Aula 1 - Derivadas (parte 1)

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 1: Derivadas (parte 1) 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 1: Derivadas (parte 1) 
PLANO DE ENSINO 
1 
DERIVADAS: 
CONCEITUAÇÃO 
2 
DERIVADAS: 
REGRAS BÁSICAS 
3 
DERIVADAS: 
ORDEM SUPERIOR 
4 
DERIVADAS: 
REGRA DA CADEIA 
5 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático) 
Unidade I - DERIVADAS 
1.1 Conceituação de Derivadas 
1.2 Regras Básicas de Derivação 
1.3 Derivadas de ordem superior 
1.4 A Regra da Cadeia 
1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas 
1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
1.8 Derivação Implícita 
1.9 Equação de reta tangente e normal 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático) 
Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
2.1 Taxas Relacionadas 
2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas 
2.3 Modelagem e Otimização 
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.1 Integral Indefinida 
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 
3.3 Integrais Definidas 
3.3 Teorema Fundamental do Cálculo 
3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático) 
Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 
4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento 
4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo 
4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas 
Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
5.1 Procedimentos Algébricos 
5.2 Integração por Partes 
5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Bibliografia Básica 
BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de 
Janeiro: SESES, 2015. 
 
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank 
R. THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo: 
Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v. 
 
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. 
ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v. 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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Bibliografia Complementar 
AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998. 
 
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio 
de Janeiro: LTC, 2011. 
 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8: 
limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995. 
 
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v. 
 
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v. 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Conceituação 
Taxa de variação 
Seja uma partícula em movimento segundo a 
função: 
 
𝑠 𝑡 = −𝑡2 + 6𝑡 
Determinar, a partir de s(t), uma função que 
fornece a variação instantânea do movimento 
da partícula em qualquer instante 
A velocidade no instante 𝑡 = 1s, foi obtida através 
do cálculo do limite 
 
 
 
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Taxa de variação 
 
 𝒗 𝒕 = −𝟐𝒕 + 𝟔 
Essa expressão é denominada derivada da 
função 𝑠(𝑡). 
Conceituação 
A velocidade no instante 𝑡 = 1s, foi obtida através 
do cálculo do limite 
 
 
 
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𝒗 𝒕 = −𝟐𝒕 + 𝟔 
Agora, podemos determinar a velocidade da 
partícula no instante que quisermos. 
 
𝑣 1 = −2 ∙ 1 + 6 = 4 m/s; 
𝑣 2 = −2 ∙ 2 + 6 = 2 m/s 
𝑣 2,5 = −2 ∙ 2,5 + 6 = 1 m/s 
𝑣 3 = −2 ∙ 3 + 6 = 0; 
𝑣 4 = −2 ∙ 4 + 6 = −2 m/s 
Taxa de variação 
Conceituação 
A velocidade no instante 𝑡 = 1s, foi obtida através 
do cálculo do limite 
 
 
 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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A derivada 𝑓′(𝑥) da função 𝑓(𝑥) é definida por: 
 
 
 𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
 
 
 
sempre que esse limite existe. 
Conceituação 
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• determinar taxas de variações instantâneas; 
• obter máximos e mínimos de funções; 
• detalhar o comportamento de funções. 
Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse. 
 
Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções. 
PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS. 
Aplicações da derivada 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 1: Derivadas (parte 1) 
• Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil; 
• O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa; 
• Algumas regras básicas facilitarão o processo. 
 
 
 
Regra 1: Derivada da função y = k 
 
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘, em que 𝑘 é uma constante, 
então a sua derivada é: 
y′ = 0 
 
Regras básicas da derivação 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 1: Derivadas (parte 1) 
Regra 1: Derivada da função y = k 
 
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘, em que 𝑘 é uma 
constante, então a sua derivada é: 
y′ = 0 
 
f 𝒙 = 𝟓 ⇒ 𝒇′ 𝒙 =?; 
𝒚 = −𝟎, 𝟎𝟐 ⇒ 𝒚′ =?; 
𝒔 𝒕 =
𝟏
𝟏𝟎𝟎
⇒ 𝒔′ 𝒕 =? ; 
𝒇 𝒙 = 𝒕𝟑 ⇒ 𝒇′ 𝒙 =? 
Regras básicas da derivação 
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Regra 2: Derivada da função y = xn 
 
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑥𝑛, então a sua derivada 
é: 
 
𝑦′ = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 , 𝑛 ∈ ℝ 
 
f 𝒙 = 𝒙𝟒 
f 𝒙 = 𝒙𝟏 
𝒈 𝒙 =
𝟏
𝒙𝟒
 
𝒉 𝒙 = 𝒙𝟓
𝟔
 
Regras básicas da derivação 
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𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
+ 𝒙𝟐 
 
𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟕 
Regra 3: Derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 
 
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), então a sua 
derivada é: 
 
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) 
Regras básicas da derivação 
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AULA 1: Derivadas (parte 1) 
𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙𝟑 
𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟓
𝟕
 
 
Regra 4: Derivada da função 𝒚 = 𝒌 ∙ 𝒇(𝒙) 
 
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥), em que 𝑘 é constante, 
então a sua derivada é: 
 
𝑦′ = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥) 
Regras básicas da derivação 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 1: Derivadas (parte 1) 
𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟓𝒙)(𝟑𝒙 + 𝟏) 
 
𝒉(𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝒙) 
 
Regra 5: Derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 
 
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥). 
Então a sua derivada é: 
 
𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) 
Regras básicas da derivação 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 1: Derivadas (parte 1) 
𝒕 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
𝟐𝒙 + 𝟏
 
 
𝒇 𝒙 =
𝟕
−𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟒
 
Regra 6: Derivada da função 𝒚 =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 
 
Seja uma função do tipo 𝒚 =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
, em que 𝑔(𝑥) ≠ 0, 
então a sua derivada é: 
𝑦′ =
𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 2
 
Regras básicas da derivação 
Unidade I: Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 1: Derivadas (parte 1) 
• Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo; 
• Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo; 
• Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t; 
• A derivada de uma função indica sua taxa de variação; 
• A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade. 
• Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instantet, é a derivada 
v’(t) de sua velocidade. 
 
Derivadas de Ordem Superior 
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Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração: 
 
 
A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t). 
 
)(')( tstv  )(')( tvta 
)('')( tsta 
Derivadas de Ordem Superior 
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''y )('' xf
2
2
dx
yd• derivada de segunda ordem: ,
 
 ou 
'''y )(''' xf• derivada de terceira ordem: ,
 
 ou 
3
3
dx
yd
• derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou 
4
4
dx
yd
• derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou 
n
n
dx
yd
Derivadas de Ordem Superior 
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Uma partícula desloca-se segundo 
a função horária 
 
 
 
 
s em metros e t em segundos, 
com 0  t  3. 
2
23)(
3
2 tttts 
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)´()( tstv 
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)´´()´()( tstvta 
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AULA 1: Derivadas (parte 1) 
)´´()´()( tstvta 
Posição, 
Velocidade, 
aceleração 
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Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x. 
 
 
 
 
 
 
 
y é a função composta 
 
 
)(tfy  )(xgt  ))(( xgfy 
))(( xgf 
Lê-se: “função f da g de x” 
Regra da Cadeia 
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DEFINIÇÃO: Se 
)(tfy  )(xgt  e 
são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é 
dada por: dx
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy

Regra da Cadeia 
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




23
2
xt
ty
Regra da Cadeia 
Assuntos da próxima aula: 
1. Derivadas: Funções Trigonométricas 
2. Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas 
3. Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas