Callen - Resumo traduzido e exercícios resolvidos

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Resumo do Callen com os exercícios resolvidos
LSF Olavo
2008
ii
Contents
Introduction ix
1 O Problema e os postulados 1
1.1 Segunda Aula: 19/03/2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Definição Quantitativa de Calor: . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Medida da energia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 O problema básico da termodinâmica: . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 A entropia e os postulados de maximização: . . . . . . . . 4
1.2 Exercícios do Capítulo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 As Condições do Equilíbrio 15
2.1 Terceira Aula: 24/03/2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Parâmetros Intensivos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Equações de Estado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Parâmetros Entrópicos Intensivos: . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4 Equilíbrio Térmico e Conceito Intuitivo de Temperatura: 17
2.1.5 Unidades de temperatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Quarta aula: 26/03/2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Equilíbrio Mecânico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Equilíbrio com relação ao fluxo de matéria: . . . . . . . . 20
2.3 Exercícios do Capítulo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Relações Formais e Sistemas Exemplares 37
3.1 Quinta Aula: (02/04/2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 A equação de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 A relação de Gibbs-Duhem: . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Sumário da Estrutura Formal: . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.4 O Gás Simples Ideal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Sexta Aula: (07/04/2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 O fluido ideal de Van der Waals: . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Radiação Eletromagnética: . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 A barra de borracha: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4 Sistemas Magnéticos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.5 Segundas derivadas e propriedades materiais: . . . . . . . 48
iii
iv CONTENTS
3.3 Exercícios do Capítulo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Processos Reversíveis e o Teor. do Trab. Máx. 75
4.1 Sétima Aula (16/04/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Processos possíveis e processos impossíveis: . . . . . . . . 75
4.1.2 Processos quase-estáticos e reversíveis: . . . . . . . . . . . 76
4.1.3 Tempos de relaxação e irreversibilidade: . . . . . . . . . . 78
4.1.4 Fluxo de calor: sistemas acoplados e reversão de processos: 79
4.2 Oitava Aula: (23/04/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 O teorema do trabalho máximo: . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Coeficientes de máquina, refrigerador e bombeador de calor: 81
4.2.3 O ciclo de Carnot: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Exercícios do capítulo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Formulações alternativas 99
5.1 Nona Aula (30/04/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.1 O Princípio de mínima energia: . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.2 Transformações de Legendre: . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 Décima Aula (05/05/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.1 Os Potenciais Termodinâmicos: . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Exercícios do Capítulo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Princípios Extremos Transformados: 117
6.1 Décima Primeira Aula (07/05/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.1 Os princípios de minimização para os potenciais: . . . . . 117
6.1.2 O Potencial de Helmholtz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.3 A Entalpia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.4 O Potencial de Gibbs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7 As Relações de Maxwell: 123
7.1 Décima Terceira Aula (09/06/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.1 As Relações de Maxwell: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.2 Diagrama Termodinâmico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2 Exercícios do capítulo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8 Estabilidade de Sistemas Termodinâmicos: 137
8.1 Décima Quarta Aula (18/06/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.1.1 Estabilidade intrínseca de sistemas termodinâmicos: . . . 137
8.1.2 Condições de estabilidade para potenciais termodinâmicos: 141
8.1.3 Conseqüências físicas da estabilidade: . . . . . . . . . . . 143
8.1.4 O princípio de Le Chatelier: . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.1.5 O princípio de Le Chatelier-Braun: . . . . . . . . . . . . . 144
CONTENTS v
9 Transições de Fase de Primeira Ordem: 147
9.1 Décima Quinta Aula (23/06/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.1.1 Sistemas de uma componente: . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.1.2 A descontinuidade na entropia: . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.3 A declividade das curvas de coexistência: . . . . . . . . . 152
9.2 Décima Sexta Aula (25/06/2008): . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.2.1 Isotermas instáveis e transições de primeira ordem: . . . . 153
vi CONTENTS
Preface
vii
viii PREFACE
Introduction
ix
x INTRODUCTION
Chapter 1
O Problema e os postulados
1.1 Segunda Aula: 19/03/2008
1.1.1 Definição Quantitativa de Calor:
Desejamos agora introduzir uma definição quantitativa de calor, assim como
estabelecer suas unidades. Para tanto, intuitivamente, podemos dizer que o
calor (produzido ou absorvido) por um sistema termodinamicamente simples é,
sem que varie o número de moles, todo tipo de energia que não pode ser escrita
em termos do trabalho mecânico realizado pelo sistema ou sobre o sistema.
Assim, temos
ñQ = dU − ñWM . (1.1)
Vale ressaltar, entretanto, dois pontos:
• Esta expressão vale para diferenciais não-exatas para o calor e para o
trabalho (Q e WM). Entretanto, a energia é uma diferencial exata. Isto
implica que os valores de variação de Q eWM são dependentes do processo
particular que se está considerando, enquanto que o valor de variação da
energia interna U é independente das particularidades do processo.
• Note que esta expressão deve valer apenas para situações em que não haja
variação do número de moles. Para os casos em que haja uma tal variação,
deveremos incluir um outro termo na equação.
O trabalho mecânico pode ser escrito, como de costume, na forma τ = fdx,
onde f é a força e x é o deslocamento. Entretanto, como já afirmamos, força
e deslocamento não são variáveis termodinâmicas. Podemos passar para as
variáveis termodinâmicas escrevendo
τ = − f
A
(Adx) ,
1
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2 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS
onde A é a área da seção reta que se aplique ao problema particular. Nesse caso,
tomando a pressão P como f/A e o volume como dV = Adx, temos que
τ = −PdV. (1.2)
O sinal negativo deve ser colocado porque estamos assumindo que um trabalho
feito sobre o sistema irá aumentar sua energia (se tudo acontecer sem perda de
calor). De fato, pela expressão (1.1), teremos
dU = dWM
(na ausência de variação no calor tanto a energia interna como o trabalho são
diferenciais exatas). Ora, se diminuímos o volume de um certo sistema termod-
inâmico (dV < 0), então estamos agindo sobre o sistema e, assim, aumentando
sua energia, de modo que devemos ter, neste caso,
dU = −PdV
para que o valor negativo de dV implique em um aumento de energia interna.
É importante ressaltar que a expressão (1.2) para o trabalho mecânico só
vale para variações quase-estáticas no sistema.
Pela expressão (1.1) acima fica claro que o calor e a energia têm a mesma
unidade, que pode ser erg no sistema cgs, ou Joule, no sistema MKS (1J =
107ergs). A caloriatambém é usada e temos que 1cal = 4.1858J .
Example 1 1. (a) O exemplo apresenta uma curva que vale quando não há
calor envolvido (chamada de adiabat), dada por
P 3V 5 = const.
Através desta expressão, considerando que o sistema percorreu esta curva,
temos que
P 3AV
5
A = P
3V 5,
em qualquer ponto da curva. Assim, podemos escrever
P = PA
(
VA
V
)5/3
.
Como na curva adiabat não há alteração no calor, temos que a variação
da energia é simplesmente
UB − UA = −
∫ A
B
PdV = −112.5J,
como mostrado no livro.
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Thiago
Rectangle
1.1. SEGUNDA AULA: 19/03/2008 3
2. Com a introdução do sistema mecânico que irá transformar energia mecânica
em calor segundo a expressão
dP
dt
=
2
3
ω
V
τ,
onde τ é o torque, temos que
dP =
2
3
ωτdt =
2
3
dθ
dt
dt
τ
V
=
2
3
τdθ
1
V
=
2
3
dU
V
,
de modo que
dU =
3
2
V dP.
Agora, sabemos que dU ≥ 0, visto que τ e dθ têm o mesmo sinal. Assim,
como V é sempre positivo, temos que dP ≥ 0, indicando que o processo só
pode se dar na direção de aumento da pressão. Para a situação particular
em que o processo é realizado entre os pontos A e C (volume constante!),
temos que (por integração direta)
UA − UC = 3
2
VA (PA − PC) = 145.3J
e, da mesma forma,
UD − UB = 3
2
VB (PD − PB) = 1162.5J
3. Fica claro, portanto, que podemos conectar dois pontos quaisquer no plano
PV mostrado no livro bastando escolher uma curva isocórica (mesmo vol-
ume) e outra curva pelo adiabat (Q = 0). Tais curvas vão se encontrar
em algum ponto e prover um caminho termodinâmico para os dois es-
tados (inicial e final). Por exemplo, para irmos do ponto A ao ponto
D podemos usar, pelo processo adiabático, UB − UA = −112.5J e, pelo
processo isocórico, UD −UB = 1162.5J, como calculado previamente. As-
sim, temos UD − UA = 1050J, etc.
4. No processo A → D devemos ter produção de calor (não é uma curva
adiabat). Mas temos o valor de UD − UA, dado acima, bem como temos
o valor do trabalho WAD (= WADB, visto que a parte DB não contribui
devido ao volume constante). Assim,
UD − UA =WAD +QAD
e, portanto, QAD = 1750J, como no livro.
1.1.2 Medida da energia:
O problema anterior nos capacita dizer que podemos sempre controlar e medir
a energia interna de um sistema termodinâmico.
4 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS
De fato, podemos controlar na medida em que sabemos existirem paredes
que são impermeáveis à troca de calor (paredes adiabáticas), assim como aquelas
que não são impermeáveis (paredes diatérmicas). Também sabemos existirem
pareces que não permitem troca de calor nem trabalho (chamadas paredes re-
stritivas à energia). Assim, controlando o uso destas paredes, podemos sempre
controlar o fluxo de energia que entra ou sai de um sistema termodinâmico.
Um sistema termodinâmico que, além de paredes restritivas com relação à
energia, também é composto por paredes restritivas à troca de número de moles
é dito termodinamicamente fechado.
Entretanto, queremos também saber medir a energia. Ora, o exemplo feito
na seção anterior indica como isso pode ser feito: basta que atrelemos nosso
sistema a um sistema mecânico particular cuja energia sejamos capazes de medir.
Assim, a variação de energia do sistema termodinâmico implicará na variação
de energia do sistema mecânico, que mediremos. É interessante ressaltar, como
visto no exemplo anterior em que alterações só poderiam ser feitas na ’direção’
dP ≥ 0, que em geral as alterações termodinâmicas feitas por elementos externos
só podem se dar em um sentido (mostrando o caráter irreversível de muitos
fenômenos termodinâmicos).
1.1.3 O problema básico da termodinâmica:
Em termodinâmica, estamos interessados em saber qual o estado de equilíbrio
que eventualmente resulta da retirada de certos vínculos internos a um sistema
composto fechado.
Clarificando: considere que temos dois sistemas termodinâmicos ’em con-
tato’ (mas não necessariamente trocando energia, calor, trabalho, etc... isso irá
depender dos vínculos – paredes – que compõem o sistema). Tais sistemas
estão em equlíbrio na situação inicial. Entretanto, se retirarmos certos vínculos
(eliminarmos uma parede, tornarmos uma parede permissiva à troca de calor,
etc.) o sistema irá procurar uma outra configuração na qual estará novamente
em equilíbrio. Esse novo estado (situação) é que queremos conhecer.
