemos resolver um sistema de equações lineares aplicando as operações elementares dadas anteriormente, pois sabemos que aplicando operações elementares sobre uma matriz obtemos sempre uma matriz equivalente. Nesse caso, as operações elementares transformam o sistema original em um sistema equivalente. Esse processo é conhecido como processo de eliminação de Gauss-Jordan. 
Operações Elementares
Usando a Matriz Inversa
Resolução de Sistemas de Equações Lineares Homogêneos