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Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis
 
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
 
Revisão de derivadas de funções de uma variável
Derivadas parciais – Capítulo 14 do Thomas 2 – pág 226
Parte I
Derivada parcial em relação a x
Imagine que tenhamos uma superfície 
 e um plano 
. Seja 
uma curva resultante da interseção entre a superfície e o plano.
Inclinação da reta tangente à curva em um ponto P(x,y) de 
:
Derivada parcial em relação a y
Imagine que tenhamos a superfície 
 e um plano 
. Seja 
uma curva resultante da interseção entre a superfície e o plano.
Inclinação da reta tangente à curva em um ponto P(x,y) de 
:
OBS 1: As derivadas parciais e a representação gráfica
OBS 2: Notações alternativas para as derivadas parciais
 Em relação a x Em relação a y
Exemplo 1: Dada 
, determine:
 b) 
 c) 
Exemplo 2: Determine Encontre 
 e 
 se 
Exemplo 3: Determine 
 e 
 se 
Exemplos contextualizados – Análise marginal
Exemplo 4: 
Exercícios da parte I
	1) Nos exercícios a seguir, determine as derivadas parciais de 1ª ordem
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 
e) 
 f) 
 g) 
 h) 
 i) 
 j) 
 k) 
 l) 
 m) 
 n) 
 o) 
 p) 
 q) 
2) Verifique se a função 
 satisfaz à equação 
 para 
.
3) Seja 
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de 
 com y = 2 no ponto (1, 2, -3).
4) Determinar a equação da reta tangente à curva resultante da interseção de 
 com x = 2, no ponto 
5) A função 
 representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontrar a razão de variação da temperatura em relação à distância percorrida ao longo da placa na direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1,2). Considerar a temperatura medida em graus e a distância em cm.
6) A passagem do sangue de uma artéria para um capilar é dada pela expressão 
 cm³/s, onde c é uma constante positiva, x é o diâmetro do capilar, y é a pressão na artéria e z é a pressão no capilar. Qual é a expressão para a taxa de variação da vazão de sangue com a pressão no capilar, supondo que a pressão na artéria e o diâmtero do capilar permanem constantes? A taxa é crescente ou decrescente?
Respostas da parte I
1) a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
j) 
 
k) 
 
l) 
 
m) 
 
n) 
 
o) 
 
p) 
 
 
 
q) 
 
 
2) Equação confere 3) 
 4) 
 5) – 4°/cm, - 12°/cm
6) 
, decrescente
PARTE II
Derivadas parciais de ordem superior – Notações
Parciais primeiras		Parciais segundas e suas notações
X
Y 
Parciais Terceiras
 X
 X
 Y
X 
 
 X
 Y 
 Y
Parciais Terceiras
 X
 X
 Y
Y 
 
 X
 Y 
 Y
Exemplo 5– Dada 
determine:
 b) 
 c) 
Teorema das derivadas mistas
	Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y definida em um uma certa região do D(f) e 
, 
, 
e 
 também sejam definidas em D(f). Além disso, suponha ainda que 
e 
 sejam contínuas nessa região. Então, tem-se que 
 
 = 
Exemplo 6 – Seja 
. Determine:
 b) 
Exercícios da parte II
	
Nos exercícios a seguir, determine as derivadas parciais indicadas
 b) 
c)
 
 d) 
, 
 e) 
, 
 f) 
, 
 g) 
 
 h) 
 
 
 
j) 
 
7) Verifique o teorema 1 para as seguintes funções
 b) 
 8) Se 
tem derivadas parciais de 2ª ordem contínuas e satisfaz a equação 
ela é dita uma função harmônica. Verifique se as funções a seguir são harmônicas.
 b) 
9) Resolver exercícios de 1 a 56 , da seção 14.3 do Thomas, pág 234 e 235.
Respostas da parte II
6) a) 
 
b) 
 
c) 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
j) 
 
7) a) 
 b) 
8) a) É harmônica b) Não é harmônica
PARTE III
4) Regra da cadeia – Seção 14.4, pág 237, do livro do Thomas
CASO I: Para funções de duas variáveis intermediárias e uma independente
 Considere as funções 
 ; 
 ; 
USANDO A REGRA DA CADEIA – Caso 1
	Suponha que z = f (x,y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. 
Então z é uma função diferenciável de t e
OBS: Diagrama de árvore
CASO 2 – Para funções de duas variáveis intermediárias e duas variáveis independentes
Considere as funções 
Diagrama de árvore Regra da cadeia – Caso 2
										