1.1.4 A entropia e os postulados de maximização:
Axiom 2 Do que foi dito anteriormente, podemos supor a existência de uma
função, que chamaremos de entropia e que depende apenas das variáveis ter-
modinâmicas extensivas do problema (S = S(U, V,N)) cujo máximo fornece a
configuração de equilíbrio do sistema termodinâmico sob análise.
Essa suposição segue de perto a idéia cara à mecânica (à física em geral),
de que princípios de maxi-minimização de certas funções (em geral a energia -
minimização), implicam no conhecimento completo do sistema físico em questão.
Assim, devemos ter
S = S (U, V,N1, ..., Nr) (1.3)
Assim, em uma dada situação X, em que certos vínculos vA, vB , ... es-
tão ativos, temos uma entropia SX que é máxima em termos das variáveis
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1.1. SEGUNDA AULA: 19/03/2008 5
UX , VX , NX (ou seja, se mudarmos o valor de uma destas variáveis (ou várias), a
entropia passa a ter um valor menor). Se modificamos os vínculos para v′A, v
′
B,..
as variáveis UX , VX , NX têm que mudar de valor de modo a manter a função S
para estes vínculos como ainda sendo um máximo. Assim, vale notar, que a
função S é um máximo em termos dos parâmetros extensivos termodinâmicos
para cada configuração dos vínculos.
O axioma anterior pode parecer bastante evidente, mas está longe de sê-lo.
De fato, em mecânica, é a função energia cuja minimização implica na obtenção
dos resultados relevantes para a situação física sob consideração. Por que, então,
não se começa aqui considerando que é essa energia a função procurada cuja
minimização dará os resultados pertinentes? Simplesmente porque isso não
daria certo! Se fizermos isso, estaremos escrevendo algo como
U = U (V, {Ni}) ,
e não teremos introduzido, em momento algum, uma nova função S, que es-
tamos chamando de entropia e que, como veremos, está vinculada diretamente
com a noção de calor. Não sairíamos, em outras palavras, do campo da mecânica
tradicional1 .
Axiom 3 Também impomos que a entropia deva ser aditiva sobre os subsis-
temas constituintes do sistema composto além de ser uma função monotonica-
mente crescente da energia, contínua e diferenciável. Isto implica, imediata-
mente, que devemos ter
S (λU, λV, λN1, ..., λNr) = λS (U, V,N1, ..., Nr) ,
ou seja, a entropia é uma função harmônica de primeira ordem com relação aos
parâmetros extensivos.
Proof. De fato, para vermos isso basta que consideremos a situação em que
temos λ sistemas idênticos separados. Cada um tem uma entropia S (U, V, {Ni})
idêntica à dos demais. Ao colocarmos estes sistemas em contato, o sistema com-
posto irá ter uma entropia λS (U,V, {Ni}), em função da propriedade de aditivi-
dade. Entretanto, devemos nos lembrar que os parâmetros U, V, {Ni} são tam-
bém extensivos. Assim, o sistema composto deverá igualmente ter uma entropia
S (λU, λV, {λNi}). Assim, temos que S (λU, λV, {λNi}) = λS (U,V, {Ni}).
Ao invés de escrevermos a entropia em termos da energia, volume e número
de moles, podemos inverter a expressão e escrever a energia em termos da en-
tropia, do volume e do número de moles. Temos então
U = U (S, V,N1, ...,Nr) (1.4)
1Há que se lembrar que a colocação de uma teoria física sob a forma de postulados (axiomas)
é algo que se faz posteriormente à elaboração da teoria por meios muito mais tortuosos (ou
assistemáticos). Assim, os postuladossão já elaborados sabendo-se que serão suficientes para
o desenvolvimento de todos os resultados desejados. É um processo de organização da teoria,
muito mais do que um processo de descoberta.
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6 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS
e, se impomos que a entropia deve ser uma função monotonicamente crescente
da energia, além de contínua e diferenciável, devemos ter(
∂S
∂U
)
V,N1,..,Nr
> 0. (1.5)
A inversão da expressão (1.3) para a obtenção da expressão (1.4) é partic-
ularmente interessante, pois implica dizer que a maximização da entropia cor-
responde a uma minimização da energia, que é, usualmente, como os princípios
de minimização são introduzidos em física.
Axiom 4 O último postulado diz apenas que a entropia de qualquer sistema se
anula para um estado no qual tenhamos(
∂U
∂S
)
V,N1,..,Nr
= 0,
ou seja, no estado para o qual a temperatura é zero.
É importantíssimo salientar que a função S (U, V, {Ni}) ou, igualmente, a
função U (S, V, {Ni}), fornecem todas as informações termodinâmicas relevantes
para o sistema sob consideração.
1.2 Exercícios do Capítulo:
Exercise 5 (1.8-1) Considere a figura abaixo. Nela apresentamos o diagrama
P-V do exemplo com o novo ponto para o qual queremos calcular a energia do
sistema.
O ponto está sobre uma isocórica (mesmo volume) que parte do ponto D.
Sabemos como calcular a energia sobre uma isocórica usando a relação
dU =
3
2
V dP,
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Highlight
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1.2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 7
obtida da expressão mecânica
dP
dt
=
2
3
ω
V
τ.
Assim, temos que
UD − UE = 3
2
V (PD − PE)
e assim, usando o valor que já temos para UD = 1050J (ver exemplo), ficamos
com
UE = 1050− 3
2
8× 10−3 (105 − 0.5× 105) = 450J.
Exercise 6 (1.8-2) Para calcular o calor transferido ao sistema no processo
no qual ele vai (por uma linha reta) do estado A ao estado E, temos que ini-
cialmente identificar que tipo de relação a referida linha reta implica entre a
pressão e o volume. Um ponto nesta linha reta é tal que
(P − PA)
(V − VA) =
105 − 105/32
10−3 − 8× 10−3 = −13839285.71,
ou seja
P = 105 − 1.3839285× 107 (V − 10−3) .
O trabalho realizado, portanto, para se ir do estado A ao estado E fica
WAE = −
∫ VE
VA
[
105 − 1.3839285× 107 (V − 10−3)]dV = 360.9375
A variação de energia foi (estamos supondo UA = 0, como no exemplo)
UE − UA = 450J
Agora
UE − UA =WAE +QAE
e, portanto,
450 = −360.9375 +QAE
ou
QAE = 89.0625.
Exercise 7 (1.8-3) O processo agora refere-se à figura mostrada no texto, para
a qual tem-se que
U = 2.5PV + const.
com os valores do ponto A dados por PA = 0.2MPa e V = 0.01m3. Deseja-se os
valores de Q eW para cada um dos processos ali apresentados. (a) Inicialmente,
tomemos o caminho (processo) A→ B; A energia em A é dada por
UA = 2.5× 0.2
(
106
)× 0.01 = 5000J + const.
8 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS
e a energia em B é dada por
UB = 2.5× 0.2
(
106
)× 0.03 = 15000J + const.
de modo que a diferença de energia (a constante desaparece)
UAB = UB − UA = 10000J.
O trabalho realizado nesse trajeto é
WAB = −PA (VB − VA) = −0.2
(
106
)× 0.02 = −4000J
de modo que o calor associado a este processo fica
QAB = UAB −WAB = 14000J.
(b)Para o trajeto B → C, temos UC = 2.5×0.5
(
106
)×0.01+const. = 12500J+
const.. O trabalho realizado para se ir B → C é dado por (após o cálculo da
equação da reta PV)
WBC = −
∫ VC
VB
[
0.5× 106 − 1.5× 107 (V − 0.01)]dV = 7000J.
Assim, a quantidade de calor envolvida no processo é dada por
QBC = (UC − UB)−WBC = (12500− 15000)− 7000 = −9500J.
[ as outras possibilidades devem ser feitas pelos leitores].
Exercise 8 (1.8-4) Temos que vale a relação
U =
5
2
PV + const.
o que significa que devemos ter
dU =
5
2
(PdV + V dP ) ;
ora, também devemos ter, sobre uma curva adiabática, a relação
dU = −PdV,
de modo que
−PdV = 5
2
(PdV + V dP )
ou ainda
−7dV
V
= 5
dP
P
de modo que
−7 lnV/V0 = 5 lnP/P0
1.2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 9
ou (
V
V0
)−7
=
(
P
P0
)5
ou ainda
P 5V 7 = P 50 V
7
0 = const.
Exercise 9 (1.8-5) Temos que
U = AP 2V.
De modo similar ao problema anterior, sabemos que
dU = 2AV PdP +AP 2dV = −PdV
de modo que
2AV dP = − (1 +AP ) dV
implicando que
2AdP
1 +AP
= −dV
V
e assim
ln
(
1 +AP
1 +AP0
)2
= − ln V
V0
ou
(1 +AP )2 V = (1 +AP0)
2
V0 = const.
Exercise 10 (1.8-6) Temos que, a volume constante, a transferência de calor
é dada por
Q′ = A (P ′ − P0) .
Também sabemos que a curva adiabática do sistema é dada por
PV γ = const.
Para encontrar U (P, V ) devemos nos lembrar que qualquer ponto no espaço
PV pode ser alcançado através de uma curva adiabática e uma curva isocórica.
Considere a figura abaixo, na qual indicamos o processo envolvido. Na primeira
parte, o sistema realiza o processo (V0, P0)→ (V, P ) (onde não há realização de
trabalho –caráter isocórico–e a variação de energia pode ser escrita como
U ′ − U0 = A (P ′ − P0) . (1.6)
10 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS
No processo tomado sobre a curva adiabática, temos
U − U ′ = −
∫
PdV = −P0V γ0
∫
V −γdV = −P0V γ0
V 1−γ
1− γ
∣∣∣∣V
V0
(note que a integração é feita do valor do volume do estado inicial V0 até o valor
do volume final V , visto que o outro processo se dá por uma isocórica – e,
portanto, o volume não pode mudar nesse outro caminho. A energia final é U ,
mas a inicial é U ′, o que fica claro pela figura anterior). Temos, portanto, que
U − U ′ = P0V
γ
0
γ − 1
[
V 1−γ − V 1−γ0
]
=
PV γ
γ − 1
[
V 1−γ − V 1−γ0
]
,
onde substituimos P0V
γ
0 por PV
γ por razões óbvias. Ficamos, então com
U − U ′ = PV
γ − 1
(
1− rγ−1) ,
onde r = V/V0. Note ainda que na expressão (1.6) temos que vale a relação
PV γ = P ′V γ0
uma vez que os pontos estão sobre a curva adiabática. Assim,
P ′ = rγP
e o resultado fica, somando-se os dois termos,
U − U0 = A (rγP − P0) + [PV/ (γ − 1)]
(
1− rγ−1) .
