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Controle e Simulação de 
Processos
Prof.: Rafael da Silva Mendonça
mendonca.rms@gmail.com
Universidade Federal do Amazonas
Faculdade de Tecnologia 
Departamento de Petróleo e Gás
Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
A engenharia de controle baseia-se no princípio da realimentação
(ou retroação) e objetiva o controle de determinadas variáveis de
um sistema;
Embora esteja tradicionalmente ligada a engenharia elétrica, a
engenharia de controle é interdisciplinar e encontra aplicações em
engenharia química, mecânica, aeronáutica, biomédica, etc.
2 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.1 - Definições
3
Sistema: é a combinação de componentes que agem em conjunto
para atingir determinado objetivo;
Modelo: representação dos aspectos essenciais de um sistema tal
que ele apresente conhecimento do sistema em uma forma
utilizável;
Modelo Matemático: Conjunto de equações que descrevem o
sistema;
Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.1 - Definições
4
Variável Controlada: é a grandeza ou a condição que é medida e
controlada. Normalmente é a saída do sistema;
Variável Manipulada: é a grandeza ou a condição modificada
pelo controlador, de modo que afete o valor da variável
controlada;
Controlar: Sistematizar para que y satisfaça as especificações.
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1. INTRODUÇÃO
1.1 - Definições
5
Entrada(s): São as causas ou excitações ou controles aplicados
aos terminais de entrada;
Saída(s): São os efeitos ou respostas, ao sinal de entrada,
observados nos terminais de saída.
Plantau y
Perturbações
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Monovariável: Sistema de variável única, ou sistema de uma só
entrada e uma só saída;
Multivariável: Múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas.
6
Planta
Planta
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Contínuos: Um sistema é dito ser contínuo, se as entradas e
saídas são capazes de mudar em qualquer instante de tempo.
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Discretos: São aqueles onde os sinais mudam somente em
instantes discretos, digamos, cada segundo, ou hora, ou ano, ou
talvez, irregularmente.
8 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Lineares: O sistema é linear, caso ele obedeça ao princípio da
Superposição;
Não Lineares: Um sistema é dito ser não linear se ele não segue 
o princípio da superposição (aditividade e homogeneidade).
9 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
 Instantâneos (Estáticos): Não possui armazenadores de 
energia. Se a saída (resposta) em qualquer instante t depende 
apenas do valor da entrada (excitação) no mesmo instante;
Dinâmicos: Se a saída em qualquer instante depende de valores 
presentes, assim como de valores passados da entrada, tal sistema 
pode ser considerado um sistema com memória.
10 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Causal: Um sistema é causal se a sua resposta depende de uma
causa, ou seja, a sua saída só e possível para instantes de tempo
onde uma entrada e ou foi aplicada anteriormente;
Sistema sem memória: Um sistema sem memoria é um sistema
para o qual saída em um instante de tempo t=to depende somente
da entrada aplicada no instante t = to, não depende portanto da
entrada antes (ou depois) desse instante.
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
 Invariante no Tempo: Se as relações de entrada e saída não se 
modificam com o tempo, eles são chamados de estacionários;
Variante no Tempo: É aquele em que as relações de entrada e 
saída se modificam. Quando os parâmetros variam no tempo o 
sistema é variante no tempo.
12 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Determinístico: Um sistema é dito ser determinístico se a
“função de transferência operacional”, assim como a entrada (ou
entradas) aplicada(s) ao sistema, é (são) conhecida(s) exatamente;
Estocástico: São aqueles para os quais ou “os parâmetros da
função de transferência operacional” ou as entradas não são
conhecidos precisamente podendo ser descritas somente em um
sentido estatístico.
13 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Determinístico e estocástico:
14 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
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Determinístico
Modelo Matemático
Estocástico
Parâmetros
Distribuídos
Parâmetros
Concentrados
ContínuoDiscreto
Não-LinearLinear
Invariante no
Tempo
Variante no
Tempo
SISOMIMO
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
O sistema que trabalharemos será:
Linear
Contínuo
Invariante no Tempo
Causal
Determinístico
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Malha Aberta: Os sistemas de controle de malha aberta são
aqueles em que o sinal de saída não exerce nenhuma ação
de controle no sistema.
Em um sistema de controle de malha aberta o sinal de saída não é
medido nem realimentado para comparação com a entrada.