Exemplo7 - contextualizado
Uma loja de produtos naturais vende dois tipos de cápsulas vitamínicas, da marca A e da marca B. As pesquisas de mercado mostram que se um vidro da marca A for vendido por x reais e um vidro da marca B for vendido por y reais, a demanda da marca A será 
 vidros por mês. Estima-se que daqui a t meses o preço de um vidro da marca A será 
reais e o preço de um vidro da marca B será 
 reais. Qual será a taxa de variação com o tempo da demanda da marca A daquia a 4 meses?
Exercícios da parte III
	9) Resolver os exercícios de 1 a 41 da seção 14.4, páginas 243 e 244, do livro do Thomas
10) A temperatura em um ponto (x,y) é T(x,y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por 
, 
 onde x e y são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz 
 e 
. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos? R: 2º/s
11) Uma bolha de ar está subindo dentro de um copo de refrigerante.
O volume a temperatura e a pressão na bolha estão relacionados pela equação ao lado (equação geral de estado dos gases perfeitos). Num determinado momento, a temperatura vale e está aumentando à razão de ; e a pressão vale e está diminuindo à razão de . Nesse instante, o volume da bolha está aumentando ou diminuindo? De quanto?
R: aumentando à razão de meio litro por minuto
12) Um revendedor de automóveisestima que se os carros híbridos que podem funcionar com gasolina e eletricidade forem vendidos por x reais e o preço do litro de gasolina for y reais, então a demanda anual por estes veículos será 
. O revendedor também estima que daqui a t anos os carros híbridos serão vendidos por 
 reais e que o preço do litro da gasolina será 
. Determine a taxa de variação com o tempo da demanda anual de carros hibridos daqui a 3 anos. A demanda estará aumentando ou diminuindo?
R: aumentando à razao de 14 carros por ano.
Parte IV
Derivadas direcionais e vetor gradiente – Seção 14.5, pág 245, do livro do Thomas
5.1) Vetor gradiente
	Seja Z= f(x, y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto 
. O gradiente de f(x,y) no ponto 
, denotado por
grad 
 ou 
�� EMBED Equation.3 
é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de 1ª ordem de f nesse ponto, ou seja,
grad 
 =
�� EMBED Equation.3 = 
ou
�� EMBED Equation.3 
Exemplo 8 – Determine o vetor gradiente de 
.
Exemplo 9 – Determinar o vetor gradiente da função 
 em 
.
Derivadas direcionais
Definição
	Se f for uma função derivável de x e y, e se 
for um vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção de 
 é denotada por 
e definida por 
 
Exemplo 10 –(Thomas pág 248) Determine a derivada direcional de 
 no ponto (2,0) na direção do vetor 
.
Relação entre derivada direcional e vetor gradiente
5.4)Propriedades envolvendo a derivada direcional e o vetor gradiente (Pág 249)
Caso 1
Caso 2
Caso 3
5.5) O vetor gradiente e o vetor tangente a uma curva
Exemplo 11 – 
Exemplo 12 - Se 
Volts for o potencial elétrico em um ponto (x,y,z) do espaço tridimensional e 
, determine:
a taxa de variação de V no ponto (2,2,-1) na direção do vetor 
.
a direção em que o potencial cresce mais rapidamente, em (2, 2, -1).
Exercícios da parte IV
	
13) Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados
 c)
14)Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor 
Nos exercícios a seguir determine o vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f em P nesta direção.
Nos exercícios a seguir determine o vetor unitário na direção do qual f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f em P nesta direção.
Determine a derivada direcional de 
 em P(1,0) na direção e no sentido de Q(-1,-1).
Suponha que 
 e 
 onde 
 e 
. Determine:
A temperatura em um ponto (x,y) de uma placa de metal no plano xy é 
 em graus Celsius.
Determine a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção e no sentido de 
.
Uma formiga em (1,1) precisa andar na direção na qual a temperatura baixa mais rapidamente. Determine um vetor unitário nessa direção.
20)
21)
 
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