Exercise 11 (1.8-7) Temos dois moles de um sistema de uma única compo-
nente que tem uma dependência da energia interna na pressão e no volume
dados por
U = APV 2
1.2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 11
(que vale para 2 moles) e queremos saber como deve ser a dependência com-
pleta da energia em termos do volume e do número de moles. Devemos nos
lembrar que tanto a energia como o volume e o número de moles são variáveis
extensivas do problema termodinâmico. Assim, sabemos que se ’agrupamos’ λ
sistemas, então passamos de (U, V,N)→ (λU, λV, λN). Temos que
U = APV 2f (N) ,
onde f é a função a ser determinada. Façamos a passagem (U, V,N)→ (λU, λV, λN)
de modo que
U ′ = APλ2V 2f (λN)
e exigindo que U ′ = λU , temos que
f (λN) =
1
λcN
,
onde c é uma constante qualquer, de tal forma que
U ′ = λ
APV 2
cN
= λU.
Falta apenas determinar c, o que dá para fazer facilmente lembrando que, para
λ = 2 devemos ter
U = APV 2,
de modo que ficamos com c = 2 e, portanto,
U =
1
2
APV 2/N.
Exercise 12 (1.10-1) Devemos simplesmente aplicar as diversas propriedades
relacionadas aos postulados para ver quais são satisfeitas e quais não são. As
propriedades são: (1) devemos ter a entropia como uma função homogênea de
primeira ordem dos parâmetros extensivos, (2) devemos ter que ela eve ser difer-
enciável e ser contínua, (3) devemos ter que (∂S/∂U)V,{Ni} > 0 e (4) devemos
ter (∂U/∂S)V,{Ni} = 0 apenas quando S = 0. Vejamos o item (a) do exercício:
(1) é satisfeita devido ao grau 1/3, pois se fizermos (U, V,N) → (λU, λV, λN)
termos
(
λ3
)1/3
= λ, como requerido. A função é claramente contínua edifer-
enciável, de modo que (2) também é satisfeita. Ainda(
∂S
∂U
)
V,{Ni}
= A
1
3
NV
(NUV )2/3
,
onde A é a constante multiplicativa ali apresentada, que é, evidentemente, maior
do que zero, de modo que (3) também é válida. Finalmente, podemos escrever
U = A−3
S3
NV
12 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS
de modo que (
∂U
∂S
)
V,{Ni}
=
3A−3S2
NV
que só se anula se S = 0, implicando na satisfação de (4). A função do item
(a) é, portanto, admissível. Para o item (h) temos que(
∂S
∂U
)
V,{Ni}
= −1
2
A
B
(
2UV −NB√
NU
)
exp
(
−UV
NB
)
,
onde B = Rθv0. Entretanto, não podemos garantir que esta função seja sempre
maior que zero, de modo que esta expressão (h) não é admissível para a entropia.
Para o item (i) temos que(
∂U
∂S
)
V,{Ni}
= AS exp
(
S
NR
)[
2NR+ S
NV R
]
que só se anula se S = 0 (prop. 4). Para calcular (∂S/∂U) só usando diferen-
ciação implícita. Assim, temos
1 =
AS
V
[
2
(
∂S
∂U
)
V,{Ni}
+
S
NR
]
exp
(
S
NR
)
,
de modo que (
∂S
∂U
)
V,{Ni}
=
A−1V
2S
exp
(
− S
NR
)
− S
2NR
que, para valores grandes de S será um número negativo. Assim, a expressão
do item (i) também não é admissível para a entropia (ou a energia interna). A
expressão em (f) é tal que
U =
N2B
V
exp (S/NR) ,
onde B é uma constante. Assim,(
∂U
∂S
)
V,{Ni}
=
NB
VR
exp (S/NR)
que não satisfaz a prop. 4, não sendo também admissível. Os outros itens
seguem as mesmas idéias.
Exercise 13 (1.10-2) É um simples problema de inversão de funções.
Exercise 14 (1.10-3) Temos que
S = A (NV U)1/3
1.2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 13
tal que VA = 9(10−6)m3, NA = 3 e VB = 4
(
10−6
)
m3 , NB = 2. A energia
total do sistema composto é UT = 80J. Temos que a entropia total do sistema
quando ele é feito composto é aditiva, de modo que
ST = SA + SB = A
[
(NAVAUA)
1/3 + (NBVBUB)
1/3
]
e também sabemos que
VT = VA+VB = 13
(
10−6
)
, UT = UA+UB = 80, NT = NA+NB = 5.
Coloquemos, agora
ST = A× 3
(
10−2
) [
U
1/3
A +
2
3
(80− UA)1/3
]
;
Note que fazer o gráfico da entropia em termos de UA/ (UA + UB) é o mesmo
que fazer o gráfico da entropia por UA/80, já que a energia total se conserva.
Fazendo o gráfico em termos de UA (e não UA/80), com UA variando de 0 até
80 temos o resultado apresentado na figura abaixo
O equilíbrio deve se dará para
∂S
∂UA
= 0,
de modo que
1
100
U
−2/3
A −
1
150
(80− UA)−2/3 = 0
ou ainda (
15
10
)3/2
=
UA
80− UA
e o resultado é
UA = 51.80236437
que é um ponto de máximo.
14 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS
Chapter 2
As Condições do Equilíbrio
2.1 Terceira Aula: 24/03/2008
2.1.1 Parâmetros Intensivos:
Como dissemos no final do capítulo anterior, o problema principal da termod-
inâmica é encontrar os valores dos parâmetros termodinâmicos quando um sis-
tema sai de uma situação de equilíbrio A para uma situação de equilíbrio B,
respeitados os vínculos em ambas as situações. Assim, estamos interessados em
processos pelos quais os sistemas mudam os parâmetros extensivos. Fica claro,
portanto, que nos interessa, finalmente, não exatamente a equação fundamental,
por exemplo:
U = U (S, V, {Ni}) ,
mas a forma diferencial
dU =
(
∂U
∂S
)
V,{Ni}
dS +
(
∂U
∂V
)
S,{Ni}
dV +
r∑
j=1
(
∂U
∂Nj
)
S,V,{Ni}i�=j
dNj , (2.1)
onde usamos a regra da cadeia. As derivadas parciais são chamadas de parâmet-
ros intensivos e são definidas como(
∂U
∂S
)
V,{Ni} = T(
∂U
∂V
)
S,{Ni} = −P(
∂U
∂Nj
)
S,V,{Ni}i�=j
= µj
, (2.2)
chamados temperatura T , pressão P e potencial químico µj da componente j.
Se assumirmos que não há variação do número de moles, podemos escrever a
equação (2.1) como
TdS = dU − ñWM ,
de modo que podemos identificar
TdS = ñQ,
15
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16 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
ou seja, um fluxo de calor quase-estático para o sistema é associado com um
aumento de entropia neste sistema.
Costuma-se chamar o termo
ñWc =
r∑
j=1
µjdNj
de trabalho químico quase-estático, de modo que a equação (2.1) pode ser escrita
como
dU = ñQ+ ñWM + ñWc.
2.1.2 Equações de Estado:
Das equações (2.2) fica claro que os parâmetros intensivos do sistema são igual-
mente funções dos parâmetros extensivos na forma
T = T (S, V, {Ni})
P = P (S,V, {Ni})
µj = µj (S, V, {Ni})
que são chamadas equações de estado. Se conhecermos todas as equações de
estado, saberemos tudo sobre o comportamento termodinâmico do sistema.
Também fica claro das expressões (2.2) que as funções T, P, µj são ho-
mogêneas de ordem zero, ou seja, são tais que
T (λS,λV, {λNi}) = T (S, V, {Ni}) ,
pela simples razão de ser a equação de estado, de onde foram retirados, ho-
mogênea de primeira ordem e já aparecer nela (em cada termo) uma diferencial
envolvendo um parâmetro extensivo. Assim, por exemplo, como na definição da
temperatura temos o aparecimento do termo dS, com S um parâmetro exten-
sivo, só podemos ter fatores multiplicativos intensivos (a temperatura, no caso),
o mesmo valendo para as outras variáveis.
Muitas vezes se adota a convenção de se escrever {V,N1, . . . , Nr} = {X1, . . . ,Xt}
de modo que ficamos com
U = U (S, {Xi})
e os parâmetros intensivos ficam
T =
(
∂U
∂S
)
{Xi}
Pj =
(
∂U
∂Xj
)
S,{Ni}i�=j
,
sendo que se escolhe X1 = −P .
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2.1. TERCEIRA AULA: 24/03/2008 17
2.1.3 Parâmetros Entrópicos Intensivos:
Da mesma forma que podemos escrever a equação fundamental tendo a energia
interna como variável dependente, podemos escrever a equação fundamental
tomando a entropia como variável dependente. Uma representação chamamos
de representação de energia, enquanto a outra denominamos representação de
entropia. Do ponto de vista formal, ambas são equivalentes quanto ao que se
pode retirar de informação delas, mas muitas vezes um problema é muito mais
facilmente resolvido usando uma ou outra delas. Na representação de entropia,
temos
S = S (X0,X1, . . . ,Xt) ,
onde X0 = U . Note que a equação (2.1) implica que
TdS = dU + PdV −
r∑
j=1
µjdNj ,
de modo que
dS =
1
T
dU +
P
T
dV −
r∑
j=1
µj
T
dNj
ou, segundo a convenção, com os parâmetros intensivos entrópicos dados por
F0 =
1
T
=
(
∂S
∂X0
)
{Xi}i�=0
, Fk = −Pk
T
, k = 1, 2, ..
onde P1 = −P .
2.1.4 Equilíbrio Térmico e Conceito Intuitivo de Temper-
atura:
Uma vez feita a definição de temperatura, a partir da equação de estado na
energia, fica-se por mostrar que esta função de estado (variável termodinâmica
intensiva) se comporta como nossa intuição percebe a temperatura. Isso pode
ser visto facilmente se tomarmos um sistema no qual não há variação no número
de moles, nem no volume (’paredes restritivas às variáveis V e N ’) e tal que o
sistema completo é constituído por dois subsistemas, cujas energias internas são
U(1) e U(2). O sistema completo é fechado, de modo que
U (1) + U (2) = const. (2.3)
Se retirarmos a parede que impedia a troca de calor entre os dois sistemas,
suas energias livres irão se ajustar de modo a fazer com que a entropia seja um
máximo, ou seja, de modo que
dS = 0. (2.4)
Sabemos, entretanto, que
S = S(1)
(
U (1), V (1),
{
N
(1)
i
})
+ S(2)
(
U (2), V (2),
{
N
(2)
i
})
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Thiago
Rectangle
18 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
e assim
dS =
(
∂S(1)
∂U (1))
V (1),
{
N
(1)
j
} dU (1) +
(
∂S(2)
∂U (2)
)
V (2),
{
N
(2)
j
} dU(2)
e, portanto,
dS =
1
T (1)
dU(1) +
1
T (2)
dU (2). (2.5)
Mas, (2.3) implica que dU (1) = −dU (2) e (2.4) implica que
1
T (1)
=
1
T (2)
, (2.6)
de modo que os sistemas irão procurar o equilíbrio de modo a igualar as tem-
peraturas.