Ex: Máquina de Lavar Roupas.
As operações de molho, lavar e enxaguar são executadas em uma 
função do tempo. 
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Malha Fechada: Um sistema que estabeleça uma relação de
comparação entre a saída e a entrada de referência, utilizando a
diferença como meio de controle, é denominado sistema de
controle com realimentação.
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Diagrama de um sistema de controle em malha fechada:
Referencia: Valor desejado da variável a ser controlada;
Comparador: Dispositivo que constrói o sinal de erro entre o
valor desejado e o obtido;
19 Prof. Rafael Mendonça
1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Controlador: Dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando
um sinal de controle que será aplicado no sistema, a fim de corrigir
a variável a ser controlada;
Atuador: Dispositivo que recebe o sinal de controle e gera um
sinal com potencia suficiente para atuar sobre o sistema;
Sistema: Dispositivo ou fenômeno que se deseja operar com
alguma finalidade (objetivo de controle);
Medidor: (transdutor) Dispositivos responsáveis pela medição e
conversão da variável a ser controlada para fins de comparação e
obtenção do erro de saída.
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
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Controlador Atuador Planta
Condicionamento
de Sinal
Sensor
Referência
Cérebro Braço Posição da Mão
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
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Condicionador
De AR
SALA Temperatura
na sala
Sensor
Bomba Tanque Nível
Bóia
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
Ex.:
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1. INTRODUÇÃO
1.2 Classificação
24
Sistema
Modelo
Matemático
Análise
Projeto
Implementação
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.1 Modelagem Matemática
A analise e projeto de sistemas de controle exigem o uso de um
modelo para o sistema a ser controlado;
A modelagem de sistemas e essencial em engenharia e em 
particular para o projeto de sistemas de controle;
Os modelos de processos podem ser determinados por ensaios de 
campo, quando o modelo e obtido a partir do comportamento 
entrada/saída.
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.1 Modelagem Matemática
Primeiramente determinam-se as equações diferenciais que
descrevem o sistema.
A partir destas equações pode-se obter funções de transferência
ou as equações de estado do sistema.
As leis básicas da física permitem obter as equações que
descrevem os processos.
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.1Modelagem Matemática
 Sistemas Internacional de Unidades:
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.1 Modelagem Matemática
 Modelagem de Sistemas Físicos:
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.2 Sistemas Elétricos
29 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.2 Operadores
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Utilizado para facilitar a álgebra;
É chamado de operador D;
Aplicado no uso de equações
diferenciais ordinárias. 
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.3 Sistemas Elétricos
31
 As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são:
- Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que entram
em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das quedas de tensão
dentro de uma malha é igual a zero.
- Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.
- Quando não está definida a resposta do sistema é dada por:
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.3 Sistemas Elétricos
32 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.3 Circuitos Elétricos
33 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.3 Circuitos Elétricos
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Equações diferenciais Operador
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.3 Circuitos Elétricos
35 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.3 Circuitos Elétricos
36 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
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Os sistemas mecânicos obedecem à lei fundamental onde o
somatório de todas as forças é igual a zero;
Regido pelas leis de Newton e pode ser dito da seguinte forma: a
soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de
reação.
M F
x
A força aplicada pode ser:
F -> se Pontual
V -> se Relativa Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
38 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
39
 Analogia Elétrica:
F ~ i
V ~ V
M ~ C
K ~ 1/L
B ~ 1/R
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
40
 Ex.:
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
41
 Ex.:
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
42
 Ex.:
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
43
 Ex.:
M2
(3)
M1
(1)
M1
(2)
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Sistemas Mecânico
44
 Ex.:
Atrito
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Mecânico de Rotação
45
Apresentam movimento de rotação são semelhantes às dos
sistemas com translação;
As equações de conjugado é equivalente a escrever as equações de
força, com os termos de deslocamento, velocidade e aceleração
considerada agora como grandezas angulares;
O torque substitui a força e deslocamento angular substitui
deslocamento;
O termo associado à Massa é substituído por inércia.
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Mecânico de Rotação
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Mecânico de Rotação
47
Ex.: Considerando a torção existente nos eixos reais, encontrar a função de 
transferência θ2(s)/T(s) do sistema ilustrado abaixo:
• Embora a torção ocorra ao longo do eixo, consideramos que ela ocorre como 
uma mola concentrada em um ponto particular do eixo.
