apostila sequencias numéricas

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Sequeˆncias Nume´ricas
Sequeˆncias Nume´ricas
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Caˆmpus Francisco Beltra˜o
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 3B
Sequeˆncias Nume´ricas
Sequeˆncias Nume´ricas
Definic¸a˜o
Uma sequeˆncia real e´ uma func¸a˜o que associa um valor a cada
nu´mero inteiro na˜o negativo.
Exemplo
xn =
1
n
=
(
1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .
)
Definic¸a˜o
lim
n→∞ xn = L se para todo ε > 0 existe N0 ∈ N tal que
n > N0 ⇒ |xn − L| < ε. Neste caso, a sequeˆncia e´ denominada de
sequeˆncia convergente e L e´ dito limite da sequeˆncia.
As sequeˆncias divergentes podem ser divergentes para ±∞, ou que
na˜o tem limites.
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Sequeˆncias Nume´ricas
Algumas Propriedades Operacionais
Se (an) e (bn) sa˜o sequeˆncias convergentes (comec¸ando do mesmo
indice), enta˜o
lim
n→∞(an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn
lim
n→∞λan = λ limn→∞ an
lim
n→∞(anbn) = limn→∞ an limn→∞ bn
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞ an
lim
n→∞ bn
desde que lim
n→∞ bn 6= 0
Caso f for cont´ınua, lim
n→∞ f (xn) = f
(
lim
n→∞ xn
)
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Sequeˆncias Nume´ricas
Teste da Subsequeˆncia
Subsequeˆncia e´ uma sequeˆncia formada pelas partes da sequeˆncia dada.
Teorema
Seja xn uma sequeˆncia convergente. Enta˜o qualquer subsequeˆncia yk de
xn converge e tem o mesmo limite.
Corola´rio
(teste da subsequeˆncia) Qualquer sequeˆncia que possui duas
subsequeˆncias com limites diferentes sera´ divergente.
Exemplo
Avalie se a sequeˆncia xn = (−1)n e´, ou na˜o, convergente.
Exerc´ıcio 1
Avalie se a sequeˆncia xn =
(−1)n
n
e´, ou na˜o, convergente.
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Sequeˆncias Nume´ricas
Teorema do Confronto/Sandu´ıche
Teorema
(Teorema do Confronto/Sandu´ıche) Se an ≤ bn ≤ cn e
lim
n→∞ an = limn→∞ cn = L enta˜o limn→∞ bn = L.
Exemplo
Avalie se a sequeˆncia xn =
cos n
n
e´, ou na˜o, convergente.
Corola´rio
lim
n→∞ xn = 0 se, e somente se, limn→∞ |xn| = 0
Exerc´ıcio 2
Avalie se as sequeˆncias xn =
(−1)n
n
e xn =
n!
nn
sa˜o, ou na˜o,
convergentes.
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Sequeˆncias Nume´ricas
Sequeˆncias mono´tonas
Uma sequeˆncia an e´ dita mono´tona crescente quando an+1 ≥ an
para todo n. De forma ana´loga, uma sequeˆncia an e´ dita
mono´tona decrescente se an+1 ≤ an para todo n.
Definic¸a˜o
No caso de ter an+1 > an para todo n, dizemos que a sequeˆncia e´
estritamente crescente e caso de ter an+1 < an para todo n,
dizemos que a sequeˆncia e´ estritamente decrescente.
Teorema
Toda sequeˆncia mono´tona limitada e´ convergente.
Exemplo
Avalie se a sequeˆncia xn =
n
n + 1
e´, ou na˜o, convergente.
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Sequeˆncias Nume´ricas
Exerc´ıcio 3
Escreva ao 5 primeiros termos de cada sequeˆncia e determine o limite das
que forem convergentes:
(a) an =
1− n
n2
(b) an =
(
1
3
)n
(c) an =
(−1)n+1
2n − 1
(d) an =
1
n!
(e) an = 2 + (−1)n
(f) an = 7
1
n
(g) an =
n
2n
(h) an = cos
(npi
2
)
(i) an =
(−1)n−1√
n
(j) an =
sen n
n
(k) an =
n + (−1)n
n
Respostas:
(a) 0; (b) 0; (c) 0; (d) 0; (e) div.; (f) 1; (g) 0; (h) div.; (i) 0;
(j) 0; (k) 1
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