É interessante notar que, apesar de isso não ser comum no campo da ter-
modinâmica, as relações (2.3) e (2.6), quando vistas como equações relacionando
funções das variáveis extensivas, implicam na possibilidade de se obter os valores
numéricos para as energias de cada sistema na situação final de equilíbrio.
Se na situação acima temos que
T (1) � T (2),
então, quando a parede que separa os dois sistemas é removida, a entropia total
aumenta, ou seja, ∆S > 0 (até que seja encontrado um ponto de equilíbrio para
a nova situação do vínculo removido, na qual ∆S = 0, como já visto). Mas é
fácil ver pela equação (2.5) que
∆S ≃
(
1
T (1)
− 1
T (2)
)
∆U (1)
(em primeira ordem), de modo que
∆U(1) < 0,
ou seja, o calor irá fluir do sistema de maior temperatura para o sistema de
menor temperatura (o que é, evidentemente, necessário para que elas se igualem
em algum ponto no processo de ir para o equilíbrio.)
Ambas as propriedades assinaladas representam os comportamentos que es-
peramos intuitivamente da função temperatura, indicando que nossa definição
de temperatura é adequada.
2.1.5 Unidades de temperatura:
Uma vez que ainda não escolhemos a unidade dimensional da entropia, a unidade
dimensional da temperatura também fica por determinar, uma vez que a tem-
peratura, pela definição, tem, evidentemente, dimensão de energia por entropia.
Resultados da física estatística implicam na escolha da entropia como sendo
2.2. QUARTA AULA: 26/03/2008 19
uma grandeza sem dimensão de modo que a temperatura passa a ter dimensão
de energia.
Mesmo tendo dimensão de energia, a unidade de temperatura não é comu-
mente escolhida como o Joule, por exemplo. A partir do fato de que há um zero
absoluto de temperatura, fica-se apenas com a escolha arbitrária da unidade de
temperatura, que pode ser escolhida a partir da atribuição de um valor qualquer
a um certo estado de um sistema padrão. Seja qual for a unidade, entretanto, é
evidente que todas as escalas de temperatura devem coincidir em T = 0.
Assim, temos a escala Kelvin de temperatura, definida atribuindo o número
273.16 à temperatura de uma mistura de gelo puro, água e vapor de água em
equilíbrio mútuo (ponto triplo da água). A unidade nessa escala é chamada de
Kelvin e o símbolo é K. A razão de um Kelvin para um Joule é um número
adimensional dado por 1.3806 × 10−23J/K e é conhecido como constante de
Boltzmann, e representado por kB. Há também a escala Rankine, que é sim-
plesmente 9/5 da temperatura Kelvin (é usualmente representada pelo símbolo
oR).
Entretanto, estas escalar acabam implicando em grandes números quando
consideramos situações usuais do dia-a-dia. Assim, temperaturas usuais estão
na região dos 300K (540oR); temos então duas outras escalas: a escala Celsius,
dada por
T (oC) = T (K)− 273.15,
cuja unidade é o grau Celsius, representado por oC. Nessa escala o zero termod-
inâmico está deslocado, de modo que, estritamente falando, a escala Celsius não
é uma escala de temperatura termodinâmica. Entretanto, as diferenças entre as
temperaturas representadas na escala Celsius estão corretas.
A escala Farenheit (oF ) também é uma escala prática, definida por
T (oF ) =
9
5
T (oC) + 32,
valendo as mesmas considerações que fizemos com relação à temperatura Celsius.
2.2 Quarta aula: 26/03/2008
2.2.1 Equilíbrio Mecânico:
O princípio da máxima entropia pode ser utilizado também para analisar as
condições para um equilíbrio mecânico (envolvendo as variáveis relativas ao
trabalho mecânico.) Para tanto, basta considerar um sistema termodinâmico
com vínculos restritivos para a variação de número de moles, mas que possui
paredes diatermas e móveis (sendo não-restritivo para variações da temperatura
e do volume). Neste caso, temos que
U = U (1) + U(2)
V = V (1) + V (2)
20 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
são constantes, ainda que cada uma das variáveis relativas a um dos sistemas
possa variar. De qualquer modo, deve valer
dS = 0,
de modo que se obtém, usando
dU(1) = −dU (2)
dV (1) = −dV (2)
a relação
dS =
(
1
T (1)
− 1
T (2)
)
dU (1) +
(
P (1)
T (1)
− P
(2)
T (2)
)
dV (1) = 0,
ou ainda
1
T (1)
= 1
T (2)
P (1)
T (1)
= P
(2)
T (2)
,
que são as condições para o equilíbrio. Evidentemente, a igualdade das pressões
são precisamente o resultado que se esperaria a partir das noções mecânicas.
Ressalta-se que o caso de uma parede móvel em um sistema adiabático (e re-
stritivo para variação do número de moles) é um problema com características
especiais, na medida em que não tem uma solução única bem definida (ver
exercício (2.7-3)).
Note que, no caso de um sistema em que temos a mesma temperatura T ,
a alteração da entropia em um processo no qual uma parede diaterma é móvel
fica dada por
dS =
P (1) − P (2)
T
dV (1),
de modo que, sabendo que no processo de modificação do sistema termodinâmico
(para se ajustar aos novos vínculos e à situação de contato entre os sistemas)
dS > 0, se temos uma pressão P (1) > P (2), então a parede tenderá a mover-se em
uma direção tal que implique dV (1) > 0 (o que já esperávamos, evidentemente).
2.2.2 Equilíbrio com relação ao fluxo de matéria:
O fluxo de matéria está vinculado ao conceito de potencial químico. Se consid-
eramos uma situação de equilíbrio relacionada a dois sistemas conectados por
uma parede rígida (restritiva a variações do volume), mas diaterma e permeável
a apenas um dos tipos de matéria (sendo impermeável a todos os demais – essa
hipótese serve para isolar a alteração devida apenas ao fluxo de um dos tipos de
matéria), então, por considerações absolutamente análogas àquelas feitas para
o problema mecânico, temos
1
T (1)
= 1
T (2)
µ
(1)
j
T (1)
=
µ
(2)
j
T (2)
,
2.2. QUARTA AULA: 26/03/2008 21
onde escolhemos o tipo j como sendo aquele para o qual as paredes são perme-
áveis.
Se pensamos em uma situação na qual as temperaturas são iguais (a T ),
então a variação da entropia fica dada por
dS =
µ
(2)
j − µ(1)j
T
dN
(1)
j ,
de modo que, como no processo de alteração a entropia cresce, se µ(1)j for maior
do que µ(1)j , então dN
(1)
j terá que ser negativo, mostrando que haverá um fluxo
de partículas das regiões de maior potencial químico para as regiões de menor
potencial químico.
Assim, da mesma forma que a temperatura pode ser vista analogamente
como um potencial para o fluxo de calor, e a pressão pode ser vista como um
tipo de potencial para a mudança de volume, o potencial químico pode ser visto
como um potencial para o fluxo de matéria. Diferenças na temperatura geram
um fluxo de calor da região mais quente para a menos quente, diferenças de
pressão geram um movimento da parede da região com maior pressão para a
região com menor pressão e diferenças no potencial químico geram uma força
generalizada que coloca a matéria em movimento da região com maior potencial
químico para a região com menor potencial químico (justamente no sentido de
tornar o potencial químico único no sistema composto, visto ser este potencial
químico uma variável intensiva.)
O Equilíbrio químico:
Ligada à questão do equilíbrio relacionado com os números de moles de um
sistema termodinâmico, está a questão do equilíbrio químico que se estabelece
em reações químicas (que podem ser vistas, evidentemente, como a passagem de
um sistema termodinâmico de uma situação de equilíbrio (um lado da equação),
para uma outra situação de equilíbrio (o outro lado da equação)). Assim, na
reaçãoquímica
2H2 +O2 ⇋ 2H2O,
podemos escrever
0⇋
∑
j
νjAj ,
onde νj é o coeficiente estequiométrico relacionado ao tipo químico Aj . Na
equação química anterior, teríamos, por exemplo, ν1 = −2, A1 = H2, ν2 = −1,
A1 = O2, ν3 = 2, A3 = H2O.
A relação entre estas reações químicas e nossos sistemas termodinâmicos se
dá porque os coeficientes estequiométricos são tais que suas mudanças devem ser
proporcionais à mudança dos números de moles (evidentemente, pois trata-se
da mudança dos números de moléculas por mol, etc.) Assim, para uma equação
fundamental
S = S (U, V, {Ni})
22 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
de um sistema químico no qual tanto a energia total quanto o volume V per-
maneçam fixados, a mudança na entropia em um processo químico fica dada
por
dS = −
r∑
j
µj
T
dNj
e, com a proporcionalidade entre os coeficientes estequiométricos e as variações
dos números de moles, temos
dNj = νjdN
′,
de modo que, no equilíbrio,
dS = −dN
′
T
r∑
j
µjνj = 0
e assim,
r∑
j
µjνj = 0.
Se conhecermos as equações de estado de uma mistura, então estas últimas
condições permitem uma solução completa para o número final de número dos
moles.
2.3 Exercícios do Capítulo:
Exercise 15 (2.2-1) A equação fundamental é dada por
U = AS3/ (NV ) ,
Assim,
T = T (S,N, V ) =
(
∂U
∂S
)
V,N
= 3AS
2
NV
P = P (S,N, V ) = − (∂U∂V )S,N = − AS3NV 2
µ = µ (S,N, V ) =
(
∂U
∂N
)
S,V
= − AS3N2V
.
Cada uma destas equações é homogênea de ordem zero. De fato, para a temper-
atura, façamos a passagem (S,N,V )→ (λS,λN, λV ) para obter
T ′ =
3Aλ2S2
λNλV
=
3AS2
NV
= T,
e o mesmo para as demais. Assim, T, P e µ são parâmetros intensivos.
Exercise 16 (2.2-2) Devemos encontrar µ como função de T, V e N apenas.
Sabemos que
µ = − AS
3
N2V
2.3. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 23
e precisamos eliminar a entropia. Para isto usamos a equação da temperatura
para escrever
S =
√
1
3A
TNV
de modo que
µ = − A
N2V
[
TNV
3A
]3/2
= − T
3/2
3
√
3A
√
V
N
,
que é o resultado desejado.
Exercise 17 (2.2-3) Queremos a dependência da pressão com a temperatura.
Temos que
U = A
S3
NV
e já sabemos que
T =
3AS2
NV
.
Derivando com relação ao volume, temos que
P = −
(
∂U
∂V
)
S,N
=
AS3
NV 2
.
Assim, temos
P =
A
NV 2
[
TNV
3A
]3/2
=
T 3/2
3
√
3A
√
N
V
ou ainda
PV 1/2 = const.
para uma curva isotérmica, onde a constante é tão maior quanto maior for a
temperatura. Confira a figura abaixo.