•A mola que representa a torção no corpo cilíndrico apresenta uma inércia J1 a 
esquerda e uma inércia J2 a direita.
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Mecânico de Rotação
48
Ex.: Considerando a torção existente nos eixos reais, encontrar a função de 
transferência θ2(s)/T(s) do sistema ilustrado abaixo:
• Embora a torção ocorra ao longo do eixo, consideramos que ela ocorre como 
uma mola concentrada em um ponto particular do eixo.
•A mola que representa a torção no corpo cilíndrico apresenta uma inércia J1 a 
esquerda e uma inércia J2 a direita.
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Mecânico de Rotação
49
Composição dos torques sobre 
J2:
(a) Torques devido somente a 
rotação de J2;
(b) Torques sobre J2 devido 
somente a rotação de J1;
(c) Torques resultantes.
Composição dos torques sobre 
J1:
(a) Torques devido somente a 
rotação de J1;
(b) Torques sobre J1 devido 
somente a rotação de J2;
(c) Torques resultantes.
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Mecânico de Rotação
50 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Térmico
51
 Ex.:
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Hidráulico
52
 Ex.:
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.5 Sistemas Mecânico de Rotação
53
 Ex.:
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Transformada de Laplace
54
O método da transformada de Laplace substitui a solução mais 
difícil de equações diferenciais pela solução mais fácil de equações 
algébricas. As operações são:
– Obter as equações diferenciais;
– Obter a transformada de Laplace das equações diferenciais;
– Resolver a transformada algébrica resultante para a variável de interesse.
– Transformada Inversa:
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2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Transformada de laplace
55 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Transformada de laplace
56 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Transformada de laplace
57 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Transformada de laplace
58 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Função de Transferência
59 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Função de Transferência
60 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Função de Transferência
61 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Função de Transferência
62 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Função de Transferência
63 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Função de Transferência e Espaço de Estados
64 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Função de Transferência e Espaço de Estados
65 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama em Blocos
66
Y=GR
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama em Blocos
67 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama em Blocos
68 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama em Blocos
69 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama em Blocos
70 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama em Blocos
71 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama em Blocos
72 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama de fluxo de Sinal
73 Prof. Rafael Mendonça2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama de fluxo de Sinal
74
co-fator de P1 co-fator de P2
Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama de fluxo de Sinal
75 Prof. Rafael Mendonça
2. Modelagem e Representação de Sistemas
2.4 Modelo em Diagrama de fluxo de Sinal
76 Prof. Rafael Mendonça
3. Revisão de Álgebra
3.1 Introdução
77
 Definição 0: Um corpo F e um conjunto munido de duas operações binárias, 
adição e multiplicação que satisfazem as seguintes propriedades:
Prof. Rafael Mendonça
3. Revisão de Álgebra
3.1 Introdução
78
 Definição 0: Um corpo F e um conjunto munido de duas operações binárias, 
adição e multiplicação que satisfazem as seguintes propriedades:
Prof. Rafael Mendonça
3. Revisão de Álgebra
3.1 Definição de Espaço Vetorial
79
 Definição 1: Um espaço vetorial sobre um corpo F e um conjunto V munido de
duas operações, adição de vetores V ×V → V e multiplicação por escalar F×V →
V que satisfazem as seguintes propriedades: Adição de Vetores:
Prof. Rafael Mendonça
3. Revisão de Álgebra
3.1 Definição de Espaço Vetorial
80
 Definição 1: Um espaço vetorial sobre um corpo F e um conjunto V munido de
duas operações, adição de vetores V ×V → V e multiplicação por escalar F×V →
V que satisfazem as seguintes propriedades: Adição de Vetores:
Prof. Rafael Mendonça
3. Revisão de Álgebra
3.2 Propriedades dos Espaços Vetoriais
81 Prof. Rafael Mendonça
Jordan
82
 A= B= C=
 Δ𝜆 = 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 + 1 6
 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝜆𝐼 − 𝐴)
Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
83 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
84 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
85 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
86 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
87 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
88 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
89 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
90 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
91 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
92 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
93 Prof. Rafael Mendonça
Estabilidade
Critério de Routh-Hurwitz
94 Prof. Rafael Mendonça
Obrigado!
Prof. Rafael Mendonça