Exercise 18 (2.2-4) Temos a equação fundamental
u = As2 −Bv2,
onde s = S/N e v = V/N e A e B são duas constantes quaisquer. As equações
de estado são
T =
(
∂U
∂S
)
V,N
=
(
∂u
∂s
)
V
= 2As
P = − (∂U∂V )S,N = − (∂u∂v )S = −2Bv ;
No caso do potencial químico, devemos tomar um pouco mais de cuidado. Temos
que
µ =
(
∂U
∂N
)
S,V
.
Então, fazemos a expressão da energia interna (por mole) retornar à expressão
da energia interna, de modo a obter
U =
(
AS2 −BV 2) /N
24 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
Figure 2.1:
e realizamos a derivaçãoµ =
(
∂U
∂N
)
S,V
= − (AS2 −BV 2) /N2 = − (As2 −Bv2) =
−u.
Exercise 19 (2.2-5) Temos que
µ = −u = −As2 +Bv2 = −T
2
4A
+
P 2
4B
.
Assim, a despeito de µ poder ser escrito em termos de parâmetros extensivos,
uma vez que pode ser escrito em termos apenas de parâmetros intensivos, ele
deve ser, necessariamente, intensivo. O que o exercício mostra é que, em geral,
não podemos julgar o caráter de um parâmetro termodinâmico apenas olhando
para a forma como pode ser escrito em termos de variáveis extensivas, sendo
mais apropriado julgá-lo a partir de sua escrita em termos de sua escrita em
função do máximo número de parâmetros intensivos.
Exercise 20 (2.2-6) Temos, pelo enunciado, que
u = A
s2
v
es/R,
de modo que
T =
(
∂u
∂s
)
V
= Asv
(
2− sR
)
es/R
P = − (∂u∂v )S = As2v2 es/R
e, como
U = A
S2
V
exp
(
S
NR
)
,
temos que
µ =
(
∂U
∂N
)
S,V
= −A S
3
N2V R
exp
(
S
NR
)
= −A
R
s
v
exp
( s
R
)
= − u
R
.
2.3. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 25
Exercise 21 (2.2-7) Temos que
u = Av−2 exp
( s
R
)
e N moles da substância, inicialmente à temperatura T0 e pressão P0 são ex-
pandidos isentropicamente (s = const.) até a pressão ter passado à metade, ou
seja, Pf = P0/2. Queremos saber a temperatura final. Inicialmente, encon-
tramos as equações de estado, fazendo
T =
(
∂u
∂s
)
V
= Av2R exp
(
s
R
)
P = − (∂u∂v )S = 2Av3 exp ( sR) .
Sabemos que a expansão foi isentrópica, de modo que temos sempre a mesma
entropia s. Vamos obter, assim, uma relação entre P e T , que pode ser escrita
como
Pv = 2RT.
Precisamos saber o que ocorreu com o volume no processo. Mas esta informação
está dada pela condição de que a pressão foi diminuída à metade. Assim
P0 =
2A
v30
exp
( s
R
)
, Pf =
2A
v3f
exp
( s
R
)
=
P0
2
de modo que
vf =
[
4A
P0
exp
( s
R
)]1/3
=
[
4A
P0
P0v
3
0
2A
]1/3
=
3
√
2v0.
Assim, ficamos com
Tf =
P0
4R
vf =
P0v0
4R
3
√
2.
Como P0v0 = 2RT0, temos que
Tf =
3
√
2
2
T0 = 0.6299605250T0.
Exercise 22 (2.2-8) Temos um sistema de r componentes. Assim, sabemos
que podemos escrever sua equação fundamental na energia como
dU = TdS − PdV +
r∑
i=1
µidNi.
Entretanto, sabemos que
N =
r∑
i=1
Ni
e que dN = 0. Mas então há uma dependência linear entre os dNi, visto que
0 =
r∑
i=1
dNi.
26 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
Escolhamos o dNr para ser escrito em termos dos demais; temos que
dNr = −
r−1∑
i=1
dNi
e assim,
µrdNr = −
r−1∑
i=1
µrdNi.
Substituindo esta expressão na expressão original da energia interna, temos
dU = TdS − PdV +∑ri=1 µidNi = dU = TdS − PdV +∑r−1i=1 µidNi + µrdNr
= TdS − PdV +∑r−1i=1 µidNi −∑r−1i=1 µrdNi = TdS − PdV +∑r−1i=1 (µi − µr) dNi ;
agora, dividindo por N , temos
du = Tds− Pdv +
r−1∑
i=1
(µi − µr) dxi,
como desejado.
Exercise 23 (2.2-9) Sabemos que PV k = const. em um processo adiabático.
Temos que mostrar que a energia é dada por
U =
1
k − 1PV +Nf
(
PV k/Nk
)
.
Usando a sugestão, temos que PV k = g (S) , ou seja,
P = −
(
∂U
∂V
)
S,N
=
g (S)
V k
.
Mas então, integrando, temos que
U = −g (S)
∫
dV
V k
=
g (S)
k − 1V
1−k +Nf (S,N) ,
onde f é uma função arbitrária. Como g (S) = PV k temos que
U =
1
k − 1PV +Nf (S,N) .
Note que S é uma função de PV k, de modo que podemos escrever
U =
1
k − 1PV +Nf
(
PV k, N
)
.
Mas note que f , devido ao termo multiplicativo N , deve ser uma função inten-
siva das variáveis extensivas, de modo que devemos ter
f
(
PV k, N
)
= F
(
PV k/Nk
)
2.3. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 27
e, portanto,
U =
1
k − 1PV +NF
(
PV k/Nk
)
,
como desejado.
Exercise 24 (2.3-1) A equação é dada por
u = A
s5/2
v1/2
de modo que temos
s = Bv1/5u2/5
e, portanto,
1
T
=
2
5
B
v1/5
u3/5
.
Da mesma forma, temos que
P
T
= B
u2/5
v4/5
e, para o potencial químico,
S = BV 1/5U2/5N2/5
e assim
µ
T
= −2
5
BV 1/5U2/5N−3/5 = −2
5
Bv1/5u2/5.
Exercise 25 (2.3-2) A temperatura x volume (pressão fixada) pode ser obtida
a partir das equações de estado acima apresentadas. Temos, evidentemente, que
eliminar a variável u (energia interna por mol). Da expressão para o inverso
da temperatura, temos que
u = Cv1/3T 5/3,
onde C é uma constante, e, portanto,
P
T
= B
C2/5v2/15T 2/3
v12/15
= E
T 2/3
v2/3
,
onde E = BC2/5 e é uma constante. Assim,
T 5/3 ∝ v2/3
ou
T ∝ v1/5
e o gráfico fica
28 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIOExercise 26 (2.3-3) Temos que
u = As2e−v
2/v0 ,
de modo que podemos invertê-la para obter
s =
1√
A
√
uev
2/2v0
e assim obter as equações de estado como sendo
1
T
=
(
∂s
∂u
)
{v}
=
1
2
√
Au
ev
2/2v0 ,
etc.
Exercise 27 (2.3-4) Nos é dada a equação fundamental
S = AUnVmNr
e queremos que esta equação satisfaça os postulados termodinâmicos, além de
fornecer uma pressão P que aumente com U/V com N constante (tomando o
zero de energia como sendo aquele relacionado com o zero de temperatura). Ora,
sabemos que devemos ter
n+m+ r = 1, (2.7)
de modo que a função S seja harmônica de primeira ordem. Devemos ter ainda
que (
∂S
∂U
)
V,N
> 0,
de modo que
nAUn−1V mNr > 0
e, portanto,
n > 0. (2.8)
2.3. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 29
O quarto postulado nos diz que(
∂U
∂S
)
V,N
= T = 0
apenas no caso S = 0. Então escrevemos na representação de energia
U = A1/n
S1/n
V m/nNr/n
para obter
T =
1
n
(
A
V mNr
)1/n
S(1−n)/n
e, portanto,
1− n
n
> 0
e
n < 1. (2.9)
Também devemos ter
P =
(
∂S
∂V
)
U,N
=mAUnV m−1Nr
e como queremos que P aumente com U/V , devemos ter
m = 1− n, (2.10)
já que n > 0. Assim, ficamos com
P =mA
(
U
V
)n
Nr,
que satisfaz o exigido. As relações (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10) são as relações
procuradas.
Exercise 28 (2.3-5) A equação de estado é dada por
S = R
[
UV
N
− N
3
UV
]
,
de modo que as equações de estado são
1
T = R
[
V
N +
N3
U2V
]
P
T = R
[
U
N +
N3
UV 2
]
µ
T = −R
[
UV
N2 +
3N2
UV
] .
(a)Evidentemente, tais parâmetros intensivos são homogêneos de ordem zero.
Para ver isto, basta fazer, em cada equação, a substituição (U, V,N)→ (λU, λV, λN)
30 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
e mostrar que não há variação da equação. Para a temperatura, por exemplo,
temos
1
T ′
= R
[
λV
λN
+
λ3N3
λ2U2λV
]
=
1
T
,
etc. (b) é também evidente que, sendo R uma constante postiva, T é intrinse-
camente positiva. (c) Para encontrar a equação de estado mecânica, dada por
P (T, v), basta escrever
P
T
=
RU
V
[
V
N
+
N3
U2V
]
=
U
V T
de modo que
U = PV
e assim
1
T
= R
[
V
N
+
N3
P 2V 3
]
de onde tiramos
P =
(
N
V
)2√
RV T
N −RV T
(d) Podemos escrever
S = R
[
PV 2
N
− N
3
PV 2
]
de modo que
P =
1
V 2
[
N
2R
(
S +
√
S2 + 4R2N2
)]
de modo que
PV 2 = const.
representa o locus relativo às curvas adiabáticas.
Exercise 29 (2.6-2) A constante do gás (R) é definida como o produto do
número de Avogadro
(
NA = 6, 0225× 1023mole´culas/mole
)
e a constante de
Boltzmann, ou seja, R = NAkB. Temos, portanto, que R = 8.314J/mole.K.
Temos também que R = 8.314J/mole.oC. Para expressar em termos da unidade
J/mole.oF , podemos simplesmente nos lembrar que há uma relação entre oR
(Rankine) e K dada por oR = 95K e que
T (oF ) = T (oR)− 459.67,
de modo que
R = 8.314
J
mole.K
= 8.314
J
mole.59
o
R
=
9
5
× 8.314 J
mole.oR
e, portanto,
R =
9
5
× 8.314 J
mole.oF
,
já que a escala Farenheit tem a mesma ’grandeza’ da escala Rankine.
2.3. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 31
Exercise 30 (2.6-3) Temos dois sistemas dados por
1
T (1)
=
3
2
R
N (1)
U (1)
,
1
T (2)
=
5
2
R
N (2)
U (2)
,
com N (1) = 2 e N (2) = 3. Os sistemas estão separados por paredes diatérmicas
e a energia total do sistema é U = 2.5 × 103J. Queremos saber qual a energia
interna de cada sistema em equilíbrio. Para isso, usamos o fato de que, no
equilíbrio,
1
T (1)
=
1
T (2)
,
de modo que
3
2
R
2
U(1)
=
5
2
R
3
U (2)
e como
U (1) + U(2) = 2.5× 103,
ficamos com
6
U (1)
=
15(
2.5× 103 − U(1))
que dá
U (1) = 714.2857143J.
Exercise 31 (2.6-4) Os mesmos dois sistemas estão separados por uma parede
diaterma e com os mesmos números de moles. Agora as temperaturas iniciais
são T (1) = 250K e T (2) = 350K e queremos saber os valores de U (1) e U (2)
após o equilíbrio ter sido estabelecido. No equilíbrio, sabemos que devemos ter
1
T (1)
=
1
T (2)
;
também sabemos que devemos ter em qualquer caso,
U (1) + U (2) = U
Assim, podemos calcular as energias U (1) e U (2) iniciais para calcular U.
Temos
1
250
=
3
2
8.314
2
U(1)
,
1
350
=
5
2
8.314
3
U(2)
de modo que
U
(1)
i = 6235.5, U
(2)
i = 21824.25
de modo que
U = 28059.75J.
Agora podemos usar os mesmos passos do problema anterior para escrever
6
U
(1)
f
=
15(
28059.75− U(1)f
)
32 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
para obter
U
(1)
f = 8017.071429J
e
U (2) = 20042.67857J
de modo que a temperatura final pode ser calculada por qualquer uma das fór-
mulas como
1
Tf
= 328.314
2
8017.071429 = 321.4285714
1
Tf
= 528.314
3
20042.67857 = 321.4285714
.
Exercise 32 (2.7-1) As relações entre os volumes são dadas por
δV (1) = A1δℓ1, δV
(2) = A2δℓ2, δV
(3) = A3δℓ3,
onde sabemos que
−δℓ3 = δℓ1 + δℓ2,
visto que se δℓ1 ou δℓ2 aumentarem, δℓ3 deve diminuir. Assim, supondo, como
de hábito, que
δU = δU (1) + δU (2) + δU(3) = 0,
temos
δS = 1
T (1)
dU (1) + P
(1)
T (1)
dV (1) + 1
T (2)
dU(2) + P
(2)
T (2)
dV (2) + 1
T (3)
dU (3) + P
(3)
T (3)
dV (3)
=
[
1
T (2)
− 1
T (1)
]
dU (2) +
[
1
T (3)
− 1
T (1)
]
dU (3) +
[
P (1)A1
T (1)
− P (3)A3
T (3)
]
dℓ1+[
P (2)A2
T (2)
− P (3)A3
T (3)
]
dℓ2
e, então, no equilíbrio:
1
T (1)
=
1
T (2)
=
1
T (3)
e
P (1)A1 = P
(3)A3 = P
(2)A2,
que, uma vez que pressão×a´rea = força, temos a equação de equilíbrio mecânico
f1 = f2 = f3,
onde fi é a força realizada pelo cinlindro i na(s) parede(s) do(s) êmbolo(s).
Exercise 33 (2.7-2) Temos que os dois sistemas são dados pelas equações de
estado
1
T (1)
=
3
2
R
N (1)
U (1)
,
P (1)
T (1)
= R
N (1)
V (1)
e
1
T (2)
=
5
2
R
N (2)
U (2)
,
P (2)
T (2)
= R
N (2)
V (2)
sendo que N (1) = 0.5 e N (2) = 0.75, e que, inicialmente, T (1) = 200K e
T (2) = 300K, sendo o volume total 20ℓ. O sistema é liberado quanto à troca
2.3. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 33
de calor e movimentação das paredes (mas o sistema permanece com as paredes
impermeáveis). Temos então que, incialmente, as energias são
U(1) =
3× 8.3× 0.5× 200
2
= 1245J, U (2) =
5× 8.3× 0.75× 300
2
= 4668.75J
e a energia total (que se conserva)
U = 5913.75
Temos, portanto, os vínculos
5913.75 = U(1) + U (2)
e
V (1) + V (2) = 20
e queremos saber as energias, os volumes, as pressões e as temperaturas de cada
subsistema no equilíbrio. A condição de equilíbrio nos fornece duas novas
equações
1
T (1)
=
1
T (2)
e
P (1)
T (1)
=
P (2)
T (2)
.
Da primeira equação de equilíbrio temos
3
0.5
U(1)
= 5
0.75[
5913.75− U (1)] ,
de modo que U (1) = 1689.643J e, portanto, U(2) = 4224.107J; Obtemos, então,
as temperaturas finais como
T (1) =
2× 1689.642857
3× 8.3× 0.5 = 271.43K, T
(2) =
2× 4224.107143
5× 8.3× 0.75 = 271.43K.
Do equilíbrio das pressões, temos
8.3× 0.5
V (1)
=
8.3× 0.75
20− V (1)
dando
V (1) = 8ℓ, V (2) = 12ℓ
de modo que as pressões ficam
P (1) =
271.43× 8.3× 0.5
8
= 140.80, P (2) =
271.43× 8.3× 0.75
12
= 140.80.
34 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
Exercise 34 (2.7-3) No caso de um sistema adiabático, temos
dU (1) = −P (1)dV (1), dU(2) = −P (2)dV (2) (2.11)
e assim
−P (1)dV (1) − P (2)dV (2) = dU = 0.
Como
dV (1) = −dV (2),
temos que P (1) = P (2). Assim, o problema é bem determinado do ponto de vista
das pressões. Comrelação à temperatura, temos que
dS =
1
T (1)
dU (1) +
P (1)
T (1)
dV (1) +
1
T (2)
dU (2) +
P (2)
T (2)
dV (2) = 0,
no caso de equilíbrio. Entretanto, usando-se (2.11), temos que dS = 0 identi-
camente, não havendo equação para as temperaturas.
Exercise 35 (2.8-1) A equação fundamental é
S = NA+NR ln
U3/2V
N5/2
−N1R ln N1
N
−N2R ln N2
N
onde
N = N1 +N2.
O volume total é V = 10ℓ e a membrana é permeável apenas ao primeiro ele-
mento (apenas N1 pode se alterar). O volume é repartido pela metade (V (1) =
V (2) = 5ℓ) em cada câmara e na primeira são colocados N (1)1 = 0.5 e N
(1)
2 =
0.75 e T (1) = 300K. Na segunda câmara são colocados N(2)1 = 1, N
(2)
2 = 0.5 e
T (2) = 250K. Depois do equilíbrio, queremos saber os valores de N(1)1 , N
(2)
1 , T, P
(1)
e P (2). Para isso, lembremos que N2 não irá variar em nenhuma das câmaras.
Devemos ter, no equilíbrio,
µ
(1)
1
T (1)
=
µ
(2)
1
T (2)
,
1
T (1)
=
1
T (2)
,
mas precisamos, primeiro, encontrar as equações de estado (no ato de separação,
cada subsistema irá ter a mesma equação de estado, mas para os valores de U (i),
V (i) e N (i)1 , N
(i)
2 , com i = 1, 2. Temos a equação fundamental, de modo que
1
T (1)
= 32R
N(1)
U(1)
, P
(1)
T (1)
= RN
(1)
V (1)
µ
(1)
1
T (1)
= A+R ln
[
(U(1))
3/2
V (1)
(N(1))5/2
]
− 52R−R ln
N
(1)
1
N(1)
,
o mesmo valendo para o segundo sistema em termos de suas variáveis U (2),
V (2), etc. Calculamos as energias iniciais com as temperaturas e os números
de moles
1
300
=
3
2
× 8.3× 1.25
U (1)
,
1
250
=
3
2
× 8.3× 1.5
U (2)
2.3. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 35
dando
U (1) = 4668.75J, U (2) = 4668.75J
que são iguais. A energia total é U = 9337.5J. No equilíbrio devemos ter
1
T (1)
=
1
T (2)
,
µ
(1)
1
T (1)
=
µ
(2)
1
T (2)
de modo que temos as equações
N
(1)
1 + 0.75
U(1)
=
N
(2)
1 + 0.5
U(2)
e (
U (1)
)3/2(
N
(1)
1 + 0.75
)3/2
N
(1)
1
=
(
U (2)
)3/2(
N
(2)
1 + 0.5
)3/2
N
(2)
1
.
Da primeira, temos
U(1) =
N
(1)
1 + 0.75
N
(2)
1 + 0.5
U (2)
e assim, a segunda equação dá
1
N
(1)
1
=
1
N
(2)
1
ou, N(1)1 = N
(2)
1 , de modo que, no final, teremos a mesma quantidade de N1
nos dois lados. Ora, como temos, inicialmente
N1 = N
(1)
1 +N
(2)
1 = 1.5,
então ficamos, no estado final, com
N
(1)
1 = N
(2)
1 = 0.75.
A energia interna final pode ser calculada usando
U (1) =
0.75 + 0.75
0.75 + 0.5
U (2), U(1) + U (2) = 9337.5,
dando
U(2) = 4244.32, U (1) = 5093.18
Assim, a temperatura final de equilíbrio fica
1
T
=
3
2
R
N(1)
U(1)
=
3
2
× 8.3× 1.5
5093.18
dando T = 272.73. As pressões podem, então, ser calculadas facilmente, dando
P (1) = 272.3× 8.3× 1.5
5
= 679.1
e
P (2) = 272.3× 8.3× 1.25
5
= 565.9.
36 CHAPTER 2. AS CONDIÇÕES DO EQUILÍBRIO
Exercise 36 (2.8-2) Similar ao anterior. Façam!
Exercise 37 (2.9-1) A equação relacionada com os parâmetros estequiométri-
cos é
νC3H8 = −1, νH2 = −2, νCH4 = 3
e com o fator de proporcionalidade dN ′ temos
dS = −dN
′
T
[−µC3H8 − 2µH2 + 3µCH4] = 0
de modo que reproduzimos a equação
P (1) + 2P (2) = 3P (3),
só que em termos dos potenciais químicos.
Chapter 3
Relações Formais e
Sistemas Exemplares
3.1 Quinta Aula: (02/04/2008)
3.1.1 A equação de Euler:
Estamos interessados agora em explorar as propriedades matemáticas das equações
fundamentais. Basicamente, interessa-nos encontrar formas pelas quais pos-
samos obter as equações fundamentais a partir das informações sobre as equações
de estado.
Uma primeira ferramenta importante nesse sentido é a equação de Euler, que
se utiliza da propriedade de homogeneidade de primeira ordem que as equações
fundamentais possuem. Assim, de
U (λS, λV, {λNi}) = λU (S, V, {Ni}) ,
temos, por diferenciação com relação a λ,
∂U
∂ (λS)
∂ (λS)
∂λ
+
∂U
∂ (λV )
∂ (λV )
∂λ
+
r∑
i=1
∂U
∂ (λNi)
∂ (λNi)
∂λ
= U (S, V, {Ni})
de modo que
∂U
∂ (λS)
S +
∂U
∂ (λV )
V +
r∑
i=1
∂U
∂ (λNi)
Ni = U (S, V, {Ni})
e como a equação vale para qualquer valor de λ, colocando λ = 1 temos
U (S, V, {Ni}) = ∂U
∂S
S +
∂U
∂V
V +
r∑
i=1
∂U
∂Ni
Ni
37
38 CHAPTER 3. RELAÇÕES FORMAIS E SISTEMAS EXEMPLARES
ou ainda
U (S, V, {Ni}) = TS − PV +
r∑
i=1
µiNi, (3.1)
que é a equação de Euler.
Na representação entrópica, usando as mesmas idéias, ficamos com
S (U, V, {Ni}) = 1
T
U +
P
T
V −
r∑
i=1
µi
T
Ni, (3.2)
como pode ser visto também isolando-se S na representação de energia.
3.1.2 A relação de Gibbs-Duhem:
Uma outra relação que nos auxilia no processo de investigação das propriedades
matemáticas das equações fundamentais (e, portanto, dos sistemas termod-
inâmicos em geral), é a chamada relação de Gibbs-Duhem, mostrando que as
variáveis intensivas não são todas independentes umas das outras.
A existência de dependência pode ser compreendida a partir a penas de
uma simples contagem das variáveis e equações associadas ao problema termod-
inâmico e é, de fato, uma conseqüência direta da propriedade de homogeneidade
de primeira ordem que estas equações possuem. No caso de um sistema com
apenas uma componente (tipo de partícula), a equação fundamental pode ser
escrita na forma
u = u (s, v) ,
onde o número de moles N foi ’embutido’ nas variáveis u, s e v exatamente
por conta da propriedade de homogeneidade (todos podem ser divididos sem
problema pela variável extensiva N). Mas então os três parâmetros intensivos
devem ser, igualmente, funções de apenas s e v. Entretanto, temos três equações
para os parâmetros intensivos e dois parâmetros intensivos: isto implica que deve
haver uma relação entre T, P e µ, obtida por eliminação das variáveis s, v do
problema usando-se as equações das variáveis intensivas. O mesmo argumento
se aplica para sistema com várias componentes, sendo que, neste caso, adota-
se simplesmente a escolha de ’normalizar’ cada uma das variáveis extensivas
usando-se o número de moles de uma das componentes. De fato, como os
parâmetros intensivos são homogêneos de ordem zero, temos que
T (U, V, {Ni}) = T (λU, λV, λN1, λN2, . . . , λNr)
(e o mesmo para as outras equações de estado) e escolhendo λ = N−1j , tere-
mos que cada parâmetro intensivo depende de (r + 2)− 1 variáveis extensivas,
havendo, entretanto, (r + 2) parâmetros intensivos (ou equações de estado).
Evidentemente, o tipo de relação que existe entre os parâmetros intensivos
dependerá do sistema em questão. Há, entretanto, uma relação que vale para
3.1. QUINTA AULA: (02/04/2008) 39
qualquer sistema, visto ser baseada na própria equação de estado na sua repre-
sentação matemática. Se tomamos a equação de Euler e tomamos sua diferen-
cial, temos
dU = TdS + SdT − PdV − V dP +
r∑
j=1
µjdNj +
r∑
j=1
Njdµj
e, como sabemos que
dU = TdS − PdV +
r∑
j=1
µjdNj
concluímos pela equação de Gibbs-Duhem, dada por
SdT − V dP +
r∑
j=1
Njdµj = 0.
No caso de um sistema com apenas uma componente, temos imediatamente
dµ = −sdT + vdP,
representando de modo imediato a relação entre as variações dos parâmetros
intensivos.
O número de parâmetros intensivos capazes de variação independente é
chamado o número de graus de liberdade termodinâmico do sistema. Assim,
um sistema simples com r componentes tem, como já ressaltamos, (r + 2) − 1
graus de liberdade termodinâmicos.
Toda a discussão poderia ter sido feita na representação entrópica; nela a
relação de Gibbs-Duhem fica
Ud
(
1
T
)
+ V d
(
P
T
)
−
r∑
i=1
Nid
(µi
T
)
= 0.
3.1.3 Sumário da Estrutura Formal:
Ficamos, então, com a seguinteestrutura formal para nossos estudos de termod-
inâmica:
1. Temos uma equação fundamental (normalmente desconhecida), que con-
tém toda a informação termodinâmica sobre o sistema e que pode ser
escrita na representação de energia como
U = U (S, V,N)
ou, na representação de entropia como
S = S (U, V,N) .
40 CHAPTER 3. RELAÇÕES FORMAIS E SISTEMAS EXEMPLARES
(a) É importante salientar que a equação fundamental precisa estar es-
crita em termos das variáveis extensivas apenas, sem o concurso de
qualquer variável intensiva (a menos, é claro, que a relação da var-
iável intensiva com os parâmetros extensivos esteja já explicitada,
pois neste caso se trataria de uma simples substituição das ocor-
rências da variável intensiva pela sua expressão em termos destes
parâmetros extensivos). Isto se torna claro se considerarmos, por
exemplo, no caso da temperatura, a equação
U = U (T, V,N) ,
que, dada a definição de temperatura, pode ser escrita como
U = U
(
∂U
∂S
,V,N
)
,
que é uma equação diferencial parcial na variável U . Devemos
nos lembrar que uma equação diferencial parcial gera soluções com
formas funcionais indeterminadas1 de modo que tal solução não
pode implicar em um conhecimento total do sistema, como ocorre
com as equações fundamentais.
2. Temos, igualmente, equações de estado, dadas por (representação de en-
ergia)
T = T (U,V,N)
P = P (U, V,N)
µj = µj (U,V,N)
,
também dadas segundo uma dependência nas variáveis extensivas.
(a) Todas as equações de estado juntas implicam no conhecimento exato
das propriedades termodinâmicas do sistema (o que pode ser visto
pela fórmula de Euler, já que com tais equações podemos simples-
mente reescrever a equação fundamental). Nem sempre, entretanto,
temos todas estas equações e precisamos, portanto, de métodos para
obter uma destas equações em termos das outras.
(b) A equação que nos dá o tipo de dependência entre um dos parâmetros
intensivos em termos dos outros (e, portanto, em termos das variáveis
extensivas) é a equação de Gibbs-Duhem.
1Por exemplo, a equação de onda pode ser escrita como a equação parcial
∂2f
∂x2
−
1
v2
∂2f
∂t2
= 0,
onde v é a velocidade da onda, x o espaço e t o tempo. As soluções desta equação, o leitor
pode verificar, são dadas por qualquer função com a dependência funcional
f (x− vt) .
Assim, há uma indeterminação naforma funcional da solução.
3.1. QUINTA AULA: (02/04/2008) 41
(c) Se estamos trabalhando com um sistema com um tipo de partícula
apenas, podemos também integrar diretamente a equação
du = Tds− Pdv,
que é a forma diferencial da equação fundamental em termos dos
parâmetros intensivos.
(d) Integrações tanto da equação de Gibbs-Duhem quanto da forma difer-
encial da equação fundamental, entretanto, darão apenas um resul-
tado em termos de uma constante arbitrária (vinda, evidentemente,
da integração).
3.1.4 O Gás Simples Ideal:
Uma vez que já estudamos os elementos matemáticos mais básicos relativos às
equações fundamentais, vamos agora estudar alguns exemplos específicos que
caracterizam de maneira importante os sistemas termodinâmicos.
O gás simples ideal é caracterizado pelas duas equações de estado
PV = NRT
e
U = cNRT,
onde c é um número que depende das características dos gases: vale 3/2 para
gases monoatômicos a temperaturas relativamente baixas (kBT pequeno com-
parado com energias eletrônicas de excitação), ou 5/2 para alguns gases diatômi-
cos ou mesmo 7/2 para gases diatômicos a temperaturas mais altas (da ordem
de milhares de Kelvins).
As equações de estado acima podem ser usadas para se obter a equação fun-
damental por qualquer uma das formas apresentadas anteriormente. Podemos
escrever:
1
T
=
cNR
U
=
cR
u
,
P
T
=
RN
V
=
R
v
e integrar diretamente a equação de Gibbs-Duhem
d
(µ
T
)
= ud
(
1
T
)
+ vd
(
P
T
)
,
substituindo o resultado na equação de Euler
S =
1
T
dU +
P
T
V − µ
T
N.
Temos que
d
(
1
T
)
= −cRu−2, d
(
P
T
)
= −Rv−2
42 CHAPTER 3. RELAÇÕES FORMAIS E SISTEMAS EXEMPLARES
de modo que
d
(µ
T
)
= −cRdu
u
−Rdv
v
,
que pode ser integrada termo-a-termo devido à sua característica particular
(muito rara, aliás), dando
µ
T
− µ0
/T 0
= −cR ln u
u0
−R ln v
v0
de modo que
S = Ns0 +NR ln
[(
U
U0
)c(
V
V0
)(
N
N0
)−(c+1)]
, (3.3)
onde
s0 = (c+ 1)R−
(µ
T
)
0
.
Uma outra forma de obter o mesmo resultado seria simplesmente integrar a
equação
ds =
1
T
du+
(
P
T
)
dv,
dando
s = s0 + cR ln
(
u
u0
)
+R ln
(
v
v0
)
, (3.4)
que é equivalente à anterior por uma simples definição de s0, que é uma con-
stante.
Uma mistura de dois ou mais gases ideias (chamado de gás ideal simples
multicomponente) é caracterizado por uma equação fundamental que pode ser
escrita como
S =
∑
j
Njsj0+
∑
j
Njcj
R ln T
T0
+
∑
j
NjR ln
(
V
Njv0
)
, U =
∑
j
Njcj
RT,
onde a temperatura funciona como um parâmetro que, uma vez eliminado (é um
parâmetro intensivo e não pode aparecer na equação fundamental), nos fornece
a equação fundamental na forma S = S (U, V, {Ni}).
A comparação desta equação com a equação (3.3) ou, mais diretamente, com
(3.4), indica o resultado conhecido como teorema de Gibbs.
Theorem 38 (de Gibbs) A entropia de uma mistura de gases ideais é a soma
das entropias que cada gás teria se ele sozinho ocupasse o volume V à temper-
atura T .
Proof. A prova do teorema de Gibbs pode ser feita através de um experi-
mento mental simples, que o leitor deve considerar a partir do texto do livro do
Callen.
3.2. SEXTA AULA: (07/04/2008) 43
Se escrevermos a equação da entropia na forma
S =
∑
j
Njsj0 +
∑
j
Njcj
R ln T
T0
+NR ln
(
V
Nv0
)
−R
∑
j
Nj ln
Nj
N
,
então o último termo é chamado de mistura de entropia e representa a diferença
nas entropias entre aquela de uma mistura de gases e aquela de uma coleção
de gases separados, cada um à mesma temperatura e à mesma densidade da
mistura original Nj/Vj = N/V .
3.2 Sexta Aula: (07/04/2008)
3.2.1 O fluido ideal de Van der Waals:
Gases reais raramente satisfazem as equações de estado apresentadas na seção
anterior, exceto em limites de baixa densidade, de modo que temos que procu-
rar aperfeiçoar o modelo. Uma maneira de fazê-lo é apelando para uma análise
estatística (em termos de corpúsculos se chocando com as paredes do recipi-
ente, etc.) que se encontra fora do campo da termodinâmica, mas que pode,
neste momento, nos ajudar a conhecer uma outra caracterização de sistemas
termodinâmicos, a título de exemplificação.
A equação de Van der Waals decorre da percepção de que, na dedução físico-
estatística da equação
P =
NRT
V
faz-se a hipótese de que as partículas são todas de volume zero (puntuais). Se
assumirmos que cada uma delas tem um volume b, então é razoável trocar o
volume total V pelo volume corrigido V − Nb. Da mesma maneira, quando
temos as partículas dentro de um recipiente, aquelas que estão próximas do
centro do recipiente sofrem forças de todas as outras que tendem, pelo seu
caráter randômico, a se anular; aquelas que se encontram próximas das paredes,
entretanto, sofrem a atuação maior das partículas que estão do lado oposto ao
da parede e isso tende a alterar a força com que colidem com a parede (a pressão,
portanto). A diminuição da pressão deve ser, nessa perspectiva, proporcinoal ao
número de pares de moléculas ou proporcional a
(
1/v2
)
, uma vez que quando
o volume vai para infinito, a correção deve desaparecer. Assim, a equação de
estado procurada é
P =
RT
v − b −
a
v2
.
Os parâmetros a e b dependem, evidentemente, do sistema específico consider-
ado.
Já sabemosque devemos ter uma outra equação de estado para acessar o
conteúdo da equação fundamental (a menos de uma constante). No caso de
apenas um mole (equações molares) faz sentido procurar pela equação térmica
de estado (a que envolve a temperatura). Não podemos usar a equação térmica
44 CHAPTER 3. RELAÇÕES FORMAIS E SISTEMAS EXEMPLARES
dos gases ideais, pois ela não é compatível com a equação anterior. Devemos,
então, procurar a expressão mais simples que possa servir para uma equação de
estado térmica, compatível com a equação de Van der Waals.
O aparecimento da temperatura na equação da pressão implica que podemos
resolver este problema na representação entrópica, pois temos
P
T
=
R
v − b −
a2
v2
1
T
e, desde que
ds =
1
T
du+
P
T
dv,
devemos procurar por
1
T
= f (u, v) ,
representando a segunda equação de estado. A compatibilidade entre esta equação
procurada e a equação para a pressão se dá a partir da exigência que ds seja
uma diferencial exata, de modo que
∂
∂v
(
1
T
)
u
=
∂
∂u
(
P
T
)
v
,
visto que isso implicaria em
∂2s
∂v∂u
=
∂2s
∂u∂v
.
Assim, temos que
∂
∂v
(
1
T
)
u
=
∂
∂u
(
P
T
)
v
=
∂
∂u
(
R
v − b −
a
v2
1
T
)
v
= − a
v2
∂
∂u
(
1
T
)
v
,
uma condição que pode ser escrita como
−v2 ∂
∂v
(
1
T
)
u
= a
∂
∂u
(
1
T
)
v
e como
∂f
∂ (1/v)
=
∂f
∂v
∂v
∂ (1/v)
=
∂f
∂v
1
∂ (1/v) /∂v
=
∂f
∂v
1
−1/v2 = −v
2 ∂f
∂v
,
temos que
∂
∂(1/v)
(
1
T
)
u
=
∂
∂ (u/a)
(
1
T
)
v
,
de modo que 1/T deve ser uma função que se relaciona com as variáveis 1/v e
u/a segundo a mesma dependência funcional. A maneira mais simples é dada
por
1
T
=
cR
u+ a/v
,
3.2. SEXTA AULA: (07/04/2008) 45
visto que esta equação tende para aquela do gás ideal se fizermos v →∞ (que
é a assunção básica do gás ideal). Assim, temos as duas equações de estado
P
T
=
R
v − b −
acR
uv2 + av
1
T
=
cR
u+ a/v
que podem ser usadas para se obter a equação fundamental por integração direta
de
ds =
1
T
du+
P
T
dV =
cR
u+ a/v
du+
(
R
v − b −
acR
uv2 + av
)
dv.
A integração pode ser feita se notarmos que, para ter o primeiro termo à direita,
devemos contar com o fator
cR ln (u+ a/v) + f(v)
que, derivado com relação ao volume v, fica
− cR
u+ a/v
a
v2
dv + f ′ (v) dv =
(
R
v − b −
acR
uv2 + av
)
dv,
de modo que
f (v) = R ln (v − b)
e assim
ds = d [cR ln (u+ a/v) +R ln (v − b)] = d {R ln [(u+ a/v)c (v − b)]} ,
ou seja
s = R ln [(u+ a/v)c (v − b)] + s0,
ou seja,
S = Ns0 +NR ln [(u+ a/v)
c (v − b)] .
Gases reais também não constumam ser representados quantitativamente de
forma correta pela equação de Van der Waals, visto que considerações estatísti-
cas mostram que deve haver mais termos na expansão, sendo a equação de Van
der Waals uma primeira aproximação. Entretanto, a equação de Van der Waals
fornece bons resultados qualitativos para muitos sistemas termodinâmicos reais.
3.2.2 Radiação Eletromagnética:
Se considerarmos uma cavidade vazia de corpúsculos materiais, com as paredes
mantidas à temperatura T , então ainda haverá na cavidade energia eletromag-
nética. Este sistema possui equações de estado empíricas dadas pela lei de
Stefan-Boltzmann
U = bV T 4
46 CHAPTER 3. RELAÇÕES FORMAIS E SISTEMAS EXEMPLARES
e
P =
U
3V
,
onde b = 7.56 × 10−16J/m3K4 que pode ser calculado a partir de princípios
mais básicos fora do escopo da termodinâmica.
Deve-se notar que não se faz menção ao número N , que seria o número de
fótons. De fato, não há, neste sistema, qualquer número N que seja conservada
e pelo qual possamos contar as partículas no interior da cavidade2 . Toda a
equação fundamental deve ser escrita apenas em termos de U e V , portanto.
Na representação de entropia, devemos ter
1
T
= b1/4V 1/4U−1/4
P
T
=
1
3
b1/4U3/4V −3/4
de modo que
dS = b1/4V 1/4U−1/4dU +
1
3
b1/4U3/4V −3/4dV
=
4
3
b1/4d
(
U3/4V 1/4
)
= d
(
4
3
b1/4U3/4V 1/4
)
de modo que a equação fundamental fica
S =
4
3
b1/4U3/4V 1/4.
3.2.3 A barra de borracha:
A termodinâmica pode ajudar também a encontrar equações macroscópicas rela-
tivamente simples baseadas em algumas poucas observações experimentais para
alguns sistemas em que comparece a noção de calor. Um exmplo disso é a barra
de borracha; nesse sistema temos duas variáveis relevantes: o comprimento da
barra (L) e a energia interna (U) associada a ela (os parâmetros extensivos)
com as variáveis internas ’conjugadas’ dadas pela tensão τ e a temperatura T .
O comprimento L é análogo ao volume V em sistemas usuais, enquanto que a
tensão τ é análoga à pressão −P .
Experimentalmente, sabe-se que a energia interna não depende do compri-
mento da barra de borracha (que não seja o comprimento inicial da mesma) e
é linear com a temperatura – para ordens de temperatura que não rompam o
limite de elasticidade da barra–, de modo que
U = cL0T,
2Neste sistema, microscopicamente, fótons são constantemente absorvidos pela parede e
criados por ela de maneira que há apenas um número médio de fótons envolvidos, não um
número exato (conservado) dos mesmos.
3.2. SEXTA AULA: (07/04/2008) 47
onde c é uma constante. A tensão, também experimentalmente, é vista se
comportar linearmente com o comprimento, de modo que
τ = bf (T )
L− L0
L1 − L0 ,
onde b é uma constante, L1 representa o limite elástico da barra, e f (T ) é uma
função de T só restringida pela necessidade de se ter consistência termodinâmica.
Assim, temos que
dS =
1
T
dU − τ
T
dL =
cL0
U
dU − bf (T )
T
L− L0
L1 − L0 dL.
Assim, para que dS seja uma diferencial exata, temos que ter
∂
∂L
(
1
T
)
U
= − ∂
∂U
(
bf (T )
T
L− L0
L1 − L0
)
L
e como o primeiro membro é zero, basta colocar f (T ) = T para obter consistên-
cia (0 = 0). Assim, temos
τ
T
= b
L− L0
L1 − L0 ,
1
T
=
cL0
U
e ficamos com
dS =
cL0
U
dU − b L− L0
L1 − L0 dL = d
[
cL0 ln (U/U0)− b (L− L0)
2
2 (L1 − L0)
]
e assim
S = S0 + cL0 ln (U/U0)− b (L− L0)
2
2 (L1 − L0) ,
que é a equação fundamental do sistema.
3.2.4 Sistemas Magnéticos:
Nem sempre os sistemas termodinâmicos se ajustam de maneira tão tranqüila a
todos os elementos que estivemos apresentando até aqui. Alguns sistemas podem
possuir certas idiossincrasias que impedem uma ou outra aplicação imediata de
certa característica do formalismo. Os sistemas magnéticos possuem uma tal
idiossincrasia e podem ser utilizados para exemplificar esta questão. Estamos
interessados aqui nos sistemas para- e diamagnéticos, que só se magnetizam na
presença de campos externos.
Nestes casos, devemos considerar nosso sistema termodinâmico como consti-
tuindo de uma amostra colocada em um campo magnético externo Be e respon-
dendo a este campo segundo o seu momento magnético I. Assim, escolhendo
uma simetria apropriada, a variável I cumpre o papel de variável extensiva e
48 CHAPTER 3. RELAÇÕES FORMAIS E SISTEMAS EXEMPLARES
o campo Be cumpre papel de sua variável intensiva conjugada, de modo que
nossa equação fundamental deve ser escrita como
U = U (S, V, I,N) , (3.5)
em termos apenas das variáveis extensivas, como já sabemos, e portanto
Be =
(
∂U
∂I
)
S,V,N
.
As unidades são: o tesla (T ) para o campo magnético Be e o Joule/Tesla (J/T )
para o momento magnético. Note que nossa definição de sistema termodinâmico
implica que a energia interna U se refere apenas ao sistema material, de modo
que a energia total do sistema é dada, de fato, por
UT = U +
1
2
µ−10 B
2
eV,
onde o segundo termo leva